09几何大题综合-【黄金冲刺】考前10天中考数学极限满分冲刺(浙江专用)原卷版+解析

09几何大题综合1．（2023·浙江台州·统考一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F．(1)点C到的距离为______；(2)如图1，当点E在的外部时．①求证：；②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系；(3)若，请直接写出的长．2．（2023·浙江绍兴·统考一模）在矩形中，点E为射线上一动点，连接．(1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．(2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点三点共线时，求的长．3．（2023·浙江金华·统考一模）如图1，在矩形中，．对角线相交于点O，点E，F分别在对角线上，，连结．(1)求线段的长和的度数．(2)当点F在点B处时，以为边在右下方作等边，连结．在点F运动过程中，点G也随之运动．如图2，过点F作的平行线交于点H．若设线段长为x，线段长为y，求y关于x的函数关系式，并写出相应x的取值范围．(3)若点F在直线上运动，以为边作等边．当点G恰好落在矩形的边上时，求的长．4．（2023·浙江·模拟预测）已知E是正方形边上任意一点，(1)将沿翻折至，①如图1，若F点恰好在对角线上，，求的长．②如图2，若点E是中点，若，射线与边交于点G，求四边形的面积．(2)如图3，点Q是边上任意一点，记与的交于点H，射线与射线交于点P，求证：．5．（2023·浙江·模拟预测）点E、F分别为正方形边、上一点，满足，连结和．(1)求证：；(2)过点E作交于点M，垂足为点N．①判断的形状，并说明理由；②当M在边上时，设，和的面积分别是和，求证：6．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）【基础巩固】如图1，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：．（2）【尝试应用】如图2，在中，对角线、交于点，为上一点，连结，，，若，，求的长．（3）【拓展提升】如图3，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长．7．（2023·浙江宁波·统考一模）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．问题探究：(1)如图1，等边边长为3，垂直于边的等积垂分线段长度为______；(2)如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度；(3)如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长．8．（2023·浙江宁波·校考一模）【基础巩固】（1）如图，在中，，分别在，上，，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在中，，，分别在，，上，四边形为平行四边形，，，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，平行四边形的周长为，，分别在，上，四边形为平行四边形，，，求EF的长．9．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）【问题初探】如图1，是正方形的边上一点，延长至点，使，连接，．求证：．（2）【问题再探】如图2，，分别是正方形的边，上一点，分别过点，作于点，于点，线段，相交于点．连接，，，，若．①求证：．②探究和的面积关系，并说明理由．（3）【问题延伸】如图3，在正方形中，，分别是射线，上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断和的面积关系是否仍成立．10．（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图，在矩形中，对角线和交与点O，点M在边上，交对角线与点E，．(1)求证：；(2)设；①若，，求的值；②若，求的值．11．（2023·浙江宁波·校考一模）（1）特殊发现如图1，正方形与正方形的顶点重合，、分别在、边上，连接，则有：①

；

②直线与直线所夹的锐角等于度；（2）理解运用将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接、，①

如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；②如图3，若、、三点在同一直线上，且过边的中点，，直接写出的长；（3）拓展延伸如图4，点是正方形的边上一动点（不与、重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．12．（2023·浙江金华·统考二模）如图1，在矩形中，，，动点P从点C出发，以1个单位每秒速度，沿线段运动，同时，动点Q从点B出C发，以2个单位每秒速度，沿射线运动，当点P到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)如图2，与交于点M，当时，求与的面积之比．(3)在点P，Q的整个运动过程中，直线上是否存在点E，使以为直角边的，与以点P，Q，C三点为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求t的值．13．（2023·浙江温州·模拟预测）阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，．①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；②若，，请直接写出的长．14．（2023·浙江宁波·统考一模）【基础巩固】（1）如图1，于点B，于点C，交于点，求证∶．【尝试应用】（2）如图2，在矩形中，是上的一点，作交于点，，若，求的值．【拓展提高】（3）如图3，菱形的边长为为上的一点，作交于点，交于点，且，求的长．15．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，E为的中点，将绕点D顺时针旋转α（）得到.(1)求的面积.(2)旋转过程中，是否存在α使得与的面积相等？若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由.(3)旋转过程中，当所在直线经过点B时，求的长.16．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，已知菱形，E为对角线上一点．[建立模型]（1）如图1，连结．求证：．[模型应用]（2）如图2，F是DE延长线上一点，，交于点G．①判断的形状，并说明理由．②若G为的中点，且，求的长．[模型迁移]（3）F是延长线上一点，，交射线于点G，且，．求的值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．17．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：．（2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接．①[思考探究]如图2，当时，求的长．②[拓展延伸]如图3，当时，求的长．解题的关键是添加辅助线，构造三角形的中位线，证明三角形相似．18．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，是锐角中边上的高，将沿所在的直线翻折得到，将沿所在的直线翻折得到，延长相交于点P．(1)如图1，若，求证：四边形为正方形；(2)如图2，若，当是等腰三角形时，求的度数；(3)如图3，连结，分别交于点G、H，连结交于点M，若，①求_________度；②若，求的面积．19．（2023·浙江金华·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点、．将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．(1)四边形的形状是，当时，的值是；(2)①如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴上时，求的值；②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积；(3)在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023·浙江宁波·统考一模）【基础巩固】(1)如图1，四边形中，平分，．求证：；【迁移运用】(2)如图2，在（1）的条件下，取的中点E，连接交于点F，若，，求的长；【解决问题】(3)如图3，四边形中，，，在上取点E，使得，恰有．若，，求四边形的面积．21．（2023·浙江台州·统考一模）正方形的边长为8，点E是其边上的一点，以为对角线作矩形（点A、H、E、G按顺时针排列），且．(1)如图1，若与交于点M，当时，求证：平分；(2)当点G落在正方形的边上时，求的长；(3)当点E在上运动时，连接，求的最大值．22．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图，在中，，．点D是直线上一动点．过点D作，满足点E在上方，，以、为邻边作．(1)求的长以及点C到的距离；(2)设线段与边交于点M，线段与边交于点N．当时，求的长；(3)连接，沿直线分割，当分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，求的长．23．（2023·浙江温州·统考一模）如图1，在矩形中，，．，分别是，上的动点，且满足，是射线上一点，，设，．(1)求y关于x的函数表达式．(2)当中有一条边与垂直时，求的长．(3)如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F．连结，以，为边作平行四边形．①当所在直线经过点D时，求平行四边形的面积；②当点G在的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围．24．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图1，在正方形纸片中，点E是的中点．将沿折叠，使点A落在点F处，连结．(1)求证：．(2)如图2，延长交于点G，求的值．(3)如图3，将沿折叠，此时点C的对应点H恰好落在上．若记和重叠部分的面积为，正方形的面积为，求的值．25．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，点O为数轴上的原点，在数轴正半轴上取一点A，以为边在数轴上方作一正方形，点D为对角线上一动点（不与端点O，B重合），作交数轴于点E，作的角平分线交边于点F．(1)若，求度数；(2)若，求度数和的值；(3)若，直接写出的值（用含n的代数式表示）．09几何大题综合1．（2023·浙江台州·统考一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F．(1)点C到的距离为______；(2)如图1，当点E在的外部时．①求证：；②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系；(3)若，请直接写出的长．【答案】(1)(2)①见解析，②(3)或【分析】（1）连，直接求的长即可；（2）①设交于点，证明即可；②延长和交于点，连接，根据手拉手模型证明，，可得，，再根据等腰三角形三线合一可得．（3）分E在上方和E在下方两种情况，分别求得即可求出的长．【详解】（1）解：连接，∵在中，，，D是边上的中点，∴，，∴点C到的距离为，故答案为：；（2）解：①设交于点，∵，∴，∵，，∴，∵过点D作的垂线交射线于点F，∴，∴，∴，∴；②延长和交于点，连接，∵，，，∴，都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图，当E在上方时，过D作于H，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴；如图，当E在下方时，同理，，，则，综上，或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，三角函数定义等知识，属于中考压轴题，综合性强，难度大，对学生要求很高；解题关键是熟练利用“手拉手模型”合理添加辅助线构造全等三角形．2．（2023·浙江绍兴·统考一模）在矩形中，点E为射线上一动点，连接．(1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．(2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点三点共线时，求的长．【答案】(1)①；②；(2)或．【分析】（1）①由矩形的性质和锐角三角函数定义得，再由折叠的性质得，则是等边三角形，即可得出结论；②由折叠的性质得，，则，再证，即可解决问题；（2）分两种情况，a、证，得，再由勾股定理得，即可解决问题；b、证，得，再由勾股定理等，即可得出结论．【详解】（1）①∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴由折叠的性质得：，∴是等边三角形，∴，∴；②由折叠的性质得：，∴，∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：（负值已舍去），即的长为；（2）当点三点共线时，分两种情况：a、如图3，由②可知，，∵四边形是矩形，∴，，∴，由折叠的性质得：，∴，∴，∴，∴，∴；b、如图4，由折叠的性质得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴；综上所述，的长为或．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考一模）如图1，在矩形中，．对角线相交于点O，点E，F分别在对角线上，，连结．(1)求线段的长和的度数．(2)当点F在点B处时，以为边在右下方作等边，连结．在点F运动过程中，点G也随之运动．如图2，过点F作的平行线交于点H．若设线段长为x，线段长为y，求y关于x的函数关系式，并写出相应x的取值范围．(3)若点F在直线上运动，以为边作等边．当点G恰好落在矩形的边上时，求的长．【答案】(1)(2)(3)，19，，【分析】（1）由勾股定理求得长，结合已知和矩形的性质可求得的长，进而可证得为等边三角形，即可得出的度数；（2）分类进行讨论，当点G在线段上时，点O与点G重合，求得，当点G在线段下方时，即时，利用三角形相似和全等得出，当点G在线段上方时，即时，同理可求出；（3）分别讨论G点在不同的边上时的情况，①点G在边上时，②点G在边上时，③点G在边上时，④点G在边上时，利用三角形的全等和勾股定理即可得到答案．【详解】（1）在中，，∴∵四边形是矩形，∴∵，∴，∴∵，∴是等边三角形，∴（2）当点G在线段上时，点O与点G重合，如图1，即当点G在线段下方时，即时，如图2∵，∴，∴也是等边三角形∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴

当点G在线段上方时，即时，如图3同理可得，∴，∴，∴，∴（3）当点F在的延长线和反向延长线上时，不存在符合条件的，所以点F在线段上①如图4，点G在边上时易证，∴，∴过点E作于点M在中，∴在中，，∴

②如图5，点G在边上时由（2）中得∵，∴，易得过点E作的延长线于点M在中，∴在中，，∴③如图6，点G在边上时过点E作于点M在中，∴在中，，∴法二：∵，即，此时，得，∴过点E作于点N，如图7在中，∴在中，，∴④如图8，点G在边上时过点E作分别交于点J，I并连结易证，∴在中，，∴在中，，，∴在中，，∴综上所述，，19，，2【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识点的应用，熟练掌握其性质，对各种情况合理分类讨论是解决此问题的关键．4．（2023·浙江·模拟预测）已知E是正方形边上任意一点，(1)将沿翻折至，①如图1，若F点恰好在对角线上，，求的长．②如图2，若点E是中点，若，射线与边交于点G，求四边形的面积．(2)如图3，点Q是边上任意一点，记与的交于点H，射线与射线交于点P，求证：．【答案】(1)①；②1(2)见解析【分析】（1）①由正方形的性质可得，设，根据折叠的性质表示出，再利用特殊角解直角三角形即可；②分别延长，交于点M，根据正方形的性质，折叠的性质及三角形的面积公式可求出，设，则，，利用勾股定理建立方程，求出，再根据四边形的面积求解即可；（2）设，则，可得，根据正方形的性质，相似三角形的判定和性质可得，即可求解．【详解】（1）①∵四边形是正方形，∴，设，∵，∴，∵将沿翻折至，∴，∴，∴，即，解得，即；②分别延长，交于点M，∵四边形是正方形，∴，∴∵点E是中点，∴，∴，，解得，∴，∵将沿翻折至，∴，∴，∴，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，∴四边形的面积；（2）设，则，∴，∵∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，即．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，折叠的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．5．（2023·浙江·模拟预测）点E、F分别为正方形边、上一点，满足，连结和．(1)求证：；(2)过点E作交于点M，垂足为点N．①判断的形状，并说明理由；②当M在边上时，设，和的面积分别是和，求证：【答案】(1)证明见解析(2)①等腰三角形；证明见解析；②证明见解析．【分析】（1）先证明，，结合可得结论；（2）①如图，过作于，则，四边形为矩形，可得，证明，可得，从而可得结论；②为等腰三角形，，则，而，可得，可得，即，证明，可得，而，可得，从而可得答案．【详解】（1）证明：∵正方形，∴，，∵，∴．（2）①如图，过作于，∴，四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴为等腰三角形．②∵为等腰三角形，，∴，而，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．6．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）【基础巩固】如图1，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：．（2）【尝试应用】如图2，在中，对角线、交于点，为上一点，连结，，，若，，求的长．（3）【拓展提升】如图3，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）菱形的边长为【分析】（1）根据得出，，根据等角的补角相等得出，结合已知条件，即可证明；（2）证明，设，则．得出，则；（3）延长，，交于点．设，，则．证明，得出，由（）得，．得出，即可求解．【详解】（1）解：，．．．（2）在平行四边形中，，．．．，．，设，则．．解得，（舍去）．．（3）延长，，交于点．，设，，则．在平行四边形中，，为的中点，，，．，即．．为的中点，为的中点，，．．，由（）得，．，即，，．，即菱形的边长为．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．7．（2023·浙江宁波·统考一模）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．问题探究：(1)如图1，等边边长为3，垂直于边的等积垂分线段长度为______；(2)如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度；(3)如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长．【答案】(1)(2)边的等级垂分线段的长度为(3)四边形的一条等积垂分线段的长为【分析】（1）过点A作，根据等边三角形性质求解即可．（2）线段EF是垂直于BC边的等积垂分线段，设，作，构建方程即可得到答案．（3）分两种情况，作，设或作，设，构建方程即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示为垂直于边的等积垂分线，∵是等边三角形，，∴，∴，（2）解：如图2中，线段是垂直于边的等级垂分线段，设．作于．在中，∵，，，∴，，∵，∴，由题意：，∴，解得或（舍弃），∴边的等积垂分线段的长度为．（3）①如图3-1中，当线段是等积垂分线段时，设交于．作于．设．在中，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由，可得，，∴，∵四边形的面积＝四边形的面积，的面积＝的面积，∴的面积＝的面积，∴，解法（负根已经舍弃），∴．②如图3-2中，当线段是等积垂分线段时，设交于．作于．设，则，．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴由的面积＝的面积，∴，解得（负根已经舍弃），∴．综上所述，四边形的一条等积垂分线段的长为．【点睛】本题考查了四边形综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题是关键．8．（2023·浙江宁波·校考一模）【基础巩固】（1）如图，在中，，分别在，上，，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在中，，，分别在，，上，四边形为平行四边形，，，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，平行四边形的周长为，，分别在，上，四边形为平行四边形，，，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证；（2）根据平行四边形的性质得出，证明，，结合（1）的结论代入数据即可求解；（3）延长，交于，，由（2）得：，设，，，，由（1）得：，故，进而得出，根据，即可求解．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∴（2）∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∴，∵，，∴设，∵，∵，∴，由（1）得：，∴，解得：（负值舍去），∴．（3）如图，延长，交于，∵，四边形是平行四边形，由（2）得：，，∴，设，，，，∵，由（1）得：，则，则故，即∵，∴，∴，∵，∴，即，又，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）【问题初探】如图1，是正方形的边上一点，延长至点，使，连接，．求证：．（2）【问题再探】如图2，，分别是正方形的边，上一点，分别过点，作于点，于点，线段，相交于点．连接，，，，若．①求证：．②探究和的面积关系，并说明理由．（3）【问题延伸】如图3，在正方形中，，分别是射线，上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断和的面积关系是否仍成立．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，见解析；（3）成立【分析】（1）【问题初探】根据正方形的性质直接运用证明全等即可；（2）【问题再探】①根据第一小问的思路，延长至点，使，连接，证得，得到，，再结合正方形的性质以及已知条件证得，即可得到，从而证得结论；②通过设，，，，根据正方形的基本性质建立方程求出其基本关系，然后分别表示和的面积，从而求出数量关系即可；（3）【问题延伸】仿照第二问的求解过程，先证得全等三角形，并结合全等三角形的性质设未知数，然后列方程求解即可．【详解】解：（1）【问题初探】∵四边形为正方形，∴，，∴．在和中，∵∴．（2）【问题再探】①如答图，延长至点，使，连接．由（1），得，∴，．∵在正方形中，，，∴，∴．在和中，∵∴，∴．又∵，∴．②，理由如下：设，，，．则由①，得，两边平方，得由②，得联立③④，得．又∵，，∴；（3）【问题延伸】仍成立，理由如下：如图，延长至点，使，连接，同（2）可证，以及，∴，设，，，，∴，则，由①，得，两边平方，得由②，得联立③④，得．又∵，，∴；【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及正方形的基本性质等，掌握“半角”模型并熟练运用其证得基本的全等三角形，灵活运用勾股定理进行计算证明是解题关键．10．（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图，在矩形中，对角线和交与点O，点M在边上，交对角线与点E，．(1)求证：；(2)设；①若，，求的值；②若，求的值．【答案】(1)见解析(2)①，②【分析】（1）利用矩形对角线相等可得，利用可得，即可证明；（2）①由即可求出；②由可得，得到，再证明，得到，即可得到，最后根据求解即可．【详解】（1）∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①∵，∴，∵，∴，∴，即，解得；②连接，∵，∴，∴，∴，∵∴，∴∴，∴，∴，，∵，∴，【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识，根据平行线得到是解题的关键．11．（2023·浙江宁波·校考一模）（1）特殊发现如图1，正方形与正方形的顶点重合，、分别在、边上，连接，则有：①

；

②直线与直线所夹的锐角等于度；（2）理解运用将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接、，①

如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；②如图3，若、、三点在同一直线上，且过边的中点，，直接写出的长；（3）拓展延伸如图4，点是正方形的边上一动点（不与、重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．【答案】（1）①；②；（2）①（1）中的结论仍然成立，理由见解析；②；（3）的值是定值，定值为，理由见解析【分析】（1）①连接，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到；②连接利用等腰直角三角形的性质解答即可；（2）①连接，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；②连接，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质即勾股定理即可得到；（3）过点作于点，连接，，，与交于点，利用折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的三线合一性，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：①连接，如图，∵四边形和四边形和四边形是正方形，∴，∴三点在一条直线上，∵，，∴和为等腰直角三角形，∴，，∴，∴；②∵三点在一条直线上，，∴直线和直线所夹的锐角等于，故答案为：；（2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：连接，，如图，∵四边形和四边形为正方形，∴，，∴和为等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴；延长，交于点，交于点，∵，∴，∵，∴，∴，即直线与直线所夹的锐角等于，∴（1）中的结论仍然成立；②如图，连接，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵边的中点为，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，∴；故答案为：．（3）的值是定值，定值为3，理由如下：过点作于点，连接，，，与交于点，如图，∵四边形为正方形，∴，由折叠的性质可得：，，，．∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，，∴．由（2）①的结论可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的值是定值，定值为．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．12．（2023·浙江金华·统考二模）如图1，在矩形中，，，动点P从点C出发，以1个单位每秒速度，沿线段运动，同时，动点Q从点B出C发，以2个单位每秒速度，沿射线运动，当点P到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)如图2，与交于点M，当时，求与的面积之比．(3)在点P，Q的整个运动过程中，直线上是否存在点E，使以为直角边的，与以点P，Q，C三点为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求t的值．【答案】(1)或；(2)(3)或或．【分析】（1）分两种情况：当在上时，，当在的延长线上时，；（2）如图，过作于，过作于，证明，，，可得，则，同理可得：，由，可得，解得：，可得，，再利用面积公式计算即可；（3）由以为直角边的，与以点P，Q，C三点为顶点的三角形相似，分根据分两种情况：当在上，当在的延长线上，再画出图形求解即可．【详解】（1）解：当在上时，，当在的延长线上时，；（2）如图，过作于，过作于，∵矩形中，，，∴，，，∴，则，同理可得：，∵，∴，解得：，∴，，∴与的面积之比为：；（3）∵以为直角边的，与以点P，Q，C三点为顶点的三角形相似，∴，∴当，则，∴，此时四边形为矩形，∴，∴，当时，，此时，∴，，此时，∵，∴，∴，∴，解得：，经检验符合题意；如图，当时，∴∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：；而，经检验不符合题意；舍去；当，重合，，重合，满足，此时此时，综上：或或．【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．13．（2023·浙江温州·模拟预测）阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，．①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；②若，，请直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)①，见解析；②2或4【分析】（1）延长至，使，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论；（2）①延长至点，使，连接、，先证（），得，，则，再证（），得，，然后证是等边三角形，即可得出结论；②分两种情况，当为的中位线时，，可求出答案；当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，证明（），得出，则可得出答案．【详解】（1）证明：延长至，使，连接，在和中，，∴（），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①解：线段与的数量关系为：，证明如下：延长至点，使，连接、，如图所示：∵点为的中点，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴是等边三角形，∴；②解：的长为或．当为的中位线时，，∴为的中点，∴，∴，如图，当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，∵为等腰三角形，，∴，∴，，∵，∴，∵为的中点，为的中点，∴是的中位线，∴，，∴，∴，，∴，，∵，∴（），∴，∴，即，∴，即，综上所述，的长为或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理的证明、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．（2023·浙江宁波·统考一模）【基础巩固】（1）如图1，于点B，于点C，交于点，求证∶．【尝试应用】（2）如图2，在矩形中，是上的一点，作交于点，，若，求的值．【拓展提高】（3）如图3，菱形的边长为为上的一点，作交于点，交于点，且，求的长．【答案】（1）见解析（2）（3）【分析】（1）证明即可得出结论；（2）先证明，得，再设，则，，即，解之即可求出x值，再把x值代入比例式中即可求解；（3）连接交于M，交于O，根据菱形性质和解直角，求得，，再证明，得，从而得，继而求得，然后证明，得到，则，即可求得，，从而求得，则可求得，，，证明得，即，则，最后由求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，，∴，解得：，（不符合题意，舍去），∴；（3）连接交于M，交于O，∵菱形，∴，∴，∴，设，，由勾股定理，得，解得：，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵菱形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，即，∴，∴，，∵菱形，∴，∴，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目．15．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，E为的中点，将绕点D顺时针旋转α（）得到.(1)求的面积.(2)旋转过程中，是否存在α使得与的面积相等？若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由.(3)旋转过程中，当所在直线经过点B时，求的长.【答案】(1)4(2)存在，或(3)或【分析】（1）由题意易得，，，然后问题可求解；（2）由题意可分当在上方时和当在下方时，然后分类求解即可；（3）由题意可分当射线经过点B时和如图3，当射线经过点B时，然后根据相似三角形的性质与判定及勾股定理可进行求解．【详解】（1）解：在矩形中，，∵E为的中点，∴，，，∴；（2）解：存在，理由如下：当时，则有，①如图1，当在上方时，

∵，，∴即；②如图2，当在下方时，此时，点与点C重合，∴；综上所述，α的值为或；（3）解：①如图2，当射线经过点B时，∵，，∴，又∵，，∴；②如图3，当射线经过点B时，记与的交点为F，作于点G.∵，在和中，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴∴，设，则，可列方程，解得，∴，∵，∴，由得，∴；综上所述，的长为或．【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理旋转的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理旋转的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．16．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，已知菱形，E为对角线上一点．[建立模型]（1）如图1，连结．求证：．[模型应用]（2）如图2，F是DE延长线上一点，，交于点G．①判断的形状，并说明理由．②若G为的中点，且，求的长．[模型迁移]（3）F是延长线上一点，，交射线于点G，且，．求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①等腰三角形，理由见解析；②；（3）【分析】（1）证明，进而结论得证；（2）①由，可得，则，由，可得，即，进而可判断的形状；②如图2，过作于，过作的延长线于，，，，，由，可得，求的值，在中，由勾股定理得，求解即可；（3）解：如图3，连接交于，过作于，由题意，设，则，在中，由勾股定理得，则，由菱形的性质得，，，由，，可得，即，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，则，由，求解得的值，由求的值，根据求的值，进而可得的值．【详解】（1）证明：由菱形的性质可知，，，在和中，∵，∴，∴；（2）①∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．②如图2，过作于，过作的延长线于，由题意知，，，∴，，，∴，∵是等腰三角形，∴，∴，∵，∴，解得，在中，由勾股定理得，∴的长为；（3）解：如图3，连接交于，过作于，由题意，设，则，在中，由勾股定理得，∴，由菱形的性质得，，，∵，，∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，即，∵，即，解得，∵，

∴，∴，∴，，∴，∴的值为．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正切，余弦，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．17．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：．（2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接．①[思考探究]如图2，当时，求的长．②[拓展延伸]如图3，当时，求的长．【答案】（1）证明见解析，（2）①．②【分析】（1）证明，即可得证；（2）①取中点F，连接，则为的中位线，证明，得到，列式计算即可；②取中点，连接，过点E作，垂足为G，证明，得到，进行计算即可．【详解】（1）证明∵，∴，∴，∴．（2）①取中点F，连接，∵，∴，，∵E为中点，∴为的中位线，∴，，∴，∵，∴，∴，∴设，则，∴解得，（舍去），∴．②取中点，连接，过点E作，垂足为G，设，∵为的中位线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵，．∴，解得，（舍去）．∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解一元二次方程．解题的关键是添加辅助线，构造三角形的中位线，证明三角形相似．18．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，是锐角中边上的高，将沿所在的直线翻折得到，将沿所在的直线翻折得到，延长相交于点P．(1)如图1，若，求证：四边形为正方形；(2)如图2，若，当是等腰三角形时，求的度数；(3)如图3，连结，分别交于点G、H，连结交于点M，若，①求_________度；②若，求的面积．【答案】(1)见解析(2)或(3)①；②【分析】(1)根据折叠的性质知而，由此可证得四边形是矩形；而，所以四边形是正方形；(2)利用翻折先求出，再对等腰三角形进行分类讨论即可求得答案；(3)①利用利用等腰三角形求出，然后即可得解；②利用相似三角形的判定和性质证明求出，然后利用面积公式求解即可．【详解】（1）解：∵，且和分别是由和翻折得到∴，∴四边形为矩形又∵，∴四边形为正方形．（2）设，则，∴，而∵是等腰三角形∴当时，∴当时，∴当时，∴∴为或（3）①由(1)知∴∴故答案为：；②∵，∴∴又∵，∴∴∴∴，∵，∴，∴即，∴∴【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形性质等知识，正确寻找相似三角形，对等腰三角形进行正确的分类讨论是解题关键，属于中考常考题型．19．（2023·浙江金华·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点、．将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．(1)四边形的形状是，当时，的值是；(2)①如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴上时，求的值；②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积；(3)在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)矩形，(2)①；②(3)存在点P1（﹣9﹣，6），P2（，6），使BP＝BQ．【分析】（1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得出四边形是矩形．当时，可知，（2）①利用相似三角形的性质，求得的比，求得；求得进而得出答案；②根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式进行计算．（3）构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得坐标．【详解】（1）解：∵O为坐标原点，点，直线经过点、，∴，，所以四边形是矩形；当时，P与C重合，如图所示：根据题意．故答案为：矩形；；（2）解：①图2中，∵，，∴．∴，即，∴，．同理，∴，即，∴，．∴，②图3，在和中，，∴．∴．设，在中，，解得．∴．（3）解：存在这样的点P和点Q，使．点P的坐标是，．过点Q作于H，连接，则，∵，，∴．设，∵，∴，如图4，当点P在点B左侧时，，在中，，解得，（不符实际，舍去）．∴，∴．如图5，当点P在点B右侧时，∴，．在中，，解得．∴，∴，综上可知，存在点P，使，点P的坐标是，．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判断与性质．20．（2023·浙江宁波·统考一模）【基础巩固】(1)如图1，四边形中，平分，．求证：；【迁移运用】(2)如图2，在（1）的条件下，取的中点E，连接交于点F，若，，求的长；【解决问题】(3)如图3，四边形中，，，在上取点E，使得，恰有．若，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）证明，得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出，，根据平行线的判定得出，证明，得出，求出，根据等腰三角形的判定得出；（3）连接，，证明，得出，证明，设，根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，再根据四边形面积等于两个三角形面积和求出结果即可．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．（2）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，∵，∴．（3）解：如图，连接，，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，设，根据勾股定理得：，∴，解得（负值舍去），∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，四边形内角和，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．21．（2023·浙江台州·统考一模）正方形的边长为8，点E是其边上的一点，以为对角线作矩形（点A、H、E、G按顺时针排列），且．(1)如图1，若与交于点M，当时，求证：平分；(2)当点G落在正方形的边上时，求的长；(3)当点E在上运动时，连接，求的最大值．【答案】(1)见解析(2)或(3)的最大值为【分析】（1）证明，得出，根据四边形为矩形，得出，证明，得出，即可证明结论；（2）分两种情况讨论：当点E在上，在上时，当点在上，点G与点D重合时，分别画出图形，求出的长即可；（3）过点G作于M，延长交于点N，设，，则，根据，得出，求出，证明，得出，根据，求出，根据勾股定理得出求出，得出，求出最大值即可．【详解】（1）证明：∵，∴，，，∴，即，∵，，，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：当点E在上，在上时，如图所示：∵四边形为矩形，∴，，∴，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即,∴，∴，∴，∴，∴，∴；当点在上，点G与点D重合时，如图所示：∵四边形为矩形，∴，，∴，∴，∴，∴；综上分析可知，或．（3）解：过点G作于M，延长交于点N，如图所示：则，∵四边形为正方形，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，，，设，，则，∵四边形为矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴，在中，根据勾股定理得：，∴，∴，∵，∴当时，取最大值，且最大值为．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，求二次函数的最大值，勾股定理，解题的关键是理解题意，画出相应的图形，用函数知识解决几何问题．22．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图，在中，，．点D是直线上一动点．过点D作，满足点E在上方，，以、为邻边作．(1)求的长以及点C到的距离；(2)设线段与边交于点M，线段与边交于点N．当时，求的长；(3)连接，沿直线分割，当分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，求的长．【答案】(1)；点C到的距离为(2)(3)的长为【分析】（1）运用勾股定理得，运用三角形面积的不变性，计算点C到的距离．（2）过点N作于点G，交于点H，根据平行四边形的性质，结合已知得到时，运用等角的三角函数值相等，确定，设，则，于是．根据建立等式计算即可．（3）分与相交和两种情况，运用勾股定理，三角函数，三角全等计算即可．【详解】（1）∵，，∴．设点C到的距离为h，根据题意，得，∴，解得，故点C到的距离为．（2）过点N作于点G，交于点H，∵，，，，∴，∴．∵，，∴，∴，，∴，∴，，，∴．∵，，∴，∵，设，则，∴．∵四边形是矩形，∴．∵，∴，解得．∴．（3）当与底边的高重合时，∵，，∴，，∴，∴，故只需将绕点D顺时针旋转就拼成一个不重叠无缝隙的三角形，∵，，∴，∴．∵，∴．设，则，∴，解得，故；当经过的中点M时，延长交于点N，∵，，∴，，∴，∴，∴，故只需将绕点M逆时针旋转就拼成一个不重叠无缝隙的三角形，过点C作于点G，∵，，∴，∴．∴，解得．∵，∴．设，则，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，解得，故；当与重合时，延长二线交于点M，∵，，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，故只需将绕点N逆时针旋转就拼成一个不重叠无缝隙的三角形，

故；当，且当经过的中点M时，延长交于点N，∵，，∴，，∴，，∴，，∴，故只需将绕点M逆时针旋转就拼成一个不重叠无缝隙的三角形，过点C作于点G，∵，，∴，∴．∴，解得．∵，∴．∴，∴，解得；综上所述，的长或或或．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，旋转和中心对称，熟练掌握三角函数，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．23．（2023·浙江温州·统考一模）如图1，在矩形中，，．，分别是，上的动点，且满足，是射线上一点，，设，．(1)求y关于x的函数表达式．(2)当中有一条