2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展五：空间向量与立体几何大题专项训练(32道)(详解版)

拓展五：空间向量与立体几何大题专项训练（32道）

等高频考点

考点精析

类型一异面直线所成的角（2道）

1,（2022•湖南岳阳•高二期末）如图，在直三棱柱A8C-ABG中，侧面惧，侧面的与民M、N分别

为8C、AG的中点，AB=AC=4,AA[=3i

（1）求证：直线MCJ/面A&V；（2）求异面直线MG与BN

C

所成角的余弦值.

2、（2022•江苏省如皋中学高二期末）如图，直三棱柱ABC-ABG中，AB=AC=AA,=\,AB1AC,。是

棱3c的中点,

G

⑴求异面直线AB,,0G所成角的余弦值;

（2）求二面角8,-AD-C,的余弦值.

类型二直线与平面的夹角（5道）3、（2022•广东•高二期末）四边形ABC。是平行四边形,

7T.1

ZCBA=~,四边形A5E尸是梯形，BE//AF,且AB_LAF,AB=BE=-AF=\,8c=0，平面ABC£）_L

平面ABEF.

⑴求证:AC1EF,

（2）求直线EC与平面所成角的正弦值.

4、（2022•云南玉溪•高二期末）如图，在四棱锥P-A3C£）中，底面A8CO是矩形，E,尸分别是PC,AB

的中点.

⑴证明：EF//平面PAD；

B

(2)若△24。是边长为2的等边三角形，AB=>H，平面P4DJ_平面A8CZ),求直线尸£>与平面OE厅所成角

的正弦值.

5、(2022•江苏•镇江市实验高级中学高二期末)在四棱锥P-ABC。中，底面A5CZ)为矩形,以)，底面45a),

通=2,直线厚与底面A5O成60角'点M,N分别是孙形的中点.

(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

(2)求二面角P-NC-。的大小的余弦值.

6、(2022•江苏宿迁•高二期末)在直角梯形CEPD中，PD//EC,PD=S,CE=6,A为线段PD的中点，四边

形A3C。为正方形.将四边形以BE沿A8折叠，使得得到如图(2)所示的几何体.

⑴求直线PD与平面PCE所

(1)(2)

成角的正弦值；

(2)当F为线段A8的中点时，求二面角P-CE-尸的余弦值.

7、(2022•湖北咸宁•高二期末)如图，在梯形43。中，已知AB=4,AD=DC=BC=2,M为AB的中点.

将△ADM沿OW翻折至△Q加，连接PC,PB.

（1）证明：DMLPC.

（2）若二面角P-OM-C的大小为60°,求P8与平面4BCD所成角的正弦值.

类型三平面与平面的夹角（二面角）（12道）

8、（2022•湖北武汉•高二期末）如图，在四棱锥尸中，平面E4O,平面A8C。，点E为PC的中点,

AB//CD,CD±AD,CD=2AB=2,PA=AD=1,PALAD.

（1）证明：BE_L平面PC。；

（2）求二面角P-8ZAE的余弦值.

9、（2022•广东梅州•高二期末）如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面ABC。是正方形，M是。

的中点，AD=AE=DE=CG=2,BF=\,EMYBD.

⑴证明：BDLGM；

（2）求平面与平面EFG所成二面角的余弦值.

10、（2022•江西上饶•高二期末（理））如图，在四棱锥P-AfiCD中，PA_L底面

ABCD,AB±AD,BC//AD,PA=AB=BC=^AD,E、f分别为棱PD、PC的中点

⑴作出平面ACE与平面8FE的交线，并说明理由.

⑵求二面角C-AE-尸的余弦值.

11,（2022•福建•福州三中高二期末）如图，在三棱锥S-A3C中，侧面SAB为等边三角形，XABC=90,

AB=BC=2,平面SAB，平面A8C,。为AC的中点.

（1）求证：ABA.SD；

（2）若无=2可，求二面角S-尸的大小.

12、（2022•四川省成都市新都一中高二期末（理））如图，点O是正方形48C。的中心，CDLDE,CD//EF,

CD=2EF=2,AC1OE.

13、（2022•重庆市实验中学高二期末）已知底面A8CQ为菱形的直四棱柱，被平面4E尸G所截几何体如图

G,

所示.

(1)若CE_LBG,求证：FGLBG；

(2)若AB=2,ND48=60',三棱锥GACD的体积为2叵，直线4尸与底面A5CD所成角的正切值为必，

32

求锐二面角A-EC-3的余弦值.

14、(2022•安徽省临泉第一中学高二期末)如图，在四棱锥中，PAL^ABCD,M,N分别为

PB,尸。的中点，底面ABCQ为正方形，且43=4.

(1)若=证明：PC_L平面AMN.

(2)若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°,求PC的长.

15、(2022•云南昆明•高二期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PC_L平面ABC,BC=6AC,ZBAC=^,

M是%的中点.

(1)证明：PAYBC；

(2)若PC=AC,求平面PBC与平面BCM所成角的大小.

16、(2022•广东广州•高二期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PCA.BC,A3,平面PBC,AG=GC,PD=DA.

P

D

（1）求证：平面8DG_L平面ABC；

（2）若AB=BC=CP=2,求平面AM与平面CBD的夹角大小.

17、（2022•广东广州•高二期末）如图，。尸为圆锥的高,43为底面圆。的直径,C为圆0上一点，并且4C=8C，

E为劣弧BC上的一点，且AB=6,OP=4.

（1）若E为劣弧BC的中点，求证：3C，平面POE；

（2）若£为劣弧BC的三等分点（靠近点C）,求平面PEO与平面PE5的夹角的余弦值.

18、（2022•湖南郴州•高二期末）如图，直三棱柱ABC-ABC中，A8C是边长为2的正三角形，。为AB的

中点.

COJL平面A8BH；

（2）若直线BC与平面ABA4所成的角的正切值为半，求平面A8G与平面48G夹角的余弦值.

19、（2022•海南•海口中学高二期末）如图，在四棱锥尸—A3CD中，AD//BC,ZADC=ZPAB=90°,

BC=CD=-AD=\,E为边A。的中点，异面直线PA与CO所成的角为90°.

p

(1)在直线抬上找一点M,使得直线CM〃平面P8E,并求翳的值;

⑵若直线C。到平面PBE的距离为平，求平面P5E与平面PBC夹角的余弦值.

类型四点到面的距离(3道)

20、(2022•江苏宿迁•高二期末)如图，三棱柱ABC-ABC中，所有棱长都为2,且幺AC=60。，平面AACC」

平面A8C,点P,。分别在A8,上，且AP=AQ.

(1)求证：PQ〃平面B|BCG

(2)当点尸是边AB的中点时，求点用到直线PQ的距离.

21、(2022•安徽•合肥一中高二期末)如图，在四棱锥尸-A3CO中，底面ABC。为菱形，且AB=2,

7T

ZABC=2NBAD,ZPDC=-,点用为棱的中点.

(1)在棱BC上是否存在一点N,使得CM〃平面PAN,并说明理由;

(2)若P5_LAC,二面角8-CM-。的余弦值为逅时，求点A到平面BCM的距离.

6

22、(2022•江苏•南京师大附中高二期末)在矩形A8C。中，AD=2AB=2C，点E是线段4。的中点，将

△4〃七沿56折起到425后位置(如图)，点尸是线段CP的中点.

(1)求证：。尸〃平面尸BE：

(2)若二面角P-BE-C的大小为多求点A到平面PCD的距离.

类型五空间向量动点的设法(3道)

23、(2022•江苏徐州•高二期末)如图，已知SA垂直于梯形A5C。所在的平面，矩形SAOE的对角线交于

JT1

点F,G为S8的中点，ZABC=ZBAD=~,SA=AB=BC=-AD=\.

(1)求证：8。〃平面AEG；

(2)求二面角C-SO-E的余弦值;

(3)在线段EG上是否存在一点//,使得8"与平面SCO所成角的大小为?？若存在，求出GH的长；若不

0

存在，说明理由.

24、(2022•江苏泰州•高二期末)如图，在正四棱锥中，AC,30交于点。，45=2,OP=\.

(1)求二面角。一/^—3的大小；

⑵在线段AD上是否存在一点Q,使得PQ与平面APB所成角的正弦值为也?若存在，指出点。的位置

6

若不存在，说明理由.

25、（2022•浙江绍兴•高二期末）如图，在四棱锥尸-A8C。中，底面A5CZ）,ADLAB,AB//CD,

S.AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的动点.

（1）当点E是棱尸C的中点时，求直线BE与平面所成角的正弦值;

（2）若E为棱PC上任一点，满足8ELAC,求二面角P-A8-E的余弦值.

类型六与动点有关的最值问题（4道）

26、（2022•江苏淮安•高二期末）已知四棱锥P-A3co的底面为正方形，侧面加。为等腰直角三角形,

7T

ZAPD=-,平面R4D_L平面A5C£>,平面AWc平面PCD=/.

⑴求证：平面以。；

⑵设M为/上一点，求PC与平面MAO所成角正弦值的最小值.

27、（2022・浙江•镇海中学高二期末）如图，在六面体P/WCD中，△PAS是等边三角形，二面角P-A8-£>

的平面角为30。，PC=AB=y[2AD=42BD=>/2AC=y/2BC=4.

B

（1）证明：AB±PD；

⑵若点E为线段50上一动点，求直线CE与平面R3所成角的正切的最大值.

28、（2022•福建省福州第八中学高二期末）已知直三棱柱ABC-A8G中，侧面4ABtB为正方形,AB=BC=2,

E,尸分别为AC和CC,的中点，。为棱4向上的点，BF±A«,.

（1）证明：BFLDE；

⑵求当面88CC与面。庄所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥E-双出的体积.

29、（2022•辽宁葫芦岛•高二期末）如图，在长方体A3CD-A'8'C'D中，底面是边长为1的正方形，侧棱长

为2,且动点尸在线段AC上运动.

⑴若。为48'的中点，求点。到平面ACD的距离；

⑵设直线3'P与平面ACD'所成角为6,求sin6的取值范围.

类型七立体几何的探索性问题（3道）

30、（2022•广东汕尾•高二期末）如图（1）所示的四边形ABCP中，AB//PC,ZABC=90°,AD//BC,

PC=2AB=2,沿A。将进行翻折，使得NPDC=90。，得到如图（2）所示的四棱锥P-ABCD.四

棱锥的体积为也，点M为线段8c上的动点（与端点8,C不重合）.

3

⑴求证：P£>_L平面ABC。；

(2)

⑵探求是否存在大小为?的二面角M-PA-8.如果存在，求出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理

O

由.

31、（2022•江苏常州•高二期末）如图，在三棱柱中，四边形48阴4为正方形，四边形AA/GC

为菱形，且NA4c=60。，平面44/C/CL平面4Ba4,点。为棱B明的中点.

⑴求证：AAi±CD；

⑵棱小G（除两端点外）上是否存在点M,使得二面角5-4M一用的余弦值为半？若存在'请指出点

M的位置；若不存在，请说明理由.

32、（2022•江苏省如皋中学高二期末）如图，在四棱锥ST5C0中，底面A8CO为矩形，45=4,AB=2,

_uni1iim

ACHHD=O,SO_L平面ABC。，SO=J5,BF=-FC,E是S4的中点.

（1）求直线E尸与平面SCO所成角的正弦值;

（2）在直线SC上是否存在点M,使得平面平面SCD?若存在，求出点M的位置;

若不存在，请说明理由.

拓展五：空间向量与立体几何大题专项训练（32道）

等高频考点

考点精析

类型一异面直线所成的角（2道）

1,（2022•湖南岳阳•高二期末）如图，在直三棱柱A8C-ABG中，侧面惧，侧面的与民M、N分别

为8C、AG的中点，AB=AC=4,AA[=3i

（1）求证：直线MCJ/面A&V；（2）求异面直线MG与BN

所成角的余弦值.

【解题思路】（1）证明平行四边形得线线平行，进而根据线面平行的判定定理即可证明.（2）根据空间直角

坐标系根据向量的夹角求线线角.

【解题过程】（1）证明：取AB的中点P,连PM、PN

因为M，N分别为BC、AG的中点，所以

且MP=（AC,又在直三棱柱ABC-ABC中，

C、N"AC且CM=；AC,所以MP//CR且MP=qN.

所以四边形MPZq为平行四边形，所以MCJ/PN

因为MGa平面ABN,PNa平面ABN,

所以直线MCJ/平面ABN；

⑵解:在直三棱柱ABC—AAG中AA，平面ABC,所以AB，AA,

又侧面AACC，侧面AA48,平面例CCD平面A44B=AA，所以48，平面4。。小，分别以

AC、A4PAB所在直线为x，V，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知

G(4,3,0),8(0,0,4),M2,3,0),M(2,0,2),所以西=(2,3,-2),就=(2,3,T)；

K引MC.BN2x2+3x3+(-2)x(-4)217493

所以cos<MC,,BN>=I.一=I---------]--------=---------------

切■人\MCt\\BN\百+3?+(-2产也?+3?+(-4>493'

所以异面直线MG与8N所成角的余弦值为嚅.

2、(2022•江苏省如皋中学高二期末)如图，直三棱柱ABC-ASG中，AB=AC=AA,=\,AB1AC,。是

棱BC的中点，

(1)求异面直线Ag,OG所成角的余弦值;

⑵求二面角B,-AD-C,的余弦值.

【解题思路】(1)建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，求出福，西，利用向量的夹角公式求得答案;

(2)求出平面平面用4。和平面ADCt的一个法向量，利用向量夹角公式求得答案.

【解题过程】(1)以｛醺，衣，羽｝为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-型,

则A(0,0,0),8(1,0,0),线(l,0,l),C(0,l,0),D(|,1,0),C,(0,1,1),

—•——11

AB,=(1,0,1),DC,1),

所以cos〈福，/>=瑞禽=个，所以直线Ag,0G所成角的余弦值为《；

(2)设正=(x,y,z)为平面的一个法向量,

AZ5=（g,；,0）,A瓦=（1,0,1）,

____b]]

m-AD=-x+-y=0rx+y=0

\m-AB；=X+z=0'G+z=O

令x=l,则y=-l,z=-1,机=（1,-1,一1）,

—«11——

同理4。=（万,于0）,AC|=（0,1,1）,

nAD=—x+—y=0x+y=0

则22

y+z=0'

fl.ACx=y+z=0

可取平面ADC,的一个法向量为］=

-----m・n11

则cos<见心辆=反耳下

由图可知二面角4-4O-G为锐角，

所以二面角用-A。-G的余弦值为g.

类型二直线与平面的夹角(5道)

TT

3、(2022•广东•高二期末)四边形"。是平行四边形，四边形A度是梯形，BEHAF,且

D

ABVAF,AB=BE=-AF=\,BC=0,平面ABC£>_L平面ABEF.

2

BE

（1）求证：AC±EF；

（2）求直线EC与平面EBD所成角的正弦值.

【解题思路】（1）利用余弦定理求出AC,即可得到AC1.AB,由面面垂直的性质得到AC_L平面4BEF,

即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【解题过程】（1）证明：因为45=1,BC=C，ZCBA=^,

由余弦定理AC2=AB2+BC--2AB-BCcosNCBA=l+2-2xlx>/2x—=1,

2

所以AC=1,则AC2+AB2=BC2,所以NBAC=],即ACJ_他，

又平面ABC£>_L平面ABEF,平面ABCOA平面=ACu平面ABC£）

所以AC_L平面ABEF,又EFu平面ABEF,所以ACE/7;

（2）解：如图建立空间直角坐标系，则以1』,0）、尸（0,2,0）、C（0,0,l）、0（-1,0,1）,

所以就=(—1,一1,1),EF=(-1,1,O),ED=(-2,-1,1),

n-EF=-x+y=0.八.八

设平面EE。的法向量为〃=（x,y,z）,所以<值而―=。，令I'则〃=(1/,3)，

|反臼1733

设直线EC与平面E"）所成角为氏贝心血=扁=及忑=方

D

故直线EC与平面EFD所成角的正弦值为醇;

4、(2022•云南玉溪•高二期末)如图，在四棱锥中，底面ABCO是矩形，E,尸分别是尸C,AB

的中点.

(1)证明：EF//平面PAD；

(2)若△以。是边长为2的等边三角形，AB=O,平面PADJ_平面48。，求直线PD与平面OEF所成角

的正弦值.

【解题思路】(D由线面平行的判定定理求解即可；

(2)建立坐标系，用向量法求解即可

【解题过程】⑴取尸。的中点G,连接GE,AG,

在^PZX7中，GE//DC,且GE=《OC,

又ZX7/MB,AF=^AB=^DC,

所以GE〃AF,S.GE=AF.

所以四边形"EG为平行四边形，

所以EF//GA,

因为EFcZ平面PAD,GAu平面PAD,所以EF〃平面PAD.

(2)取A。的中点为。，连接OP,则

又平面RW_L平面A8CD,贝！JOPJ■平面ABCZ).

建立如图空间直角坐标系。-型.由已知得

P(O,O,⑹，0(-1,0,0),F|

11,4,。],C(-1,V2,O),5'2'2,

2,号o],DE

所以PD=(—1,0,—6),DF—

n-DF=Q

设G=(x,y,z)是平面£＞即的法向量，贝人

n-DE=0

2x+^-y=0

2

即・r-「，令x=l,则石=(1,-2立⑹

13石八''

—x+——y+——z=()

1222

设直线产。与平面OEF所成的角为夕

|PD.«|_

4百

则sin。=

|PD||W|-2xVi2-3，

所以直线PO与平面。瓦'所成角的正弦值为由.

M,N分别是R1,的中点.

(1)求直线PA与平面尸3c所成角的正弦值;

(2)求二面角P-NC-。的大小的余弦值.

【解题思路】（1）以。为原点，向量D4、诙、。户的方向为x、y、z轴的正方向，建立坐标系，设AD=I,

设面P8C的法向量为而=（不如zj,直线E4与面P8C所成的角为，，求出法向量和丽，再代入公式计算；

（2）由（1）知面PBC的法向量为正=（0,石,2）,设面COV的法向量为日=（超,％4），求出反=（-6,0,1）再

代入公式cos（而用m-n

一I一I门计算;

【解题过程】（1）以。为原点，向量方、玩、丽的方向为x.y.z轴的正方向，建立坐标系,

设A£>=1,贝UAB=2,

VPQ_L底面ABCD,：.NR4D为直线总与平面ABCO所成的角,

二2PAD=60,/.PD=y/3,

0,0),A(l,0,0),8(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,向,M(；,0,苧)，7V(-,1,

尸/=（1,（）,-石），丽=（1,2,-6）,设面PBC的法向量为而=（.y”zj,

直线以与面PBC所成的角为巴

则》?・=±+2y-Gz]=0且/«-3C=-X1=0,取Z|=2,则4=0,乂=#,.•.根=((),石,2),

麻・珂0T

sm0=...—.=——・

H网7

⑵由(1)知面P8C的法向量为送=(0,6,2),设面CON的法向量为3=(々,%*2)，

•丽=(1/，¥),反=(0,2,0),。户=(0,0,6),

n-DN=g々~z2=0K«-DC=2y2=0,

取z?=l,则9=-6，%=。，贝”=(-右,0,1),

又：正.丽=3>0，n-DP=y/3>0,

...二面角P-NC-力的大小的余弦值为

6、（2022•江苏宿迁•高二期末）在直角梯形CEPD中，PD//EC,PD=8,CE=6,A

为线段叨的中点，四边形ABCZ）为正方形.将四边形以8E沿A8折叠，使得上得到如图（2）所

示的几何体.

⑴求直线也与平面PCE所

(1)(2)

成角的正弦值；

（2）当尸为线段AB的中点时，求二面角P-CE-尸的余弦值.

【解题分析】（D（2）建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得；

【解题过程】⑴解：依题意可得以_LA8、PA±AD,ABLAD,如图建立空间直角坐标系,

则4（0,0,0）、3（4,0,0）、。（4,4,0）、£>（0,4,0）、*0,0,4）、£（4,0,2）,

所以京=（0,<2）,丽=（工-4,4）,DP=（0,-4,4）,

设平面PCE的法向量为X”z），所以得二m二。，令日，则z=2,I,所以.0』,2）,

卜・加|4x/3

设直线即与平面PCE所成角为凡贝^”扇=卬4=不

设平面CE尸的法向量为加=(a,b,c),所以上会，，\，令6=1,则加=(-2,1,2),

m-CE=-Ab+2c=u

7、(2022•湖北咸宁•高二期末)如图，在梯形ABQ9中，已知AB=4,AD=DC=BC=2,M为AB的中点.

将△AZW沿。M翻折至△2加，连接PC,PB.

(2)若二面角P-OM-C的大小为60°,求尸8与平面48。所成角的正弦值.

【解题思路】(1)连接AC,交DM于点O,连接PO,根据线段长度关系可得四边形AMCO为菱形，从而

得到DM±AC,再根据等腰三角形证明DMLPO即可证明平面PCO,从而得到DMLPC.

（2）以。点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再由（1）可得NPOC=60。，进而得到而，再根据线面

角的向量求法求解即可

【解题过程】（1）证明：连接AC,交于点0,连接尸0.

因为4B=4,AD=DC=BC=2,M为48的中点，所以4M=AQ=CD.

又四边形A8C。为梯形，则四边形为菱形，所以OMLAC.

又P£>=PM,。是。M的中点，所以OMLP。.

因为ACu平面PCO,POu平面PCO,ACHPO=O,所以OM_L平面PCO

又尸Cu平面PCO,所以OM_LPC.

（2）以。点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

因为二面角P-DM-C的大小为60。，由（1）OM_L平面PC。，所以NPOC=60。,

(3、___(h3

易得NB/W=60。，贝!!8(2,6,0),P0,^-,-，方=2,y-,-1

平面48C。的一个法向量而=（（）,（）/），设/,8与平面48co所成的角为a,

贝kina=|cos（第,：»=*=誓，即网与平面45。所成角的正弦值为呼

类型三平面与平面的夹角（二面角）（12道）

8、（2022•湖北武汉•高二期末）如图，在四棱锥尸-A8C。中，平面RLDJL平面A8C。，点E为PC的中点,

AB//CD,CD1.AD,CD=2AB=2,PA=AD=1,PA1.AD.

⑴证明：BEJ_平面PC。；

(2)求二面角P-5D-E的余弦值.

【解题思路】(1)取尸。的中点尸，连接EF,根据题意证得3EJ_P£),BE上PC,结合线面垂直的判

定定理证得结果；(2)如图建立空间直角坐标系，求得平面PBD的法向量为(1,1,1),平面E8D的法向

量为后=(1,1,-1),利用向量所成角的余弦值，进而得到二面角尸-BD-E的余弦值

【解题过程】(1)证明：取尸。的中点尸，连接4尸，EF,

又回〃CD,AB=gcD,所以£尸//43,EF=AB,

所以四边形ABE尸为平行四边形，所以AF//BE.

因为Q4=AO=1,PF=FD,所以AF_LP£>.

所以BELPD

因为平面RLDJ•平面A3CD,PA±AD,

所以"_L平面48CO,所以

所以PB=BC=8.

又点E为PC的中点，所以BE_LPC

又PCcPD=D,所以8E_L平面PCD.

⑵

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,

设平面PM的法向量为还（”的）,则上募:

x.-z.=0一，、

得取X1=1.得〃1=(1,1,1)

[―办+y=0

设平面屈BZ）的法向量为后=（々,）”，），贝!I,々兽"

[n2-BD-0

J,1—

得5"+斗-取马=1.得|=（□,_1）.

.-X,+y2=0

所以8s⑸司二淌4,

所以二面角P-BD-E的余弦值为g.

9、（2022•广东梅州•高二期末）如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面A8CO是正方形，M是CD

的中点，AD=AE=DE=CG=2,BF=\,EM±BD.

⑴证明：BDA.GMi

⑵求平面EMG与平面EFG所成二面角的余弦值.

【解题思路】(1)由正方体对角线垂直3D_LAC结合AC7/EG可得结合题意根据线面垂直的判

断定理证明；

⑵利空空间向量处理面面夹角，cos0=|cos(n,8可.【解题过程】⑴证明：连AC,因为AE//CG,AE=CG,

所以四边形AEGC是平行四边形，所以AC//EG,

又5O_LAC,所以8£>_LEG,

而EGcEM=E,所以8。1平面EMG,

因为GA/u平面EMG,所以8£>J_GM.

(2)解：取AO的中点0,连E。、OM,则。M//AC7/EG,所以E、G、M、。四点共面，

又BD_L平面EMG,EOu平面EMG,所以BDLEO,

又EO_LA。，BD2ADD,所以EO_L面ABC。，

以。为原点，过。垂直于AD的向外的射线为X轴，。。为y轴，0E为z建立如图空间直角坐标系，

则A（OTO）,0（0,1,0）,8（2,-1,0）,£（0,0,5/3）,C（2,l,0）,

由前=；通=(0,；,图，所以尸卜,-；岑

—.1V3—►—■,、

所以后尸=2,--,-^-,又£G=AC=（2,2,0）

设〃=(x,y,z)为平面EFG的法向量,

2x--y-^-z=0^取“5可得分=（亚-后,5）,

n-EF=O行，

由，一，贝叫

无EG=O

2x+2y=0

又丽=(-2,2,0)是平面EMG的一个法向量,

设平面EMG与平面EFG所成的角为0,

所以cosjfcos依而卜儡|=卜2勺2闽闹

丁•J3+3+25-31

10、（2022•江西上饶•高二期末（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面

ABCD,AB1AD,BC//AD,PA=AB=BC=AD,E、F分别为棱PD、PC的中点

⑴作出平面ACE与平面BFE的交线，并说明理由.

（2）求二面角C—AE-F的余弦值.

【解题思路】（D根据证明平行四边形可得平行线，进而可得四点共面，进而根据交点可找交线.

（2）根据空间坐标法，利用法向量的夹角求二面角大小.

【解题过程】（1汝口图，取A。的中点G,连接8G交AC于H,

连接EH,贝！I平面ACED平面5庄=E"

以下为证明过程

•：AB±AD,BC//AD,AB=BC=-AD,则四边形ABCG为正方

形，四边形88G为平行四边形，，8G=Cr>=28〃，又CD=2EF,故BH/1EF,BH=EF

BHEF为平行四边形，:.BF〃EH.

则，5、尸、E、H四点共面，.平面8庄，

又He平面ACE:.H为平面ACE与平面BEF的公共点，又r.E为平面4CE与平面BEF的公共点

..平面ACE口平面BFE=EH

⑵因为PA_L底面ABCD,AB,ADu平面ABCD,所以a_LM,

PAJ_AD.由题意可知，AB,A£>,4尸两两垂直，建立如图所示的空间直角

坐标系。-孙Z,不妨令上4=2,则A（0,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,2）,

E（0,2,1）所以衣=（2,2,0）,通=（0,2,1）,

设平面4CE的一个法向量为加=（x,y,z）.

fAC-/n=012x+2y=0,_八।*

Si—八得：I八不妨令x=l,得加=（1,-1,2）.

AE-m=0[2y+z=0.

故平面ACE"的一个法向量机=（1,T,2）,

丽=（0,0,2）,通=（0,2,1）,所以而=而+；斤=（1,1,1）

设平面AEF的一个法向量为3=（%,%,Z。）.

।A*,弁=0,殂J2y+z=0,-/、

由彳得彳00令%=1,得〃=（1,1,一2）,,

7

[AF-n=0,[xo+yo+zo=O.'

所以cos（前,》=mn1—1—42

同“aX瓜3,

因为二面角为锐角，所以一面角C-AE-尸的余弦值为（

11、（2022•福建•福州三中高二期末）如图，在三棱锥S-A3C中，侧面SAB为等边三角形，/ABC=90,

AB=8C=2,平面SA5L平面ABC,。为AC的中点.

B

⑴求证：ABYSD；

(2)若定=2/，求二面角S-AB-P的大小.

【解题思路】Q)取A8中点£,由面面垂直和线面垂直性质可证得SELAB,结合A8J_£>E,由线面垂直

判定可证得平面SDE,由线面垂直性质可得结论；

(2)以E为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量数乘运算可求得尸点坐标，利用二面角的向量求法可

求得结果.

【解题过程】(1)取A8中点E,连接SE,Z)E,

•.•△SAB为等边三角形,E为AB中点,:.SE±AB,

・平面SA8_L平面A8C,平面SABD平面A3C=A8,SEu平面ABC,

.•.SE_L平面ABC,XABI平面ABC,:.SE1AB；

•.•£>,£•分别为中点，.•.DE7/AB,又乙48。=90,.".越_1_£>£,

,.•£)E,SEu平面S£)E,DEC\SE=E,ABSDE,

又S£)u平面SDK,:.ABLSD.

⑵以E为坐标原点，丽，而，旃为％Xz轴可建立如图所示空间直角坐标系,

则A（-1,O,O）,5（1,0,0）,S（0,0,G）,C（l,2,0）,.•.通=（2,0,0）,

设尸(x,y,z),则斤=(l—x,2—y,—z),SP=^x,y,z-^

I

x=—

\-x=2x3

2，即Pf

由1=2可得：.2-y=2y，解得:y=-

3

-z=2(z-退)

273

z=---

3

•••丽=用

设平面的法向量〃=（a,b,c）,

ABn=2a=0

则，一422百，令c=l,解得：〃=0,b=-G，；

AP-n=-a+-b+^-c=O'）

333

uI——।J3

又平面SAB的一个法向量m=（0,1,0）,.,.cos<m,n>\=匕g=—；

Hrl2

由图象知：二面角S-AB-P为锐二面角，，二面角S-AB-P的大小为

0

12、（2022•四川省成都市新都一中高二期末（理））如图，点。是正方形A5C。的中心，CD1DE,CD//EF,

（2）若直线0E与平面ABCD所成角的正弦值为也，求二面角E-AC-F的余弦值.

3

【解题思路】（1）由正方形性质和线面垂直判定可知AC_L平面8E,由此可得月C_LDE,结合C£）_L0E,

由线面垂直的判定可得结论；

（2）以。为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角定义可求得匹=1,利用二面角的向量求法可求得

结果.

【解题过程】(1)；四边形A3。为正方形，

.-.AC1BD,又AC_LO£,BDcOE=O,8£>,OEu平面,

r.AC_L平面OOE,

•••DEu平面O£>E,

：.ACIDEi

又CDA.DE,ACC\CD=C,AC,8u平面ABC。，

.•.EE>_L平面ABCD.

(2)

LILUUUUiumu

以。为坐标原点，D&OCOE的正方向为x，％z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

•.•ED_L平面ABCD,

•••直线OE与平面ABCD所成角为NEOD,

ED

sinZEO£)=—

OE4可+ED?T，

解得：£0=1;

£(0,0,1),4(2,(),0),C(0,2,0),F(0,1,1),

.-.AC=(-2,2,0),^4£=(-2,0,1),丽=(0,-1,1),

设平面E4C的法向量”=(x,y,z),

AC-n=-2x+