高考总复习理数（人教版）第08章立体几何第7节空间向量的应用第1课时

第一课时利用向量证明平行与垂直(对应学生用书P106)利用空间向量证明平行问题[明技法]证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．[提能力]【典例】(2018·南昌模拟)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝(0，－1,0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，设eq\o(PB,\s\up6(→))＝seq\o(FE,\s\up6(→))＋teq\o(FG,\s\up6(→))，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝2，,t－s＝0，,－t＝－2，))解得s＝t＝2，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FG,\s\up6(→))，又∵eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))不共线，∴eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.[母题变式]本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC．证明：∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))，∴BC∥EF.又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC．又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC．[刷好题](2018·唐山模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A证明：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，N(eq\f(1,2)，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·eq\o(DA1,\s\up6(→))＝0，且n·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0，,x＋y＝0.))取x＝1，得y＝－1，z＝－1.所以n＝(1，－1，－1)．又eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥n.又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD．利用空间向量证明垂直问题[析考情]证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．[提能力]【典例】如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．证明：方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λeq\o(BA1,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→)).令eq\o(BB1,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，则eq\o(BA1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a－c，m＝λeq\o(BA1,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))a＋μb＋λc，eq\o(AB1,\s\up6(→))·m＝(a－c)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))a＋μb＋λc))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))－2μ－4λ＝0.故eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥m，结论得证．方法二取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC．所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OO1,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，eq\r(3))，A(0,0，eq\r(3))，B1(1,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－1,2，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,1,0)．因为n⊥eq\o(BA1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BD,\s\up6(→))＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＋\r(3)z＝0，,－2x＋y＝0，))令x＝1，则y＝2，z＝－eq\r(3)，故n＝(1,2，－eq\r(3))为平面A1BD的一个法向量，而eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,2，－eq\r(3))，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))＝n，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))∥n，故AB1⊥平面A1BD．[刷好题]如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC．证明：(1)如图所示，以O为坐标原点，以过O作BC的平行线为x轴，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O－xyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．于是eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,3,4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8,0,0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC．(2)连接MB，MC．由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5)，\f(12,5)))，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－4，－5,0)，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))，则eq