第五章第1讲　万有引力定律及应用-2025版高考总复习物理

[基础落实练]1．(2022·全国乙卷)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们()A．所受地球引力的大小近似为零B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小解析：航天员在“天宫二号”空间站中可以自由漂浮，是由于航天员在“天宫二号”空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员的作用力近似为零，航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大小近似相等，选项A、B错误，C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随空间站运动所需向心力的大小，选项D错误。答案：C2．如图所示，某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，远日点A和近日点B距太阳的距离为a和b，若行星经过A点时的速率为v，则经过B点时的速率为()A．eq\f(b2,a2)v B．eq\f(a,b)vC.eq\r(\f(b,a))v D.eq\r(\f(a,b))v解析：取极短时间Δt，根据开普勒第二定律得eq\f(1,2)a·v·Δt＝eq\f(1,2)b·vB·Δt，得到vB＝eq\f(a,b)v，故B正确，A、C、D错误。答案：B3．(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为()A．9∶1 B．9∶2C．36∶1 D．72∶1解析：设火星质量为M1，半径为R1，“祝融”火星车的质量为m1，在着陆平台支撑悬停过程中，所受着陆平台的作用力F1与火星对其万有引力平衡，则F1＝Geq\f(M1m1,Req\o\al(2,1))；设月球质量为M2，半径为R2，“玉兔”月球车的质量为m2，在着陆平台支撑悬停过程中，所受着陆平台的作用力F2与月球对其万有引力平衡，则F2＝Geq\f(M2m2,Req\o\al(2,2))。由题知M1＝9M2、R1＝2R2、m1＝2m2，则可得F1∶F2＝9∶2，B正确。答案：B4．(2024·四川成都七中诊断)2023年10月24日，遥感三十九号卫星发射成功！某遥感卫星的轨道为椭圆，F1、F2是椭圆的两个焦点，地球(图中没有画出)位于其中的一个焦点。a、b、c是椭圆上的三点，已知卫星从a经过b运动到c速率不断增大，且ab的长度与bc的长度相等，则卫星()A．所受地球的引力始终指向F1B．所受地球的引力与向心力相等C．从a到b与b到c的时间一定相等D．由a经过b运动到c的加速度逐渐增大解析：卫星从a经过b运动到c速率不断增大，说明万有引力做正功，地球应位于焦点F2，卫星所受地球的引力始终指向F2，故A错误；卫星所受地球的引力与向心力不相等，因为卫星的速率在变化，故B错误；根据开普勒第二定律，卫星从a经过b运动到c速率不断增大，从a到b的时间大于b到c的时间，故C错误；卫星从a经过b运动到c的过程中，靠近地球，卫星受到的万有引力增大，根据牛顿第二定律可知，由a经过b运动到c的加速度逐渐增大，故D正确。答案：D5．(2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))解析：对月球，满足Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r(G为引力常量)；对地球表面某一重物有m0g＝Geq\f(Mm0,R2)(G为引力常量)，且r＝60R，联立解得T＝120πeq\r(\f(r,g))。故选C。答案：C6．(2024·四川成都树德中学诊断)我国发射的“天问一号”火星探测器已经在火星上着陆。“天问一号”火星探测器着陆前绕火星做匀速圆周运动，它的轨道距火星表面的高度等于火星半径的k倍，它的运动周期为T，引力常量为G，则火星的平均密度ρ的表达式为()A．ρ＝eq\f(3π(k＋1)3,GT2) B．ρ＝eq\f(3πk3,GT2)C．ρ＝eq\f(3πk3T2,G) D．ρ＝eq\f(3π(k＋1)3,GT)解析：设火星的质量为M，半径为r，探测器质量为m，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,(kr＋r)2)＝m·(eq\f(2π,T))2·(kr＋r)，同时有M＝ρ·eq\f(4,3)πr3，联立解得火星的平均密度为ρ＝eq\f(3π(k＋1)3,GT2)。故选A。答案：A7.如图所示，1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点，M点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是()A．卫星B在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力将先增大后减小B．地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积为椭圆面积C．卫星B的周期是卫星A周期的8倍D．1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合解析：根据万有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)，卫星B在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力逐渐减小，A错误；根据开普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,A))＝eq\f((2R)3,Teq\o\al(2,B))，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积小于椭圆面积，B、C错误；1轨道圆心在地心，2轨道的一个焦点也在地心，所以二者重合，D正确。答案：D8.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k＜1)，已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是()A．eq\f(kgd,Gρ) B．eq\f(kgd2,Gρ)C．eq\f((1－k)gd,Gρ) D．eq\f((1－k)gd2,Gρ)解析：如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1－k)mg，由万有引力定律有(1－k)mg＝Geq\f(ρVm,d2)，解得球形空腔的体积V＝eq\f((1－k)gd2,Gρ)。故选D。答案：D[能力提升练]9．(多选)如表是有关地球的一些信息，根据引力常量G和表中的信息能估算的物理量是()信息序号信息内容①地球半径约为6400km②地表重力加速度约为9.8m/s2③地球近地卫星的周期约84min④地球公转一年约365天⑤日地距离大约是1.5×108kmA.地球的质量 B．地球的平均密度C．太阳的平均密度 D．太阳对地球的吸引力解析：对地球近地卫星有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，解得M＝eq\f(4π2R3,GT2)，由以上数据可解得地球的质量，A正确；由密度公式ρ＝eq\f(M,V)可得ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，由以上数据可解得地球的平均密度，B正确；太阳对地球的吸引力F＝Geq\f(M地M太,req\o\al(2,地))＝M地eq\f(4π2r日地,Teq\o\al(2,地))，可得太阳的质量为M太＝eq\f(4π2req\o\al(3,日地),GTeq\o\al(2,地))，由于不知道太阳的半径，则不能求出太阳的密度，故C错误；太阳对地球的吸引力F＝Geq\f(M地M太,req\o\al(2,地))＝M地eq\f(4π2r日地,Teq\o\al(2,地))，可得太阳的质量为M太＝eq\f(4π2req\o\al(3,日地),GTeq\o\al(2,地))，在地球表面有Geq\f(M地m,Req\o\al(2,地))＝mg，可知地球的质量为M地＝eq\f(gReq\o\al(2,地),G)，由以上数据能够估算太阳对地球的吸引力，D正确。答案：ABD10．(多选)(2024·四川成都双流中学诊断)在X星球表面，宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F­v2图像如图乙所示。已知X星球的半径为R0，引力常量为G，不考虑星球自转。则下列说法正确的是()A．X星球的第一宇宙速度v1＝eq\r(b)B．X星球的密度ρ＝eq\f(3b,4πGR0R)C．X星球的质量M＝eq\f(aR,b)D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为R0的卫星周期T＝4πeq\r(\f(2RR0,b))解析：设该星球表面的重力加速度为g0，小球在最高点时有mg0－F＝meq\f(v2,R)，F＝mg0－meq\f(v2,R)，由图乙知，当F＝0时，有mg0＝meq\f(b,R)，可得g0＝eq\f(b,R)，则X星球的第一宇宙速度为v1＝eq\r(g0R0)＝eq\r(\f(b,R)R0)＝eq\r(\f(bR0,R))，故A错误；根据Geq\f(Mm,Req\o\al(2,0))＝mg0，得X星球质量为M＝eq\f(g0Req\o\al(2,0),G)＝eq\f(bReq\o\al(2,0),RG)，则X星球的密度为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(bReq\o\al(2,0),GR),\f(4,3)πReq\o\al(3,0))＝eq\f(3b,4πGR0R)，故B正确，C错误；设环绕X星球的轨道离星球表面高度为R0的卫星的轨道半径为r，则r＝R0＋R0＝2R0，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))＝2πeq\r(\f((2R0)3,G\f(bReq\o\al(2,0),RG)))＝4πeq\r(\f(2R0R,b))，故D正确。答案：BD11．2023年9月10日12时30分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将遥感四十号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知地球半径为R，地球质量为M，忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g。(1)火箭在竖直方向上以加速度a加速上升时，若在卫星内放置一压力传感器，压力传感器上放置一质量为m的砝码，某时刻测得压力传感器读数为F，引力常量为G，求此时火箭上升的高度；(2)若测得卫星绕地球做匀速圆周运动转过eq\f(1,4)圆周所用时间为t，卫星距地面的高度为h，引力常量为G，求卫星运行的向心加速度大小和地球的平均密度。解析：(1)设压力传感器读数为F时火箭上升的高度为H，则此时砝码所受的万有引力大小为F引＝Geq\f(Mm,(R＋H)2)由牛顿第三定律可知，压力传感器对砝码的支持力大小为F′＝F对砝码，由牛顿第二定律得F′－F引＝ma又对在地球表面上的物体有Geq\f(Mm′,R2)＝m′g联立解得H＝R(eq\r(\f(mg,F－ma))－1)。(2)卫星运行的周期为T＝4t角速度为ω＝eq\f(2