2024-2025学年山东省济南市高新第一实验中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济南市高新第一实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列交通标志中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.代数式4m2−nA.(2m−n)(2m+n) B.4(m−n)(m+n)

C.(4m−n)(m+n) D.(m−2n)(m+2n)3.若正多边形的一个内角度数为144°，则这个多边形的边数为(

)A.10 B.12 C.8 D.74.如图，点D，E分别在△ABC

的AB，AC边上，且DE//BC，如果AD：AB=2：3，那么DE：BC等于(

)A.3：2

B.2：5

C.2：3

D.3：55.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC=4，则EF的长为(

)A.1B.2 C.3D.46.如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形(如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止).将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是(

)A.16 B.13 C.127.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是(

)A.600x+50=450x B.600x−50=8.如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连接DE，BF.下列结论不成立的是(

)A.四边形DEBF为平行四边形

B.若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形

C.若AE=5，则四边形DEBF为菱形

D.若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形9.如图，在矩形ABCD中，AB<BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F.下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB=2∠ACB；③AC⋅EF=CF⋅CD；④若AF平分A.4 B.3 C.2 D.110.已知多项式M=2x2−3x−2.多项式N=x2−ax+3．

①若M=0，则代数式13xx2−3x−1的值为263；

②当a=−3，x≥4时，代数式M−N的最小值为−14；

③当a=0时，若M⋅N=0，则关于x的方程有两个实数根；

④当a=3A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.当x______时，分式13x−2有意义．12.如图，已知▱ABCD中，点E在CD上，CEED=12，BE交对角线AC于点F.则CF13.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条宽均为x m的小路(阴影)，余下部分作为草地，草地面积为551m2，根据图中数据，求得小路宽x的值为______；14.清朝数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的边BC上的高，则BD=12(BC+AB2−AC2BC).当15.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，CD=4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM=DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，12BE+AE的最小值为______．三、解答题：本题共10小题，共91分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.先化简，再求值：(mm−2−2mm2−4)÷mm+2，请在17.(本小题7分)

解方程：

(1)3x2−4x=1；

(2)(3y−218.(本小题8分)

如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．19.(本小题8分)

某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．

游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球(除标号外，其余都相同)，甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a.在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片(除标号外，其余都相同)，乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b.然后计算这两个数的和，即a+b.若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．

(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求(a,b)所有可能出现的结果总数；

(2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？20.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1=0

(1)当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？

(2)若方程的两根都是正数，求m的取值范围；

(3)设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1−x21.(本小题9分)

党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”.为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动.该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相等．

(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；

(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？22.(本小题10分)

如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．

(1)当动点运动几秒时，△BDE与△ABC相似？

(2)当动点运动几秒时，△BDE的面积为1.8cm2？

(3)在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD⊥DE？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．23.(本小题10分)

阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程(x2)2−13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2−13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1,2=±2，x3,4=±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，显然m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=−1．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程x4−5x2+6=0的解为______；

(2)间接应用：

已知实数a，24.(本小题12分)

如图所示，△ABC，△ADE为等腰三角形，∠ACB=∠AED=90°．

(1)如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点，则线段EF与FC的数量关系是______；∠EFD的度数为______．

(2)如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点，则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．

(3)若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图3的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，请猜想线段EF与FC的关系，并验证你的猜想．

25.(本小题12分)

矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB，将△ABC沿AB折叠得△ABE，AE交y轴于点D，线段OD、OA的长是方程x2−7x+12=0的两个根，且OA>OD．

(1)请直接写出点A的坐标为______，点D的坐标为______；

(2)点P为直线AB上一点，连接PO、PD，当△POD的周长最小时，求点P的坐标；

(3)点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否存在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】≠212.【答案】1313.【答案】1

14.【答案】615.【答案】3

16.【答案】解：原式=[(mm−2−2m(m−2)(m+2)]×m+2m

=mm−2×m+2m−2m(m−2)(m+2)×m+2m

=m+2m−2−2m−2

17.【答案】解：(1)3x2−4x−1=0，

∵Δ=(−4)2−4×3×(−1)=28>0，

∴x=−b±b2−4ac2a=4±272×3=2±73，

18.【答案】证明：在矩形ABCD中，AD//BC，

∴∠1=∠2，∠AEF=∠CFE，

又OA=OC，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴AE=CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴▱AFCE是菱形．

19.【答案】解：(1)按游戏规则计算两个数的和，列表如下：

从表中可以看出共有8种等可能的情况．

(2)我认为这个游戏公平，理由：

从表中可以看出共有8种等可能的情况，其中和为奇数与和为偶数的可能性各有4种，

所以P(和为奇数)=P(和为偶数)，

∴这个游戏公平．

20.【答案】解：(1)∵△=(−2)2−4(m−1)=−4m+8>0，

∴m<2时，方程有两个不相等的实数根；

(2)∵设x1，x2是这个方程的两个实根，则x1>0，x2>0，

∴x1x2=m−1>0，

∴m>1；

21.【答案】解：(1)设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是(x+30)元．

根据题意，得1000x=2000x+30，

解得x=30，

经检验，x=30是所列分式方程的根，

30+30=60(元)，

∴每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元．

(2)设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍(100−a)．

根据题意，得a≤2(100−a)，

解得a≤2003，

设花费的资金总额为W元，则W=30a+60(100−a)=−30a+6000，

∵−30<0，

∴W随a的增大而减小，

∵a≤2003且x为整数，

∴当a=66时，W取最小值，W最小22.【答案】解：设D点运动时间为t秒，则AD=t秒，BD=(4−t)秒，BE=2t秒，CE=(5−2t)秒(0≤t≤52)，

(1)当∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC，

∴BD：BA=BE：BC，即(4−t)：4=2t：5，

∴t=2013；

当∠BDE=∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，

∴BD：BC=BE：BA，即(4−t)：5=2t：4，

∴t=87；

所以当动点运动2013秒或87秒时，△BDE与△ABC相似；

(2)过E作EF⊥AB于F，如图，

∴∠EFB=90°=∠CAB，

∵∠B=∠B，

∴Rt△BEF∽Rt△BAC，

∴EF：AC=BE：BC，

即EF：3=2t：5，

∴EF=6t5，

∴S△BDE=12BD⋅EF=12⋅(4−t)⋅6t5=1.8，

∴t=1或t=3(舍)，

即当动点运动1秒时，△BDE的面积为1.8cm2；

(3)存在．

如图，过点E作EF⊥AB于F，

∵Rt△BEF∽Rt△BAC，

∴BF：AB=BE：BC，

即BF：4=2t：5，

∴BF=8t5，

∴DF=AB−AD−BF=4−t−8t5=4−135t，

∵CD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∴∠∠ADC+∠EDF=90°23.【答案】解：(1)x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3；

(2)∵a≠b，

∴a2≠b2或a2=b2，

当a2≠b2时，令a2=m，b2=n．

∴m≠n，则2m2−7m+1=0，2n2−7n+1=0，

∴m，n是方程2x2−7x+1=0的两个不相等的实数根，

∴m+n=72mn=12，

此时a424.【答案】(1)EF=FC；90°；

(2)如图2，延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，

∵F为BD中点，

∴DF=FB，

在△BCF和△DFM中

FC=FM∠BFC=∠DMFBF=DF

∴△BFC≌△DFM(SAS)，

∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，

∴MD=AC，MD/​/BC，

∴∠MDC=∠BCA=90°

∴∠MDE=∠EAC=135°，

在△MDE和△CAE中

MD=AC∠MDE=∠EACDE=AE

∴△MDE≌△CAE(SAS)，

∴ME=EC，∠MED=∠CEA，

∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，

∴∠MEC=90°，又F为CM的中点，

∴EF=FC，EF⊥FC；

(3)图形如图3，

结论：EF=FC，EF⊥FC．

证明如下：

如图4，延长CF到M，使CF=FM，连接ME、EC，连接DM并延长交AE于G，交AC于H，

∵F为BD中点，

∴DF=FB，

在△BCF和△DFM中

FC=FM∠BFC=∠DMFBF=DF

∴△BFC≌△DFM(SAS)，

∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，

∴MD=AC，HD//BC，

∴∠AHG=∠BCA=90°，且∠AGH=∠DGE，

∴∠MDE=∠EAC，

在△MDE和△CAE中

MD=AC∠MDE=∠EACDE=AE

∴△MDE≌△CAE(SAS)，

∴ME=EC，∠MED=∠CEA，

∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，

∴∠MEC=90°，又F为CM的中点，

25.【答案】(1)(−4,0)，(0,3)；

(2)过D作AB的对称点D1，连接OD1，交AB于点P，此时△POD的周长最小，

∵△ABE是将△ABC沿AB折叠得到的，

∴点D1在AC上，

∵OA=4，OD=3，

∴AD=OA2+OD2=5，

∴AD1=5，

∴D1(−4,5)，

设直线OD1的解析式为y=kx，

∴5=−4k，

∴k=−54，

∴直线OD1的解析式为y=−54x，

∵四边形AOBC是矩形，且△ABE是将△ABC沿AB折叠得到的，

∴AC//OB，∠CAB=∠BAD，

∴∠CAB=∠BAD=∠ABD，

∴AD=BD=5，则OB=8，

∴B(0,8)，

同理求得直线AB的解析式为y=2x+8，

∴y=2x+8y=−54x，

解方程−54x=2x+8，得x=−3213，

∴y=4013，

∴P(−3213,4013)；

(3)存在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形．

分两种情况：①当BN为边时，

如图，若四边形BNMQ是正方形，则BN=MN，过点Q作QG⊥x轴于G，过点N作NI⊥