安徽省“皖江名校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽省“皖江名校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|x<2}，B={x|(x−1)2<4}，则A∪B=A.x|x<2 B.x|−1<x<2 C.x|x<3 D.x|−1<x<32.已知复数z满足z(2−i)=(1+i)2，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量a、b满足a=(1,3)，|a−A.[2,6] B.2,23 C.24.树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有(

)A.20种 B.40种 C.60种 D.80种5.有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率(

)A.0.054 B.0.0535 C.0.0515 D.0.05256.已知直线x+y−k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，O是坐标原点，且有|OAA.(3,6) B.[7.已知函数f(x)=x+4x,x>0log2xA.−28 B.28 C.−14 D.148.“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知x2+y2=r2r>0，求x+y的最大值.我们令x=rcosθ，y=rsinθ，则x+y=r(A.12 B.14 C.16 D.18二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4

B.四棱锥C−ABC1D1的体积为13

C.两条异面直线D10.已知数列an满足a1+2aA.an=n+1 B.an的前n项和为n(n+2)2

C.−1nan的前100项和为10011.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点M(−a,0)，N(a,0)距离之积等于a2a>0的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当a=2时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是(

)A.点P的横坐标的取值范围是[−2,2] B.|OP|的最大值是22

C.▵PMN面积的最大值为2 D.PM三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知cosα+cosβ=1010，sin13.椭圆C：x24+y2=1的左右焦点分别为F1、F2，点M为其上的动点.14.“算24”游戏是以除去大小王的52张扑克牌为载体，任意抽取4张，把扑克牌对应的4个整数(A=1,J=11,Q=12,K=13)通过加减乘除(没有乘方开方)以及括号运算，使最后的运算结果是24的一个数学游戏.因为和扑克牌的花色无关，所以游戏可以看作在集合M=n|n≤13,n∈N∗=1,2,3,⋯,13中每次任选1个数，选4次得到4个整数，记为数组(a,b,c,d)，因为算24和选取4个数的顺序无关，可以假设a≤b≤c≤d，比如(3,4,6,11)，显然游戏不同的牌组就对应不同的数组，那么所有不同的数组一共有

个.如果数组为(1,6,6,8)，写出一个结果为24四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在▵ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，且4S=(1)求B；(2)若a=2，b=27，D为AC边的中点，求BD16.(本小题12分)如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=2，AB=22，SC=4，M是SB的中点，(1)证明：SA⊥平面ABCD；(2)若点P是棱SC上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为3010，求SP17.(本小题12分)高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为p0<p<1，有3个选项正确的概率为1−p.(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p；(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若p=1318.(本小题12分)已知双曲线C：x2a2−y(1)求C的方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0(点O为坐标原点)，求19.(本小题12分)给出以下三个材料：①若函数fx可导，我们通常把导函数f′x的导数叫做fx的二阶导数，记作f′′x.类似的，函数fx的二阶导数的导数叫做函数fx的三阶导数，记作f′′′x，函数fx的三阶导数的导数叫做函数fx的四阶导数……，一般地，函数fx②若n∈N∗，定义③若函数fx在包含x0的某个开区间(a,b)上具有任意阶的导数，那么对于任意x∈a,b有g(x)=fx0+f′例如f1(x)=ex根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出f(x)=cosx在点x=0处的泰勒展开式(2)用fx=cosx在点x=0处的泰勒展开式前三项计算(3)现已知sinxx=1−x参考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.B

6.C

7.A

8.D

9.ABC

10.AD

11.BCD

12.−113.(−214.1820；6÷1−6÷815.

解：(1)由三角形面积公式及条件可知：4S=由余弦定理知b2所以−因为B∈0,π，所以B=

(2)结合(1)的结论，根据余弦定理有a2所以c=4，易知2BD所以4BD即BD=

16.

解：(1)取AB的中点N，连接MN,CN，BD与CN交于Q点，在底面矩形ABCD中，易知tan∠DBC=所以∠BNC=∠DBC⇒BD⊥CN，因为，MC∩NC=C，MC、NC⊂平面CMN，所以BD⊥平面CMN，因为MN⊂平面CMN，所以BD⊥MN，易知MN//SA，所以BD⊥SA，由题意可知AC所以SA⊥AC，而AC,BD相交，且AC,BD⊂平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD；

(2)由上可知SA⊥AD，SA⊥AB，AB⊥AD，以点A为坐标原点，以AD、AB、AS分别为x轴、y轴、z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)、S(0,0,2)、C(2,22,0)、B(0,2则AC=(2,22,0)，AM=(0,2则m⋅AC=2x+22设SP=λSC=λ(2,2则AP=因为直线AP与平面AMC所成角的正弦值为30则cosAP解得λ=14，即

17.

解：(1)根据题意可知，X=0,4,6，若该题有2个选项正确，则P(X=0)=23p若该题有3个选项正确，则PX=4则分布列如下：X046P21−p1所以EX解之得p=1

(2)不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件A1“有3个选项正确”为事件A2若小明选择方案①，记小明该题得分为X，则X的可能取值为2，3，对应概率为：P(X=2)=P(A2)=故EX若小明选择方案②，记小明该题得分为Y，则Y的可能取值为0,4,6，对应概率为：PY=0PY=4PY=6故EY若小明选择方案③，记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为0,6，对应概率为：PZ=0PZ=6故EZEZ故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②．

18.

解：(1)由题意可得4a2−9b2故双曲线方程为C:x

(2)当直线l斜率不存在时，可设A(xA,则OA=(xA将其代入双曲线方程得xA又OA⋅OB=此时AB=2当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A(x1,联立方程y=kx+mx2−y23故则OA⋅OB=(1+k2)化简得3k2+3=2所以AB=1+=6×当k=0时，此时AB=当k≠0