河北省邯郸市魏县2025届高三上学期开学考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河北省邯郸市魏县2025届高三上学期开学考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=xx2<4,B=A.x−2<x<2 B.x−2<x≤2 C.xx≤32.已知复数z1=1−2i，复数z满足z+z1A.z1⋅z1=2+i

B.复数z1在复平面内所对应的点的坐标是−1,2

C.53.已知向量a,b满足a=2,b=3,A.5 B.5 C.254.若sin(α+β)=cos2αsin(α−β)，则A.62 B.64 C.5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为(

)

A.233π B.236.若a=2025sin12025,b=cos1A.

a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b7.已知2,−1为角α终边上一点，关于x的函数fx=cos2xcosα−sinA.−2 B.2 C.−12 8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字nn=2,3,⋯11的不同路线条数记为rn，从1移动到11的事件中，跳过数字nn=2,3,⋯10的概率记为p①r9=34，②rn+1>A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.若一组数据x1,x2,⋯,xn的方差为0.2，则5x1,5x2,⋯,5xn的方差为1

B.68，60，62，78，70，84，74，46，7310.已知函数fx=xlnx+ax在x=1处的切线方程为y=x+bA.a+b=1

B.fx在区间14,e上的最大值和最小值之和为e−1e

C.1e为fx的极小值点

11.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布，伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1−a,0,F2a,0距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线．已知点Px0A.a=2

B.−12≤y0≤12

C.PO的最大值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l113.已知2a+b=1(a>0,b>0)，则3a+1+1b+1的最小值为14.若直线l与曲线y2=4x和x2+y2=四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2b+c−2acos

(1)求A；(2)如图，射线AB绕点A旋转π2后交线段BC于点E，且AE=2，求▵ABC的面积的最小值．16.(本小题12分)已知T是⊙A:(x+1)2+y2=16上的动点，点B1,0(1)求点P的轨迹Γ的方程；(2)已知直线l的方程为x=4，过点B的直线(不与x轴重合)与曲线Γ相交于M,N两点，过点M作MD⊥l，垂足为D.证明：直线ND过定点E，并求出定点E的坐标．17.(本小题12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=2，∠ABC=π4，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AF=1，点

(1)当AE⊥DM时，求点M的位置；(2)在(1)的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值．18.(本小题12分)已知函数fx(1)若fx≥0，求(2)证明：当a≥1时，fx>x19.(本小题12分)在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂(每次分裂都是一个细胞分裂成两个)和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是p2，于是我们得到：p=12+12p2，计算可得p=1；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是(1−p)2，于是我们得到：p=121−(1−p)2(1)若这个人开始时位于点P1,0处，且p(ⅰ)求他在5步内(包括5步)掉入陷阱的概率；(ⅱ)求他最终掉入陷阱的概率p1(ⅲ)已知pn=13p(2)已知p1是关于p(ⅰ)分别写出当p∗=0和p∗=1时，p1(ⅱ)求p1关于p∗的表达式．参考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.A

6.D

7.D

8.A

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.613.7+214.x−y+1=0或x+y+1=0

15.(1)由2b+c=2acosC，及正弦定理得因sinB=sinA+C因为sinC>0，所以cosA=−12，又(2)由(1)得∠BAC=2π3，因为AB⊥AE，所以由S▵ABC可得12又AE=2，可得bcsin2π3由基本不等式可得2c+b≥2当且仅当2c=b，即b=8由32bc≥2所以S△ABC所以▵ABC的面积的最小值为8

16.(1)⊙A:(x+1)2+y2

由中垂线的性质得PB=所以PB+所以动点P的轨迹是以A,B为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的方程为x2则a=2,c=1，所以b=所以点P的轨迹方程为x2(2)设直线MN的方程为x=my+1，联立x=my+1,x24如图，设Mx显然Δ=36m所以y1+y因为kND=y2−令y=0，得x=4−y将2my1y2=3故直线ND过定点52,0，即定点

17.解：(1)∵AB=2，BC=AD=2，∠ABC=π4，

∴AC=2，

∵AB2+AC2=BC2，

∴AB⊥AC，

又∵ACEF为矩形，

∴AF⊥AC，

∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，AF⊂平面ACEF，

∴AF⊥平面ABCD，

∵AB⊂平面ABCD，

∴AF⊥AB，

故可建立如图空间直角坐标系，

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(−2,2,0)，E(0,2,1)，F(0,0,1)，

设M(0,y,1),0⩽y⩽2，

则AE=(0,2,1)，DM=(2,y−2,1)，

∵AE⊥DM，

∴AE⋅DM=2(y−2)+1=0，

解得y=22，

∴FMFE=12．

故当AE⊥DM时，点M为EF的中点．

(2)由(1)，BM=(−2,22,1)，BC=(−2,2,0)，

设平面MBC的一个法向量为m=(x1,y18.(1)解法一：由fx=ae又fx≥0，所以x=0是故f′0=0，而f′x若a=1，则f′x当x<0,f′x<0；当所以fx在−∞,0单调递减，在0,+∞故x=0是fx由f0=0，所以当且仅当a=1时解法二：由fx=aex−x−a当a≤0时，有f′x<0恒成立，所以fx又f0=0，则当a>0时，令f′x=0，得则x>ln1a时，有f′即fx在−∞,ln1所以fx

最小值为f(1+ln函数y=1+lnx−x在1,+∞单调递减，fln1a故a=1；(2)当a≥1,x>0时，fx设gx当0<x≤1时，−xln又由(1)知ex−1−x>0，故当x>1时，g′x设ℎx=e则ℎx在1,+∞单调递增，ℎ所以g′x>0，则gxgx综上，gx>0，即当a≥1时，

19.(1)(ⅰ)设事件A：“这个人在第1步掉入陷阱”，事件B：“这个人在第3步掉入陷阱”，事件C：“这个人在第5步掉入陷阱”，则他在5步内掉入陷阱的概率p=pA(ⅱ)他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率为p1若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由(2,0)先到达(1,0)处，而这个概率和他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以p1由此可得p1=1(舍去)或(ⅲ)由(ⅱ)可知，p1方法一：由pn=1所以pn−pn−1是以则