广东省揭阳市两校2025届高三上学期8月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省揭阳市两校2025届高三上学期8月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=0,1,2,3，B=x∈Nx2−5x+4≥0A.1 B.1,2 C.0,1 D.1,2,32.“x2≤x”是“1x≥1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数f(x)=(2−a)x+3a,x<1x−1,x≥1的值域为R，那么实数aA.(−∞,−1] B.[−1,2) C.(0,2) D.(−2,1]4.如图，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在函数y=ax的图象上，点D在函数y=logax的图象上，若四边形ABCD为正方形，则a=A.32 B.2 C.3 D.5.已知sin θ+sin (θ+π3A.12 B.33 C.26.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为(    )(参考数据：lg2=0.3010.)A.10 B.12 C.14 D.167.设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A.32 B.22 C.8.已知数列an满足a1=1，前n项和为Sn，an+1⋅A.22024−1 B.3×21012−1 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列大小关系正确的是(

)．A.1.92<21.9 B.22.910.已知函数f(x)=asinx−cos2xA.f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)的图象不可能关于点(π,0)对称

C.当a=−2时，函数f(x)在(π6,π2)上单调递增

D.若函数f(x)11.已知函数f(x)=1g(​x2+1+x)+ex−e−xA.1 B.2 C.3 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.定义运算abcd=ad−bc则不等式ax11x+1<0对任意13.已知过原点O的直线与y=log3x交于A，B两点(A点在B点左侧)，过A作x轴的垂线与函数y=4x交于C点，过B点作x轴的垂线与函数y=2x交于D点，当CD平行于x14.已知fx是定义在R上的单调函数，ffx−2x=3对x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知c=5，2bcos(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积103，设D是BC的中点，求sin⁡∠BAD16.(本小题12分)如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，

(1)证明：BD⊥CC(2)棱BC上是否存在一点E，使得二面角E−AD1−D的余弦值为1317.(本小题12分)

设函数f(x)=axb+x2(a≠0,x>0)，满足： ①f(1)=1(1)求函数f(x)的解析式．(2)设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数f(x)的图象上.设矩形ABCD的面积为S，求证：0<S<1．

18.(本小题12分)已知函数f(x)=2exe(1)求实数k的值；(2)若x>0时，关于x的不等式f(2x)≤mf(x)恒成立，求实数m的取值范围；(3)设g(x)=f(x)+11−f(x)，对任意实数a,b,c∈(0,n]，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以g(a)，g(b)，g(c)为长度的线段也能构成三角形，求实数n19.(本小题12分)已知函数f(x)=ax(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围;(Ⅲ)当a=0时，试判断函数F(x)=2sinx−f(x)−2x的零点个数，并给出证明．参考答案1.C

2.B

3.B

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.BCD

11.CD

12.−4,0

13.2

14.9

15.解：(1)∵2bcosC=2a−c，结合余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，

可得2b⋅a2+b2−c22ab=2a−c，整理得a2+c2−b2=ac，

所以cosB=a2+c2−b22ac=12．

又B∈(0,π)，所以B=π3．

(2)因为16.解：(1)证明：连接AC,A因为ABCD−A1B又因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD又因为AA1∩AC=A且AA1,AC⊂平面因为CC1⊂平面AC(2)取BC中点Q，连接AQ，因为底面ABCD是菱形，且∠ABC=60∘，所以△ABC是正三角形，所以AQ⊥BC，即由于AA1⊥平面ABCD，以A为原点，分别以AQ,AD,AA1为x轴、y则A假设点E存在，设点E的坐标为3,λ,0，其中可得AE=设平面AD1E的法向量取x=λ，可得y=−3,z=又由平面ADD1的法向量为所以cosAQ,由于二面角E−AD1−D为锐角，则点E在线段QC上，

所以λ=故BC上存在点E，当CE=1−32时，二面角E−A

17.解：(1)由 ①得：f1=ab+1=12，即2a=b+1；

由 ②得：axb+x2=axb+1x2，(x>0)恒成立，

即b+x2=bx2+1恒成立，

所以b=1，所以a=1，

所以f(x)=x1+x2，(x>0)；

(2)证明：因为f′(x)=(1−x)(1+x)(1+x2)2，

当0<x<1时，f′(x)>0，

当x>1时，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

不妨设A(t,0)，t∈(0,1)，

由f(x)=f(18.解：(1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R，所以f(0)=0，即2e0e0+1所以k=−1．(2)由(1)知f(x)=2由x>0时，f(2x)≤mf(x)恒成立，得e2x因为ex−1>0，所以设ℎ(x)=e因为ex+1ex≥2，当且仅当故ℎ(x)=e所以m≥2．(3)由题意得：g(x)=不妨设0<a≤b≤c≤n，以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即a+b>c，且ea以g(a)，g(b)，g(c)为长度的线段也能构成三角形，则ea+e因为ea−c+e所以2e−c2≥1，即c≤−2

19.解：(Ⅰ)因为f(x)=ax2−lnx−x，x∈(0,+∞)，

所以f′(x)=2ax−1x−1=2ax2−x−1x，

当a≤0时，2ax2−x−1<0恒成立，所以f′(x)<0；

当a>0时，令2ax2−x−1=0，解得x=1+1+8a4a(舍负)，

令f′(x)>0，得x>1+1+8a4a;令f′(x)<0，得0<x<1+1+8a4a．

综上所述：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减;

当a>0时，f(x)在(0,1+1+8a4a)上单调递减，在(1+1+8a4a,+∞)上单调递增．

(Ⅱ)f(x)≥0恒成立，得ax2≥lnx+x在(0,+∞)上恒成立，

所以a≥1x+lnxx2在(0,+∞)上恒成立．

令g(x)=1x+lnxx2(x>0)，

则g′(x)=−1x2+x−2xlnxx4

=−1x2+1−2lnxx3=−x+1−2lnxx3．

令ℎ(x)=−2lnx−x+1(x>0)．

易知ℎ(x)=−2lnx−x+1在(0,+∞)上单调递减．

又ℎ(1)=0，

所以当x∈(0,1)时，ℎ(x)>0，g′(x)>0．

当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，g′(x)<0．

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

所以g(x)在x=1处取得极大值，也是最大值，即g(x)max=g(1)=1，

所以a≥1，即a的取值范围为[1,+∞).

(Ⅲ)当a=0时，F(x)=2sinx+lnx+x−2x=lnx−x+2sinx，x>