2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高三（上）第一次模拟数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高三（上）第一次模拟数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合S={x|x>−2}，T={x|x2+3x−4≤0}，则(A.(−2,1] B.(−∞,−4] C.(−∞,1] D.[1,+∞)2.已知复数z满足|z|=|z−4i|(i为虚数单位)，则z的虚部是(

)A.−2i B.2i C.−2 D.23.设P是△ABC内一点，且AP+BP+CP=0，A.AB+23AC B.12AB4.我们学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该电影院大厅最后一排的座位数为(

)A.53 B.51 C.15 D.165.若a=ln12，b=e−12，c满足e−c=lnc，则A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c6.在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是(

)A.120 B.168 C.204 D.2167.若2sin(α+π3)=cos(α−A.−4−3 B.−4+3 C.8.已知函数f(x)=x2，g(x)=−1nx，g′(x)为g(x)的导函数．若存在直线l同为函数f(x)与g′(x)的切线，则直线l的斜率为(

)A.25−4 B.2 C.4二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列说法正确的是(

)A.α内存在一条直线与l平行 B.α内不存在与l平行的直线

C.α内所有直线与l异面 D.α内有无数条直线与l相交10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[x]被称为高斯函数；例如[−2.1]=−3，[2.1]=2，已知f(x)=sin|x|+|sinx|，g(x)=[f(x)]，则下列说法正确的是A.函数g(x)是偶函数 B.函数g(x)是周期函数

C.函数g(x)的图像关于直线x=π2对称 D.方程π211.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，Q是圆FA.E的离心率为2 B.E的渐近线方程为y=±3x

C.F2到E的渐近线的距离为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.下列说法正确的有______.(填正确命题的序号)

①若函数f(x)在x=a处导数不存在，则f(x)的函数图象在x=a处无切线；

②若ξ为离散型随机变量，则ξ所有的取值构成的集合可能是无限数集；

③在成对数据的相关性分析(回归分析)中，相关系数r越大，两个变量的相关性越强；

④正态分布的密度曲线与x轴所围成的区域的面积为1．13.圆心为(1,1)且与直线x−y=4相切的圆的方程是______．14.对于实数a和b，定义运算“∗”：a∗b=a2−ab,a≤bb2−ab,a>b，设f(x)=(2x−1)∗(x−1)，且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是

(1)

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，(n−1)Sn=2nSn−1(n≥2)．

(1)求{a16.(本小题12分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=B

(1)证明：B1D⊥(2)求点B1到平面ACC(3)求平面A1B1C17.(本小题12分)

已知函数f(x)=−x3+3x2+9x−2，求：

(1)函数y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)f(x)的单调递减区间；

18.(本小题12分)

如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区(矩形ABCD)及左右两侧两个大小相同的休闲区(矩形AHIJ和BEFG)组成，其中半圆的圆心为O，半径为50米，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHIJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF=π6，设∠BOC=θ.若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为320万元和110万元，记病床区及休闲区的总造价为f(θ)(单位：万元)．

(1)求f(θ)的表达式；

19.(本小题12分)已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ．(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应的Γ的方程.①已知点T−1,0，直线l:x=−4，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为12；②设E是圆O:x2+y2=4上的动点，过E作直线(2)在(1)的条件下，设曲线Γ的左､右两个顶点分别为A,B，若过点K1,0的直线m的斜率存在且不为0，设直线m交曲线Γ于点M,N，直线n过点T−1,0且与x轴垂直，直线AM交直线n于点P，直线BN交直线n于点Q，则线段的比值TPTQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

参考答案1.C

2.D

3.A

4.A

5.C

6.C

7.C

8.C

9.BD

10.AD

11.ABD

12.②④

13.(x−1)14.(0,115.解：(1)依题意，当n≥2时，由(n−1)Sn=2nSn−1，

可得Snn=2⋅Sn−1n−1，

∵S11=a11=1，

∴数列{Snn}是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴Snn=1⋅2n−1=2n−1，n∈N∗，

∴Sn=n⋅2n−1，n∈N∗，

当n≥2时，an=Sn−16.解：(1)因为AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC，

因为AB1⊥BD，AB1∩AC=A，AB1，AC⊂平面AB1C，

所以BD⊥平面AB1C，

又B1D⊂平面AB1C，所以BD⊥B1D，

因为B1A=B1C，D是AC的中点，

所以B1D⊥AC，BD∩AC=D，BD，AC⊂平面ABC，

所以B1D⊥平面ABC．

(2)由(1)知B1D⊥平面ABC，BD⊥AC，所以DB，DC，DB1两两垂直，

以D为原点，以DB，DC，DB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AB=BC=B1A=B1C，所以BD=B1D，

又BD⊥B1D，B1B=2，所以B1D=BD=1，

AB=BC=2，BD⊥AC，所以DA=DC=1，

所以D(0,0,0)，A(0,−1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(0,0,1)，

AC=(0,2,0)，AA1=BB1=(−1,0,1)，

设平面ACC1A1的一个法向量为m=(a,b,c)，则

m⋅AC=0m⋅AA1=0，即b=0−a+c=0，

令17.解：(1)由题意得：f′(x)=−3x2+6x+9=−3(x2−2x−3)=−3(x−3)(x+1)，

∴f′(0)=9，又f(0)=−2，

∴y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y+2=9(x−0)，即9x−y−2=0．

(2)由(1)知：f′(x)=−3(x−3)(x+1)，

∴当x∈(−∞,−1)∪(3,+∞)时，f′(x)<0，

当x∈(−1,3)时，f′(x)>0，

∴f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，(3,+∞)．

(3)根据(2)可知，当x=−1为函数f(x)的极小值点，且f(−1)=−7，

当x=3为函数f(x)的极大值点，且f(3)=25，

所以f(x)18.解：(1)设半圆形场馆的半径为R，由题意半径为50米，即R=50，如图示：

在矩形ABCD中，BC=Rsinθ，OB=Rcosθ，

所以病床区面积为S矩形ABCD=2OB⋅BC=2R2sinθcosθ=R2sin2θ．

在矩形BEFG中，EF=Rsinπ6=R2，BE=Rcosπ6−Rcosθ=R(32−cosθ)，

所以休闲区面积为：2S矩形BEFG=2BE⋅EF=R2(32−cosθ)，

由每平方米病床区的造价和休闲区的造价分别为320万元和110万元，

θ(π(f′(θ)+0−f(θ)单调递增极大值单调递减故θ=π3时，总造价f(θ)取极大值1252(1+23)，19.解：(1)选①，设

Px,y

，由

x+1化简得

x24+y23=1

，即所求