2024-2025学年浙江省名校协作体高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省名校协作体高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2<4}，B={x|−4<x≤1}，则A∩B=A.{x|x<2} B.{x|−2<x≤1} C.{x|−4<x≤1} D.{x|−4<x<2}2.记复数z的共轭复数为z−，若z(2+i)=2−4i，则|z−A.1 B.2 C.2 D.3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则(

)A.两人都中靶的概率为0.12 B.两人都不中靶的概率为0.42

C.恰有一人中靶的概率为0.46 D.至少一人中靶的概率为0.744.已知向量a=(12,32)A.λμ=1 B.λμ=−1 C.λ+μ=−1 D.λ+μ=15.已知α，β是两个互相垂直的平面，m，n是两条直线，α∩β=m，则“n//m”是“n//α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设函数f(x)=x|x|，则不等式f(2log3x)+f(3−logA.(127,27) B.(0,127)7.已知函数f(x)=2sin(x+π4)的定义域为[a,b]，值域为A.[π2,4π3] B.[8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F//平面AD1E，则下列说法正确的个数有(

)

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为x1，x2，…，x10，计算得平均数x−=7，方差S2=2，现去掉一个最高分A.极差变大 B.中位数不变 C.平均数变小 D.方差变大10.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是(

)A.若A>B，则cosA<cosB

B.若B=π6，b=1，c=2，则C=π4

C.若O是△ABC所在平面内的一点，且|OB−OC|=|OB+OC11.四面体ABCD中，AC=BC=AB=3，BD=5，CD=4，记四面体ABCD外接球的表面积为S，当AD变化时，则(

)A.当AD=3时，S=32411π

B.当四面体ABCD体积最大时，S=28π

C.S可以是16π

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)xm的图象关于y13.已知x>1，y>1且log3x=4logy314.在正四面体ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，AG=23AD，截面四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a∈R，A={x|a(x+a)(x+2)>0}，B={x|x−1x−2≤0}．

(Ⅰ)当a<0时求集合A；

(Ⅱ)若B⊆A，求a16.(本小题15分)

为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间(单位：小时)，并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．

(Ⅰ)估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；

(Ⅱ)估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替)；

(Ⅲ)估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数(结果保留两位小数)．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(x+π6)−cos(x+π3)+sin(π2+x)．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；

(Ⅱ)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的18.(本小题17分)

如图，已知四棱锥P−ABCD中，PB=PD=4，PA=6，∠APB=∠APD=60°，且PB⊥PD．

(Ⅰ)求证：BD⊥PA；

(Ⅱ)求直线PA与平面ABCD所成角的正弦值；

(Ⅲ)若平面PAC与平面ABCD垂直，PC=3，求四棱锥P−ABCD的体积．19.(本小题17分)

已知函数f(x)的定义域为D，若存在常数k(k>0)，使得对D内的任意x，都有f(x)=f(kx)，则称f(x)是“反比例对称函数”.设f(x)=log2x⋅log816x，g(x)=ax+16ax−m．

(Ⅰ)判断函数f(x)=log2x⋅log816x是否为“反比例对称函数”，并说明理由；

(Ⅱ)当a=1时，若函数f(x)与g(x)的图象恰有一个交点，求m的值；

参考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.B

6.B

7.D

8.B

9.BC

10.ACD

11.ACD

12.2

13.81

14.11：7

15.解：(I)当a<0时，A={x|a(x+a)(x+2)>0}={x|−2<x<−a}；

(Ⅱ)因为B={x|x−1x−2≤0}={x|1≤x<2}，A={x|a(x+a)(x+2)>0}，

当a<0时，A={x|a(x+a)(x+2)>0}={x|−2<x<−a}，B={x|1≤x<2}，

若B⊆A，则−a≥2，即a≤−2；

当a>0时，A={x|a(x+a)(x+2)>0}={x|(x+a)(x+2)>0}，B={x|1≤x<2}，

若a>2，则A={x|x>−2或x<−a}，此时满足B⊆A，

若0<a<2，则A={x|x<−2或x>−a}，此时满足B⊆A，

若a=2，则A={x|x≠−2}，此时满足B⊆A，

若a=0，A=⌀，此时不满足B⊆A，

综上，a的范围为{a|a≤−216.解：(Ⅰ)根据题意可得(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1，∴a=0.07，

∴愿者服务时间不低于18小时的频率为(0.075+0.07+0.025)×4=0.68，

∴估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为0.68；

(Ⅱ)估计这100名志愿者服务时间的众数为18+222=20小时；

估计这100名志愿者服务时间的平均数为：

12×0.08+16×0.24+20×0.3+24×0.28+28×0.1=20.32小时；

(Ⅲ)∵前几组的频率依次为0.08，0.24，0.3，0.28，

∴估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为：

22+17.解：f(x)=sin(x+π6)−cos(x+π3)+sin(π2+x)

=32sinx+12cosx−12cosx+32sinx+cosx

=3sinx+cosx

=2sin(x+π6)，

(Ⅰ)令π2+2kπ≤x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，

则π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z，18.解；(1)证明：取BD的中点O，连接AO，PO，CO，

因为PB=PD=4，PA=6，∠APB=∠APD=60°，

所以△PAD≌△PAB，且PO⊥BD，

所以AB=AD=62+42−2×6×4×12=27，所以AO⊥BD，

因为AO∩PO=O，所以BD⊥平面PAO，

因为PA⊂平面PAO，所以BD⊥PA，

(2)过P作PM⊥AO延长线于一点M，

由(1)知BD⊥平面APO，BD⊂平面ABCD，

则平面APO∩平面ABCD，故∠PAO为直线PA与平面ABCD所成角，

在等腰直角△BPD中，PB=PD=4，则BD=42，BO=DO=PO=12BD=22，

在△APB中，AB2=PA2+PB2−2PA⋅PBcos∠APB=62+42−2×6×4×12=28，

∴AB=AD=27，

在Rt△AOB中，AO=AB2−BO2=(27)2−(22)2=25，

在△APO中，cos∠PAO=PA2+AO2−PO22PA⋅AO=36+20−82×6×25=255，

∴sin∠PAO=519.解：(Ⅰ)是．理由如下：

∀x>0,16x>0，16x>0，f(x)=log2x⋅log816x=13log2x⋅log216x，

f(16x)=13log216x⋅log2x，所以f(x)=f(16x)，

故f(x)=log2x⋅log816x是“反比例对称函数”．

(Ⅱ)(法一)当a=1时，g(x)=x+16x−m，

则g(x)在(0,4]为减函数，在[4,+∞)为增函数，

因为f(x)=log2x⋅log816x=−13(log2x−2)2+43，

则在f(x)在(0,4]为增函数，[4,+∞)为减函数，

记ℎ(x)=f(x)−g(x)=−13(log2x−2)2+43−(x+16x−m)，

则ℎ(x)在(0,4]为增函数，[4,+∞)为减函数，

所以ℎ(x)