2024-2025学年河北省邯郸市魏县高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省邯郸市魏县高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x2<4}，B={−1,0,2}，则A∪B=A.{x|−2<x<2} B.{x|−2<x≤2} C.{x|x≤3} D.{−2,0,2}2.已知复数z1=1−2i，复数z满足|z+z1A.z1⋅z1−=|2+i|

B.复数z1−在复平面内所对应的点的坐标是(−1,2)

C.3.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a⋅A.5 B.5 C.254.若sin(α+β)=cos2αsin(α−β)，则tan(α+β)的最大值为(

)A.62 B.64 C.5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为(

)A.233π

B.236.若a=2025sin12025，b=cos12025，c=tan2025°，则a，b，A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b7.已知(1,2)为角α终边上一点，关于x的函数f(x)=cos 2xcosα−sin 2xsinA.−2 B.2 C.−12 8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字n(n=2,3,…11)的不同路线条数记为rn，从1移动到11的事件中，跳过数字n(n=2,3,…10)的概率记为pn，则下列结论正确的是(

)

①r9=34，②rn+1>A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.若一组数据x1，x2，…，xn的方差为0.2，则5x1，5x2，…，5xn的方差为1

B.68，60，62，78，70，84，74，46，73，82这组数据的第80百分位数是80

C.10.已知函数f(x)=xlnx+ax在x=1处的切线方程为y=x+b，则下列说法正确的有(

)A.a+b=1

B.f(x)在区间[14,e]上的最大值和最小值之和为e−1e

C.1e为f(x)的极小值点

D.11.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(−a,0)，F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线.已知点P(x0,yA.a=2

B.−12≤y0≤12

C.|PO|的最大值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交13.已知2a+b=1(a>0,b>0)，则3a+1+114.若直线l与曲线y2=4x和x2+y四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b+c−2acosC=0．

(1)求A；

(2)如图，射线AB绕点A旋转π2后交线段BC于点E，且AE=2，求△ABC的面积的最小值．16.(本小题12分)

已知T是⊙A：(x+1)2+y2=16上的动点，点B(1,0)，线段TB的中垂线交直线TA于点P．

(1)求点P的轨迹Γ的方程；

(2)已知直线l的方程为x=4，过点B的直线(不与x轴重合)与曲线Γ相交于M，N两点，过点M作MD⊥l，垂足为D.证明：直线ND17.(本小题12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=2，∠ABC=π4，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AF=1，点

(1)当AE⊥DM时，求点M的位置；(2)在(1)的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值．18.(本小题12分)

已知函数f(x)=aex−x−a．

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)证明：当a≥1时，f(x)>xlnx−sinx19.(本小题12分)

在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂(每次分裂都是一个细胞分裂成两个)和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是p2，于是我们得到p=12+12p2，计算可得p=1；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是(1−p)2，于是我们得到p=12[1−(1−p)2]，计算可得p=0.根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点P(n,0)(n∈N∗)处，他每步走动都会有p∗的概率向左移动1个单位，有1−p∗的概率向右移动一个单位，原点(0,0)处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以pn代表当这个人由P(n,0)开始，最终掉入陷阱的概率．

(1)若这个人开始时位于点P(1,0)处，且p∗=13．

(Ⅰ)求他在5步内(包括5步)掉入陷阱的概率；

(Ⅱ)求他最终掉入陷阱的概率p1(0<p1<1)；

(Ⅲ)已知pn=13pn−1+参考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.A

6.D

7.A

8.A

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.613.1414.y=x+1或y=−x−1

15.解：(1)因为2b+c−2acosC=0，由正弦定理可得2sinB+sinC−2sinAcosC=0，

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinC+2cosAsinC=0，

又因为sinC>0，

可得cosA=−12，

而A∈(0,π)，

所以A=2π3；

(2)AE=2，

因为S△ABC=S△ABE+S△AEC=12c⋅AE+12b⋅AEsin∠CAE=c+12b，

即1216.解：(1)由中垂线的性质得|PB|=|PT|，

所以|PB|+|PA|=|PA|+|PT|=4>|AB|=2，

所以动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，

则a=2，b=3，

所以P点轨迹Γ为x24+y23=1；

(2)由对称性，若直线ND过定点E，则该定点E必在x轴上，

设直线MN的方程为x=my+1，

由x=my+1x24+y23=1，得(3m2+4)y2+6my−9=0.

(1)

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，D(4,y1)，

∴y17.解：(1)∵AB=2，BC=AD=2，∠ABC=π4，

∴AC=2，

∵AB2+AC2=BC2，

∴AB⊥AC，

又∵ACEF为矩形，

∴AF⊥AC，

∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，AF⊂平面ACEF，

∴AF⊥平面ABCD，

∵AB⊂平面ABCD，

∴AF⊥AB，

故可建立如图空间直角坐标系，

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(−2,2,0)，E(0,2,1)，F(0,0,1)，

设M(0,y,1),0⩽y⩽2，

则AE=(0,2,1)，DM=(2,y−2,1)，

∵AE⊥DM，

∴AE⋅DM=2(y−2)+1=0，

解得y=22，

∴FMFE=12．

故当AE⊥DM时，点M为EF的中点．

(2)由(1)，BM=(−2,22,1)，BC=(−2,2,0)，

设平面MBC的一个法向量为m=(x1,y18.解：(1)由f(x)=aex−x−a，得f(0)=0，又f′(x)=aex−1，

当a≤0时，有f′(x)<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减，

又由f(0)=0，则f(x)≥0不成立；

当a>0时，令f′(x)=0，得x=ln1a，

则x>ln1a时，有f′(x)>0，x<ln1a时，有f′(x)<0，

即f(x)在(−∞,ln1a)单调递减，在(ln1a,+∞)单调递增，

所以f(ln1a)是f(x)的极小值，

又因为f(x)≥0，且f(0)=0，故ln1a=0，即a=1，经验证成立，

所以a=1．

(2)证明：当a≥1，x>0时，f(x)=aex−x−a=a(ex−1)−x≥ex−x−1，

设g(x)=ex−x−xlnx+sinx−1，

当0<x≤1时，−xlnx>0，sinx>0，

又由(1)知ex−x−1>0，故g(x)>0，

当x>1时，19.解：(1)(Ⅰ)设事件A表示这个人第1步掉入陷阱，事件B表示这个人第3步掉入陷阱，事件C表示这个人第5步掉入陷阱，

则他在5步内(包括5步)掉入陷阱的概率为P=P(A)+P(B)+P(C)=13+23×13×13+2×(23)2×(13)3=107243．

(Ⅱ)他从(1,0)开始，