2024-2025学年河北省邯郸市永年二中高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省邯郸市永年二中高三（上）开学数学试卷一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。1.已知集合A={x|x2−2A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{1,2}2.若正数x，y满足x2−xy+2=0，则x+y的最小值是(

)A.22 B.23 C.3.已知cosαcosβ=25,cos(α−β)=A.15 B.13 C.454.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)可以为(

)A.(ex−1)sinxex+1

B.(e5.下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是(

)A.y=ln(1−x) B.y=ln(2−x) C.6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2+x)=f(−x)，当−1≤x<0时，f(x)=log2(−6x+2)，则f(25A.2 B.1 C.−1 D.−27.已知(x1,y1)，(A.log2y1+y22<8.已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)−2f(x)<0，f(0)=1，则(

)A.e2f(−1)<1 B.f(1)>e2 C.9.设z−=(1−i)z−1，其中z−为z的共轭复数，则A.z的实部为2 B.z−的虚部是−2

C.|z|=5 D.10.下列论述正确的有(

)A.若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA=0.97，rB=−0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强

B.数据49，21，32，29，38，65，30，50的第60百分位数为38

C.若随机变量X∼N(7,σ2)，且P(X>9)=0.12，则P(5<X<7)=0.38

D.若样本数据x1，x2，⋯，x6的方差为111.已知函数f(x)=x3−x+1，则A.f(x)有三个极值点 B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=ln(x13.某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思路，有思路的题每道做对的概率均为23，没有思路的题只好任意猜一个答案.若从这4道题中任选2题作答，则该同学2道题都做对的概率为______．14.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)=f(−x)+3ex，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为______．三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）已知函数f(x)=x−1alnx与函数g(x)=eax−x，其中a>0．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若16.（15分）增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在[20,80](单位：分钟)的50名学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如图的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在[60,70)的有5名学生．

(1)求a，b的值；

(2)若从样本中体育锻炼时间在[60,80]的学生中随机抽取4人，设X表示在[70,80]的人数，求X的分布列和均值．17.（15分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，O为底面A1B1C1的重心，点D，G分别在棱CC1，B1C1上，且B1G：GC1=CD：DC1=1：18.（17分）已知函数f(x)=lnx−ax2+ax．

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．

(2)若函数g(x)=f(x)−ax有两个零点，求实数a19.（17分）已知函数f(x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3．

(1)若f(x)>−2当且仅当1<x<2，求a的值．

(2)若b=0，且f′(x)≥0，求a的最小值；

(3)参考答案1.C

2.C

3.A

4.A

5.B

6.D

7.B

8.D

9.AC

10.BCD

11.C

12.(4,+∞)

13.113614.y=x+3

15.解：(1)y=f(x)的定义域为(0,+∞)，

又已知a>0，f′(x)=1−1ax=a(x−1a)ax，

令f′(x)<0，得0<x<1a，即f(x)的单调减区间为(0,1a)，

令f′(x)>0，则x>1a，即f(x)的单调增区间为(1a,+∞)；

(2)由题意得g(x)=eax−x>0，即eax>x，

若x≤0，不等式恒成立，若x>0，即a>lnxx，

令ℎ(x)=lnxx(x>0)16.解：(1)因为体育锻炼时间在[60,70)的频率为550=0.1，

所以b=0.110=0.01，

又因为(0.006+0.01+0.018+0.022+0.024+a)×10=1，

所以a=0.02；

(2)样本中体育锻炼时间在[60,70)的有5名学生，在[70,80]的有3名学生，

则X=0，1，2，3，

所以P(X=0)=C54C84=1X0123P1331所以E(X)=11417.(1)证明：如图，连接C1O并延长，交A1B1于E，延长线段GO，交A1C1于H，连接DH，

因为O为底面A1B1C1的重心，所以EO：OC1=1：2，

又B1G：GC1=1：2，

所以EO：OC1=B1G：GC1，所以OG//A1B1，

所以A1H：HC1=1：2，

因为CD：DC1=1：2，所以A1H：HC1=CD：DC1，

所以DH//A1C，

因为A1C⊄平面DOG，DH⊂平面DOG，

所以A1C/​/平面DOG；

(2)解：取AB的中点为F，连接EF，

因为AA1⊥底面A1B1C1，且三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均相等，

所以直线EB1，EC1，EF两两互相垂直，

以E为坐标原点，EB1，EC1，EF所在直线分别为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设三棱柱ABC−A18.解：(1)当a=2时，f(x)=lnx−2x2+2x，所以f′(x)=1x−4x+2，

f′(1)=1−4+2=−1，f(1)=ln1−2+2=0，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−(x−1)，

即x+y−1=0；

(2)g(x)=f(x)−ax=lnx−ax2(x>0)，

由g(x)=0得a=lnxx2，

y=a,y=lnxx2的图象有2个交点，

令ℎ(x)=lnxx2(x>0)，

ℎ′(x)=1−2lnxx3，当0<x<e时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，

当x>e时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(e)=12e，

且x>119.解：(1)因为f(x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3，

所以x2−x>0，解得0<x<2，

所以f(x)的定义域为(0,2)，

f(x)>−2当且仅当1<x<2，

由于f(x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3的图象是连续的，

故x=1为f(x)=−2的一个解，

所以f(1)=−2即a=−2；

(2)b=0时，f(x)=lnx2−x+ax，其中x∈(0,2)，

则f′(x)=1x