2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高二（上）入学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高二（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量a=(x,1,2)，b=(4,2,4)，若a⊥b，则A.1 B.−52 C.−32.已知集合A={x|log2(x+1)≤2}，B={−3,−1,2,5}，则A∩B=A.{−3,−1} B.{−1,2} C.{2} D.{2,5}3.已知空间向量p=2a−3b+3c，q=3aA.(5,−3,4) B.(5,−2,4) C.(2,−3,3) D.(3,1,1)4.样本数据：48，49，50，50，50，50，51，52的方差为(

)A.1 B.1.25 C.2.5 D.45.底面圆周长为2π，母线长为4的圆锥内切球的体积为(

)A.15π5 B.13π25 C.6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)图象的两个相邻对称中心为(π12,0)，A.−π6 B.−π3 C.7.近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率f(单位时间内心跳的次数)与其自身体重W满足f=kW13(k≠0)的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次⋅min−1A.350kg B.450kg C.500kg D.250kg8.已知函数f(x)=3cosx+|cosx|，若方程|f(x)|=a(a≠0)在区间(0,2π)上有且仅有2个不等的实根x1，x2，则a(x1A.(4π,8π) B.(2π,4π) C.(0,4π) D.(0,2π)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，M为CD1的中点，A.AM=AB+13AD+1210.已知函数f(x)=(12024)(x+2A.f(x)为偶函数 B.f(x)的值域为(0,2024]

C.f(x)在[2024,+∞)上单调递减 D.f(66)<f(88)11.已知正数a，b满足a−1a≥2b且A.a+b的最小值为16 B.a+b的最小值为4

C.a2+b2的最小值为3+2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知幂函数f(x)=(m2+m−5)xm−1在(0,+∞)上单调递减，则13.(1+5cosθ)2+(−1+5sinθ14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱AB，C1D1的中点，建立如图所示空间直角坐标系A1xyz，点P(x,y,z)在平面AB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在空间直角坐标系中，已知点A(x,5−x,2x−1)，B(1,x+2,2−x)，C(1,2,3)．

(1)若AC⋅BC=2，求x的值；

(2)求|AB|16.(本小题15分)

已知z=a+i1−i(a∈R)为纯虚数．

(1)求a；

(2)求17.(本小题15分)

2024年西部数学邀请赛于8月4日至10日在上海隆重举行，此次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验，更是对数学教育未来发展的深刻实践探索，共有200多名学生参赛，引起社会广泛关注，点燃了全社会对数学的热情.甲、乙、丙3名同学各自独立去做2024年西部数学邀请赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为23，乙能解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都能解出该题的概率为12．

(1)求乙、丙各自解出该题的概率；

(2)求甲、乙、丙3人中至少有118.(本小题17分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为22的菱形，AA1=2，∠BAD=π3，E，F分别为AB，AA1的中点．

(1)证明：B119.(本小题17分)

已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，A=π4，a=2，|AO|=|OB|=|OC|=R(R为△ABC外接圆的半径)．

(1)证明：答案解析1.B

【解析】解：因为a=(x,1,2)，b=(4,2,4)，且a⊥b，所以4x+2+8=0，解得x=−52．

故选：2.C

【解析】解：因为log2(x+1)≤2，所以0<x+1≤22，即−1<x≤3，

所以A=(−1,3]，B={−3,−1,2,5}，

所以A∩B={2}．

故选：C．

先解对数不等式求出集合3.B

【解析】解：空间向量p=2a−3b+3c，q=3a+b+c，则p+q=5a−24.B

【解析】解：样本数据的平均数x−=48+49+50+50+50+50+51+528=50，

方差s2=185.C

【解析】解：由题意可知，圆锥的母线l=4，底面半径r=1，

根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示：

根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆O，即为等腰△ABC的内切圆，

即OE⊥AC，AD⊥BC，OD=OE，CD=CE，

在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，由AC=l=4，CD=r=1，则AD=15，

在Rt△AOE中，AE2+OE2=AO2，即(AC−CE)2+OE6.A

【解析】解：由f(x)图象的两个相邻对称中心为(π12,0)，(7π12,0)，

可得T2=12⋅2πω=7π12−π12=π2，

解得ω=2，

又π12×2+φ=kπ，7.D

【解析】解：根据题意f=kW13(k≠0)，

当W=2时，f=205，则k=205×213，

当f=41时，则W13=205×21341=5×218.A

【解析】解：因为f(x)=3cosx+|cosx|，

当cosx≥0时，f(x)=4cosx∈[0,4]，当cosx<0时，f(x)=2cosx∈[−2,0)，

作出函数y=|f(x)|在区间(0,2π)上的图象如图所示，

结合图象可得，当2<a<4时，方程|f(x)|=a在(0,2π)上有且仅有2个不等的实根x1，x2，

且x1+x2=2π，所以a(x1+x2)的取值范围是(4π,8π)．9.BD

【解析】解：四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，M为CD1的中点，Q为CA1上靠近点A1的五等分点，

则AM=AB+BC+CM=AB+AD+12(CD+CC110.BC

【解析】解：函数f(x)的定义域为R，且f(−x)=(12024)(2−x)2−1=(12024)(x−2)2−1≠f(x)，

则f(x)不为偶函数，故A错误；

令u=(x+2)2−1≥−1，

则y=(12024)u在u∈[−1,+∞)上单调递减，

则其值域为(0,2024]，故B正确；

因为u=(x+2)2−1在[−2,+∞)上单调递增，且y=(12024)11.CD

【解析】解：由题意可得a≥1a+2b，b≥3a+2b，

∵a+b≥(1a+2b)+(3a+2b)=4(1a+1b)，

∴(a+b)2≥4(1a+1b)(a+b)=4(2+ba+ab)≥4(2+2ba⋅ab)=16，当且仅当a=b时取等号，经检验后无法取得等号，故A、B错误；

12.−3

【解析】解：由题意可得f(x)=(m2+m−5)xm−1为幂函数，则m2+m−5=1，解得m=−3或m=2．

当m=2时，f(x)=x为增函数，不符合题意；

当m=−3时，f(x)=x−4在(0,+∞)单调递减，符合题意．

故答案为：−313.[27−10【解析】解：由题意可得：

(1+5cosθ)2+(−1+5sinθ)2=27+10(cosθ−sinθ)=27+102cos(θ+π4)，

又−1≤cos(θ+π414.2【解析】解：点P与点A1(0,0,0)和点B1(2,0,0)的距离之和为x2+y2+z2+(x−2)2+y2+z2，

因为A1关于平面ABC1D1的对称点为D，故PA1+PB1≥DB1=23，

当且仅当P为DB1中点，即P为正方体中心时等号成立；

点P与点M(1,0,2)和点N(1,2,0)的距离之和可表示为(x−1)15.解：(1)由题意可得AC=(1−x,x−3,4−2x),BC=(0,−x,x+1)，

因为AC⋅BC=(1−x,x−3,4−2x)⋅(0,−x,x+1)=x(3−x)+(x+1)(4−2x)=2，

解得x=2或−13；

(2)由空间两点间的距离公式，

得|AB|=(1−x【解析】(1)根据向量的数量积坐标运算公式计算求参；

(2)先由空间两点间的距离公式计算，再结合二次函数值域求解．

本题考查了向量的数量积坐标运算和空间两点间的距离公式，属于中档题．16.解：(1)由题意可得z=a+i1−i=(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)=(a−1)+(1+a)i2=a−12+1+a2i，

因为z是纯虚数，所以a−12=01+a2≠0，

解得a=1．

(2)由(1)得到z=i，又i1=i，i2=−1，i3=−i【解析】(1)根据复数的除法及乘法运算化简，最后根据复数类型求参；

(2)根据复数的乘方计算，再结合复数的周期性，再求和即可．

本题考查复数的运算，属于基础题．17.解：(1)设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件C，

则A，B，C相互独立，

由题意得P(A)=23，P(AC)=P(A)P(C)=23⋅P(C)=12，

所以P(C)=34，P(BC−)=P(B)P(C−)=P(B)(1−P(C))=P(B)⋅(1−34)=18，

所以P(B)=12，所以乙、丙各自解出该题的概率为12，34．

(2)设“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件D，

则D−=A−B−C−，因为P(A)=23【解析】(1)设出事件，运用相互独立事件概率的乘法公式及对立事件概率公式求解即可；

(2)运用相互独立事件概率的乘法公式，结合对立事件概率公式计算即可．

本题考查相互独立事件概率的乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.解(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=π3，E为AB的中点，

所以DE⊥AB，

在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，平面ABBA1⊥平面ABCD，

因为平面ABB1A1∩A1平面ABCD=AB，DE⊂平面ABCD，

所以DE⊥平面ABB1A1，

因为B1E⊂平面ABB1A1，所以DE⊥B1E，

因为四边形ABB1A1是矩形，AB=22，AA1=2，E，F分别为AB，AA的中点，

所以tan∠AEF=tan∠EB1B=22，

所以∠AEF=∠EB1B，因为∠EB1B+∠B1EB=π2，

所以∠AEF+∠B1EB=π2，

所以∠FEB1=π2，

所以EF⊥B1E，

因为DE∩EF=E，且DE，EF⊂平面DEF，

所以B1E⊥平面DEF；

(2)因为EF//平面CDD1C1，所以平面CEF与平面CDD1C1的交线与EF平行，

所以交线为CD1，

连接CD1，D1F，CE，

则四棱柱ABCD−A1B1C1D1被平面CEF截得的截面为四边形EFD1C，

CD1=CD2+DD12=8+4【解析】(1)利用线面垂直的判定与性质定理即可得证；

(2)先确定四棱柱ABCD−A1B1C1D1被平面CEF截得的截面为四边形EFD1C，再解三角形即可；19.解：(1)证明：因为A=π4，所以