高考数学理科二轮总复习高考23题逐题特训6.随机变量及其概率分布

6.随机变量及其概率分布1．(2017·江苏南通中学调研)设10件同类型的零件中有2件不合格品，从所有零件中依次不放回地取出3件，以X表示取出的3件中不合格品的件数．(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率；(2)求X的概率分布和数学期望E(X)．解(1)“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率为eq\f(8×2,10×9)＝eq\f(8,45).(2)X的取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(8×7×6,10×9×8)＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(8×7×2×3,10×9×8)＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(8×2×1×3,10×9×8)＝eq\f(1,15).故X的概率分布为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)数学期望E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).2．(2017·江苏赣榆中学质检)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为eq\f(5,12).现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．解(1)设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,9))，由题意知eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,9))＝eq\f(5,12)，化简得n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6.(2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，P(X＝2)＝eq\f(3×6,9×8)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(3×2×6,9×8×7)＝eq\f(1,14)，P(X＝4)＝eq\f(3×2×1×6,9×8×7×6)＝eq\f(1,84).所以取球次数X的概率分布为X1234Peq\f(2,3)eq\f(1,4)eq\f(1,14)eq\f(1,84)所求数学期望E(X)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,14)＋4×eq\f(1,84)＝eq\f(10,7).3．(2017·江苏如皋中学模拟)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1＝eq\f(2,3)，乙的命中率为P2，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P2＝eq\f(1,2)，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E(ξ)≥5，求P2的取值范围．解(1)易得P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(1,2)·\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(1,2)))＝eq\f(1,3).(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))[Ceq\o\al(1,2)·P2·(1－P2)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))Peq\o\al(2,2)＝eq\f(8,9)P2－eq\f(4,9)Peq\o\al(2,2).而ξ～B(12，P)，所以E(ξ)＝12P，由E(ξ)≥5知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)P2－\f(4,9)P\o\al(2,2)))·12≥5，解得eq\f(3,4)≤P2≤eq\f(5,4).又0≤P2≤1，∴eq\f(3,4)≤P2≤1.4．(2017·江苏平潮高级中学质检)某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟．经统计以往100位顾客办理业务所需的时间t结果如下：类别A类B类C类D类顾客数(人)20304010时间t(分钟/人)2346注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．(1)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；(2)用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的概率分布及数学期望．解(1)设Y表示银行工作人员办理一笔业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的概率分布如下：Y2346Peq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)eq\f(1,10)A表示事件“银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A对应两种情形：①办理第一位顾客的业务所需时间为2分钟，且办理第二位顾客的业务所需时间为3分钟；②办理第一位顾客的业务所需时间为3分钟，且办理第二位顾客的业务所需时间为2分钟．∴P(A)＝P(Y＝2)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝2)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(3,25).(2)X的取值为0,1,2.X＝0对应办理第一位顾客的业务所需时间超过4分钟，∴P(X＝0)＝eq\f(1,10).X＝1对应办理第一位顾客的业务所需时间为2分钟，且办理第二位顾客的业务所需时间超过2分钟，或办理第一位顾客的业务所需时间为3分钟或办理第一位顾客的业务所需时间为4分钟，∴P(X＝1)＝P(Y＝2)P(Y>2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,10)＋eq\f(2,5)＝eq\f(43,50).X＝2对应办理前两位顾客的业务所需时间均为2分钟，∴P(X＝2)＝P(Y＝2)P(Y＝2)＝eq