安徽省淮北市树人高级中学2024-2025学年高二数学上学期开学考试试题理

PAGE17-安徽省淮北市树人高级中学2024-2025学年高二数学上学期开学考试试题理一．选择题（每题5分，共12小题）1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝（）A．{1} B．（0，+∞） C．（0，1） D．（0，1]2．f（x）＝在（）A．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是增函数 B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是减函数 C．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是增函数 D．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是减函数3．能反映一组数据的离散程度的是（）.A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）（A） （B） （C） （D）5．如图，已知点C为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值为（）．A． B．0 C． D．6．若变量x，y满意约束条件，则z＝3x﹣y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣7．若，为互斥事务，则（）A． B．C． D．8．如图是2024年某高校自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84 B．84，85 C．86，84 9．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）A．B．C.D．10．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（）A． B．1﹣ C． D．11．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能12．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满意，若，则的面积的最大值为（）A． B． C． D．二．填空题（每题5分，共20分）13．一组样本数据x，4，5，6，y的平均数为5，标准差为4，则x2+y2＝128．14．已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5，3.5），y关于x的线性回来方程为＝x+0.35，据此可估计x＝7时，＝15．从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事务中是互斥事务的序号为③④．①至少有1个白球；都是白球．②至少有1个白球；至少有1个红球．③恰有1个白球；恰有2个白球．④至少有1个白球；都是红球．16．三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为．三．解答题（共6小题，计70分）17．（10分）已知三内角，，的对边分别为，，，点为边的中点，，.（1）求；（2）求面积的最大值.18．（12分）庐江县统计局统计了该县2024年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：年收入（万元）24466677810年饮食支出y（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回来方程；（2）若某家庭年收入为9万元，预料其年饮食支出．附：回来直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．（参考数据：．）19．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且向量=（-4，n），=（Sn，n+3）垂直．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列前n项和为Tn，求证：．20．（12分）疫情期间，在家中适当熬炼，合理休息，能够提高自身免疫力，反抗病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动状况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的熬炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a的值；（2）估计这100位居民熬炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（3）求中位数的估计值．21．(12分)如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.22．（12分）某公司安排购买1台机器,该种机器运用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器运用期间,假如备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年运用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x表示1台机器在三年运用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.（=1\*ROMANI）若=19,求y与x的函数解析式；（=2\*ROMANII）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；（=3\*ROMANIII）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？高二第一期开学考数学试卷一．选择题（每题5分，共12小题）1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝（）A．{1} B．（0，+∞） C．（0，1） D．（0，1]【解答】解：A＝{y|y＞0}，B＝{x|x≤1}；∴A∩B＝（0，1]．故选：D．2．f（x）＝在（）A．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是增函数 B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是减函数 C．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是增函数 D．（﹣∞，1），（1，+∞）分别是减函数【解答】解：f（x）＝＝﹣＝﹣1﹣，由函数y＝在x＞0，x＜0均为增函数，则将y＝的图象向右平移1个单位，可得y＝﹣的图象，再向下平移1个单位，即可得到f（x）的图象，则有f（x）在x＞1，x＜1上均为增函数，则有函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），（1，+∞）．无减区间．故选：C．3．能反映一组数据的离散程度的是（）.A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差【答案】D4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】甲不输的事务，包括两人下成和棋或甲获胜，且两个事务互斥，所以甲不输概率为选A.5．如图，已知点C为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值为（）．A． B．0 C． D．【答案】A【解析】【分析】依据平面对量的基本定理和共线定理，结合已知求出的值.【详解】，所以.故选：A6．若变量x，y满意约束条件，则z＝3x﹣y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣【解答】解：由变量x，y满意约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z＝3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1＝﹣7．故选：A．7．15．若，为互斥事务，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为A,B互斥，但A,B不肯定对立，所以8．如图是2024年某高校自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84 B．84，85 C．86，84 【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选：A．9．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）A．B．C.D．【答案】B【解析】成等差的基本领件有，故选B10．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（）A． B．1﹣ C． D．【解答】解：满意条件的正方形ABCD如下图所示：其中正方形的面积S正方形＝4×4＝16；满意到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于2的平面区域如图中阴影部分所示则S阴影＝16﹣4π，故该正方形内的点到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于1的概率是P＝＝＝1；故选：B．11．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能【答案】B【解析】【分析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系。【详解】解：因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，所以点在圆外，故选B。12．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满意，若，则的面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，为三角形内角，则，，当且仅当时取等号二．填空题（每题5分，共20分）13．一组样本数据x，4，5，6，y的平均数为5，标准差为4，则x2+y2＝128．【解答】解：平均数为×（x+4+5+6+y）＝5，即x+y＝10，方差为×[（x﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（y﹣5）2]＝16，所以（x﹣5）2+（y﹣5）2＝78，即x2+y2﹣10（x+y）＝28，所以x2+y2＝28+10（x+y）＝28+10×10＝128．故答案为：128．14．已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5，3.5），y关于x的线性回来方程为＝x+0.35，据此可估计x＝7时，＝5.25．【解答】解：由题意中心点为（4.5，3.5），代入回来方程为：＝x+0.35，可得3.5＝4.5+0.35，解得＝0.7，所以：＝0.7x+0.35，x＝7时，＝0.7×7+0.35＝5.25，故答案为：5.25．15．从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事务中是互斥事务的序号为③④．①至少有1个白球；都是白球．②至少有1个白球；至少有1个红球．③恰有1个白球；恰有2个白球．④至少有1个白球；都是红球．【解答】解：从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，在①中，至少有1个白球和都是白球能同时发生，不是互斥事务，故①错误；在②中，至少有1个白球与至少有1个红球能同时发生，不是互斥事务，故②错误．在③中，恰有1个白球与恰有2个白球不能同时发生，是互斥事务，故③正确；在④中，至少有1个白球与都是红球不能同时发生，是互斥事务，故④正确．故选：③④．16．三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为．【答案】【解析】试题分析：在中，，，则依据余弦定理求出，设与的外接圆的圆心分别为，半径分别为，则，连接，线段的中点O为球心，，连接，；三．解答题（共6小题，计70分）17．（10分）已知三内角，，的对边分别为，，，点为边的中点，，.（1）求；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得：即：（2）为边的中点，又，即当且仅当时取等号（当且仅当时取等号）面积的最大值为18．（12分）庐江县统计局统计了该县2024年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：年收入（万元）24466677810年饮食支出y（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回来方程；（2）若某家庭年收入为9万元，预料其年饮食支出．附：回来直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝﹣．（参考数据：．）【解答】解：（1）（2+4+4+6+6+6+7+7+8+10）＝6，（1.0+1.5+1.6+2.0+1.8+1.9+1.8+2.0+2.1+2.3）＝1.8．＝＝．．∴y关于x的线性回来方程为；（2）在为中，取x＝9，得≈2.26．∴若某家庭年收入为9万元，预料其年饮食支出为2.26万元．19．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且向量=（-4，n），=（Sn，n+3）垂直．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列前n项和为Tn，求证：．【答案】（1）（2）见解析20．（12分）疫情期间，在家中适当熬炼，合理休息，能够提高自身免疫力，反抗病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动状况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的熬炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a的值；（2）估计这100位居民熬炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（3）求中位数的估计值．【解答】解：（1）由题意，得（0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003）×10＝1．解得a＝0.03．（2）估计这100位居民熬炼时间的平均值为：＝5×0.005×10+15×0.012×10+25×0.03×10+35×0.035×10+45×0.015×10+55×0.003×10＝30.2（分钟）．（3）设中位数的估计值为x+30．由（0.005+0.012+0.03）×10+0.035x＝0.035（10﹣x）+（0.015+0.003）×10，得，所以中位数的估计值为．21．(12分)如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于，则为的中点，利用中位线的性质可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（2）取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理可得出平面，由此可计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，并设点到平面的距离为，由可计算出点到平面的距离的值.【详解】（1）如图，连接交于，连接，则为的中点.又为上的中点，所以.又平面，平面，所以平面；（2）如图，取的中点，连接，因为，，所以，，，又平面平面，平面平面，平面，所以平