2024-2025学年新教材高中数学第四章对数运算和对数函数4.4-4.5指数函数幂函数对数函数增长的比较信息技术支持的函数研究练测评含解析北师大版必修第一册

PAGE指数函数、幂函数、对数函数增长的比较信息技术支持的函数探讨必备学问基础练进阶训练第一层学问点一指数函数、幂函数、对数函数增长的差异1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应当是()A．y＝10000xB．y＝log2xC．y＝x1000D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x改变的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数改变的变量是________.学问点二指数函数、幂函数、对数函数增长的比较3.下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减状况的叙述正确的是()A．f(x)的衰减速度渐渐变慢，g(x)的衰减速度渐渐变快，h(x)的衰减速度渐渐变慢B．f(x)的衰减速度渐渐变快，g(x)的衰减速度渐渐变慢，h(x)的衰减速度渐渐变快C．f(x)的衰减速度渐渐变慢，g(x)的衰减速度渐渐变慢，h(x)的衰减速度渐渐变慢D．f(x)的衰减速度渐渐变快，g(x)的衰减速度渐渐变快，h(x)的衰减速度渐渐变快4．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x5．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，推断f(6)，g(6)的大小．学问点三指数函数、幂函数、对数函数的实际应用6.某学校为了实现60万元的生源利润目标，打算制定一个激励招生人员的嘉奖方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行嘉奖，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个嘉奖模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？关键实力综合练进阶训练其次层1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3x，f4(x)＝2x，假如他们始终跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log3xD．f4(x)＝2x2．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对随意的x>0，xa>logaxC．对随意的x>0，ax>logaxD．肯定存在x0，当x>x0，a>1，n>0时，总有ax>xn>logax3．已知－1<α<0，则()A．0.2α>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α>2αB．2α>0.2α>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))αC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α>0.2α>2αD．2α>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α>0.2α4．有一组试验数据如下表所示：x12345y413284976下列所给函数模型较适合的是()A．y＝logax(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)5．据报道，某淡水湖的湖水在50年内削减了10%，若按此规律，设2024年的湖水量为m，从2024年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为()A．y＝0.9B．y＝(1－0.1)mC．y＝0.9mD．y＝(1－0.150x)m6．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的的序号是________．10．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图．(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点动身向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是()A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最终面C．丙不行能走在最前面，也不行能走在最终面D．假如它们始终运动下去，最终走在最前面的是甲2．若已知16<x<20，利用图象可判出x和log2x的大小关系为________．3．(情境命题—生活情境)2024年，新型冠状病毒的传播给我国人民生产生活带来很大的影响．经过监测，某地区第1周、第2周、第3周患这种传染病的人数分别为52,54,58.为了预料以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数探讨必备学问基础练1．解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x增长速度最快．故选D.答案：D2．解析：以爆炸式增长的变量是呈指数函数改变的，从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2起先改变，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数改变．答案：y23．解析：由函数f(x)＝logx，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝x－eq\f(1,2)在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均渐渐变慢，故选C.答案：C4．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.答案：B5．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6)．6．解析：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如下图所示)．视察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行嘉奖才符合学校的要求．关键实力综合练1．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的图象(图略)，可知当x>4时，f4(x)>f1(x)>f2(x)>f3(x)，故选D.答案：D2．解析：对于A，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B，C中xa，logax，ax的大小都受a的影响，选D.答案：D3．解析：∵eq\f(1,2)>0.2，－1<α<0，∴2α<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α<0.2α.故选A.答案：A4．解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.答案：C5．解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9eq\f(1,50).∴x年后的湖水量为y＝0.9eq\f(x,50)m.答案：C6．解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a).因为yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．答案：A7．解析：当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长得要快．答案：y＝x28．解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e，解得k＝2ln2，y(5)＝e(2ln2)·5＝e10ln2＝210＝1024(个)．答案：2ln210249．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)．反映了C随时间的改变而渐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有改变，即第三年后停止生产，所以②③正确．答案：②③10．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．学科素养升级练1．解析：路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为：f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝8，∴选项A不正确；依据四种函数的改变特点，对数型函数的改变是先快后慢，当x＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最终面，∴选项B正确；结合对数型和指数型函数的图象改变状况，可知丙不行能走在最前面，也不行能走在最终面，∴选项C正确；指数函数改变是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体肯定是依据指数型函数运动的物体，即肯定是甲物体．∴选项D正确．故选B、C、D.答案：BCD2．解析：作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；x＝4或x＝16时，x＝log2x；在(4,16)内x<log2x；在(16,20)内x>log2x.答案：x>log2x3．解析：依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al