山西省平遥县高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程（2）教案 新人教A版必修1

山西省平遥县高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程（2）教案新人教A版必修1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：山西省平遥县高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程（2）

2.教学年级和班级：高中一年级

3.授课时间：第5节课

4.教学时数：45分钟

教学内容：

1.理解函数与方程的关系，掌握求解函数方程的方法。

2.应用函数与方程解决实际问题，提高学生解决问题的能力。

教学过程：

1.导入（5分钟）：

通过回顾上节课所学内容，引导学生思考函数与方程之间的关系。

2.知识讲解（15分钟）：

a.复习函数的定义，强调函数是一种特殊的关系。

b.介绍方程的解法，特别是求解函数方程。

c.结合实际例子，解释函数与方程在实际问题中的应用。

3.例题讲解（15分钟）：

a.选取课本例题，讲解求解函数方程的方法。

b.分析解题思路，引导学生关注函数与方程的相互转化。

4.练习与讨论（10分钟）：

a.布置一些与函数方程相关的练习题，让学生独立完成。

b.组织学生讨论解题方法，互相交流心得。

5.总结与拓展（5分钟）：

a.对本节课所学内容进行总结，强调函数与方程在实际问题中的应用。

b.提供一些拓展题目，激发学生进一步学习的兴趣。

教学评价：

1.课堂练习：观察学生在练习中的表现，了解他们对函数方程求解方法的掌握程度。

2.课后作业：布置与课程内容相关的作业，进一步巩固学生对函数与方程的理解。

3.学生讨论：评价学生在讨论中的参与程度，了解他们的思考过程和解决问题的能力。

教学资源：

1.课本：新人教A版必修1

2.练习题：与函数方程相关的问题，包括求解和应用题。

3.辅助工具：黑板、粉笔、教具等。核心素养目标1.培养学生运用数学语言表达现实问题的能力，提升数学抽象素养。

2.培养学生运用函数与方程思想解决问题的能力，增强数学建模与逻辑推理素养。

3.培养学生通过分析、比较、总结，提炼函数与方程的本质规律，提高数学直观想象与数据分析素养。

4.引导学生体会数学知识在实际生活中的应用，培养数学应用意识，提升数学素养的综合运用能力。重点难点及解决办法重点：

1.函数与方程关系的理解。

2.函数方程求解方法的应用。

难点：

1.函数与方程在实际问题中的转化与应用。

2.高阶函数方程的求解策略。

解决办法：

1.通过实际案例引入，直观展示函数与方程的关系，增强理解。

2.分步骤讲解求解函数方程的方法，结合图形辅助理解。

3.设计梯度练习题，从简单到复杂，逐步突破难点。

4.采用小组讨论形式，让学生互相交流解题思路，共享解题策略。

5.针对高阶函数方程，提供解题技巧和思路引导，帮助学生建立解题框架。教学方法与手段1.教学方法：

1.1讲授法：通过生动的语言和实际案例，为学生讲解函数与方程的基本概念和求解方法，帮助学生建立扎实的理论基础。

1.2讨论法：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和经验，激发学生的思维碰撞，提高他们的问题解决能力。

1.3实践法：设计实际应用题，让学生动手操作，将理论知识应用于实际问题中，增强学生的实践操作能力和创新意识。

2.教学手段：

2.1多媒体设备：利用多媒体课件，展示函数与方程的图像、动画等，使抽象的数学概念形象化，便于学生理解和记忆。

2.2教学软件：运用数学软件（如几何画板、Mathematica等）进行函数方程的演示和求解，让学生直观感受数学知识的生成过程。

2.3互联网资源：整合网络教学资源，提供丰富的学习资料和拓展题目，满足学生个性化学习的需求。

具体实施：

1.教学方法的应用：

1.1讲授法：在讲解函数与方程的关系时，结合生活实例，如人口增长、物体运动等，让学生认识到数学知识的实际意义。

1.2讨论法：在讲解例题时，将学生分成小组，让他们共同探讨解题方法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

1.3实践法：布置一些实际应用题，如求解实际问题中的函数方程，让学生在解决问题的过程中，提高数学应用能力。

2.教学手段的应用：

2.1多媒体设备：在讲解函数方程求解方法时，通过多媒体课件展示函数图像，让学生直观地了解函数与方程之间的关系。

2.2教学软件：利用数学软件进行实时演示，如求解一元二次方程的根、绘制函数图像等，让学生在实际操作中掌握知识。

2.3互联网资源：为学生提供在线学习平台，让学生在课后进行自主学习，拓展知识面。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对函数与方程的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道函数与方程在数学中扮演什么角色吗？它们在我们的生活中有什么样的应用？”

展示一些关于函数与方程的图像和实际应用案例，让学生初步感受函数与方程的魅力和实际意义。

简短介绍函数与方程的基本概念及其在数学和现实世界中的重要性。

2.函数与方程基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解函数与方程的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解函数的定义，包括其域、值域和图像。

详细介绍方程的组成和求解方法，使用图表和示意图辅助讲解。

通过实际例题，让学生理解函数与方程之间的关系，以及如何利用函数解决方程问题。

3.函数与方程案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解函数与方程的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的函数与方程案例进行分析，如物理运动轨迹、经济模型等。

详细介绍每个案例的背景、特点和解决方法，让学生全面了解函数与方程的应用。

引导学生思考这些案例对实际生活的影响，以及如何应用函数与方程解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论函数与方程在其他领域的应用，并提出创新性的思考。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与函数与方程相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对函数与方程的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调函数与方程的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括函数与方程的基本概念、案例分析等。

强调函数与方程在现实生活和数学学习中的价值和作用，鼓励学生继续探索和应用。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于函数与方程在实际问题中应用的小短文，以巩固学习效果。教学资源拓展1.拓展资源：

为了让学生更深入地理解和掌握函数与方程的知识，以下是一些与本节课教学内容相关的拓展资源：

-相关数学书籍：《数学分析》、《高等数学》等，这些书籍中包含了更深入的函数与方程理论和方法。

-数学杂志和期刊：如《数学通报》、《数学教学》等，这些杂志经常发表关于函数与方程教学和研究的文章。

-数学竞赛题目：国内外数学竞赛中有关函数与方程的题目，可以提供更高难度的挑战，培养学生的解题技巧。

-实际应用案例：收集来自工程、物理、经济等领域的实际问题，让学生看到函数与方程在解决实际问题中的广泛应用。

-数学软件和工具：如Mathematica、MATLAB等，这些工具可以辅助学生进行函数图像绘制、方程求解等操作，增强直观感受。

2.拓展建议：

针对不同层次的学生，提供以下拓展学习建议：

-基础拓展：对于基础层次的学生，建议通过阅读教材中的例题和练习题，巩固函数与方程的基本概念和解题方法。

-中级拓展：对于已经掌握基础知识的同学，可以尝试解决一些拓展性的题目，如数学竞赛题目，或者从数学杂志中选取相关文章进行阅读。

-高级拓展：对于学有余力的学生，建议研究实际应用案例，将函数与方程的知识与实际问题结合起来，尝试解决更复杂的数学模型。

-研究拓展：鼓励学生参与小研究项目，例如研究函数与方程在某个特定领域（如生物、环境科学）的应用，撰写研究报告。

-交叉学科学习：鼓励学生跨学科学习，例如将函数与方程的知识应用到计算机编程中，通过编写程序解决数学问题。作业布置与反馈1.作业布置：

为了帮助学生巩固本节课所学的函数与方程知识，特布置以下作业：

a.课本习题：

-完成课本第3章的第1节练习题，包括填空题、选择题和解答题。

-尝试解决课本第3章的第2节课后习题，特别是与函数方程相关的问题。

b.拓展练习：

-选择两道数学竞赛中与函数与方程相关的题目进行尝试。

-从实际应用案例中选取一道题目，运用所学的函数与方程知识进行分析和解答。

c.小组作业：

-小组合作完成一篇关于函数与方程在实际问题中应用的短文，要求结合具体案例，阐述函数与方程的作用和意义。

d.创新思考：

-探索函数与方程在其他学科（如物理、化学、生物等）中的应用，撰写一份探索报告。

2.作业反馈：

在批改学生作业时，教师应关注以下几个方面，并及时给予反馈：

a.知识掌握程度：

-检查学生对函数与方程基本概念的理解是否准确。

-评估学生对函数方程求解方法的掌握情况。

b.解题思路与方法：

-指出学生在解题过程中可能存在的思维误区或逻辑错误。

-提醒学生注意函数与方程在解题中的应用和转化。

c.创新性与实际应用：

-鼓励学生在解决问题时提出创新性的观点和解决方案。

-评价学生在实际应用案例中的分析能力和解决问题的能力。

d.反馈与建议：

-针对每个学生的作业情况，给出具体的改进建议。

-对于作业完成较好的学生，鼓励其继续努力，挑战更高难度的题目。

-对于作业完成较差的学生，指出问题所在，并指导其进行针对性的复习。板书设计①函数与方程的基本概念

②函数方程的求解方法

③函数与方程在实际问题中的应用

2.艺术性和趣味性设计：

①使用生动的图表和图像来展示函数与方程的概念和关系。

②利用有趣的例子或故事来讲解函数方程的求解方法，激发学生的兴趣。

③通过互动式的板书，如填空、选择、解答题等，让学生积极参与并加深理解。

3.板书设计示例：

①函数与方程的基本概念：

-函数的定义

-方程的定义

-函数与方程的关系

②函数方程的求解方法：

-代数方法

-图像方法

-数值方法

③函数与方程在实际问题中的应用：

-物理运动

-经济模型

-工程设计

通过以上板书设计，学生可以清晰地理解函数与方程的基本概念、求解方法以及在实际问题中的应用，同时，生动的图表和有趣的例子也能激发学生的学习兴趣和主动性。重点题型整理1.题型一：求函数的定义域

-题目：求函数f(x)=√(x^2-9)的定义域。

-解答：由于根号下的表达式不能为负，因此需要x^2-9≥0，解得x≤-3或x≥3。所以函数的定义域为x∈(-∞,-3]∪[3,+∞)。

2.题型二：求函数的值域

-题目：求函数f(x)=x^2-4x+3的值域。

-解答：首先将函数写成完全平方形式：f(x)=(x-2)^2-1。由于平方项永远非负，最小值为0，因此函数的最小值为-1，值域为[-1,+∞)。

3.题型三：求函数的反函数

-题目：求函数f(x)=2x+3的反函数。

-解答：设反函数为f^(-1)(y)，则有y=2x+3。将y与x互换，解得x=(y-3)/2。因此反函数为f^(-1)(y)=(y-3)/2。

4.题型四：解函数方程

-题目：解