2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥提高篇二解析版北师大版

2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥提高篇（二）（解析版）编者的话：《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。本专题是第一单元圆柱与圆锥提高篇（二）。本部分内容主要选取圆柱与圆锥单元较有难度的题型，也是期末考试常见的考点考题，建议把该部分作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。【考点一】圆柱与长方体、正方体的等积转化问题一。【方法点拨】等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。【典型例题】把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铅块和一个棱长是5厘米的正方体铅块，铸成一个圆柱。这个圆柱的底面直径是20厘米，高是多少厘米？解析：（9×7×3＋5×5×5）÷[3.14×（20÷2）2]＝（189＋125）÷[3.14×100]＝314÷314＝1（厘米）答：圆柱是高是1厘米。【对应练习1】把一个底面积为，高为6cm的圆柱形铁块熔铸成一个长为5cm、宽为4cm的长方体铁块，铸成的长方体铁块高多少cm？解析：=10（cm）【对应练习2】下图中的圆柱与长方体的体积相等。这个圆柱的高是多少分米？（单位：）解析：答：这个圆柱的高是。【对应练习3】如下图所示，要在实验室铸造出一个无盖的青铜盒子，盒子的外形是一个长方体，内部挖空，外部尺寸长为，宽为，高为，壁和底部的厚度都为。现有一份形状为圆柱的实心青铜材料，其底面直径为，高为。若熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子吗？通过计算说明。解析：圆柱形材料的体积：3.14×（10÷2）2×20＝3.14×25×20＝3.14×500＝1570（立方厘米）铸造青铜盒子需要的体积：30×15×10－（30－1×2）×（15－1×2）×（10－1）＝450×10－28×13×9＝4500－3276＝1224（立方厘米）1570＞1224，即熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子。答：熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子。【考点二】圆柱与长方体、正方体的等积转化问题二。【方法点拨】等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。【典型例题】甲圆柱形瓶子中有2厘米深的水。乙长方体瓶子里水深6.28厘米。将乙瓶中的水全部倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？（如图）解析：10×10×6.28÷（3.14×52）＋2＝628÷（3.14×25）＋2＝628÷78.5＋2＝8＋2＝10（厘米）答：这时甲瓶的水深10厘米。【对应练习1】甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深多少厘米？解析：10×10×6.28＝100×6.28＝628（立方厘米）628÷（3.14×52）＝628÷78.5＝8（厘米）答：这时水深8厘米。【对应练习2】下图中，圆柱形（甲）瓶子里有2厘米深的水。长方体（乙）瓶子有水深6.28厘米。如果将乙瓶中的水倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？解析：10×10×6.28÷（3.14×42）＋2＝628÷（3.14×16）＋2＝628÷50.24＋2＝12.5＋2＝14.5（厘米）答：这时甲瓶的水深14.5厘米。【对应练习3】将一个底面周长是18.84厘米、高是10厘米的圆柱形量杯里装满水，再倒入一个长12厘米、宽5厘米的长方体容器中，水面高是多少厘米？解析：＝32×3.14×10÷60＝282.6÷60＝4.71（厘米）答：水面高度是4.71厘米。【考点三】圆柱与圆锥的等积转化问题。【方法点拨】底面积和高均相等的圆柱和圆锥的体积关系是：圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。【典型例题】一块圆柱形橡皮泥，体积是200，把这块橡皮泥重新捏成一个圆锥，已知圆锥的底面半径是10，求圆锥的高。（π取3）解析：2【对应练习1】把一个体积是800的圆柱体铁块，熔铸成一个底面积是600的圆锥体，这个圆锥体的高是多少?（π取3）解析：4【对应练习2】一个圆柱的底面半径是6厘米，体积是1130.4立方厘米，一个圆锥与它的体积相等，底面积也相等。这个圆锥高是多少厘米？解析：30厘米。【对应练习3】一个圆锥形谷堆，绕着谷堆的外围走一圈是25.12米，高3米。如果把这些稻谷装进一个底面直径为40米的圆柱形容器中，稻谷高多少米？解析：25.12÷3.14÷2＝4（米）×3.14×42×3＝50.24（立方米）3.14×（40÷2）2＝3.14×400＝1256（平方米）50.24÷1256＝0.04（米）答：稻谷高0.04米。【对应练习4】一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？解析：圆锥体积：50.24÷（3﹣1）＝50.24÷2＝25.12（立方厘米）高：25.12×3÷（3.14×22）＝75.36÷12.56＝6（厘米）答：圆锥的高是6厘米。【对应练习5】一个圆柱和与它等底等高的圆锥的体积之和是24平方分米。圆柱和圆锥的体积分别是多少？解析：圆锥的体积：24÷（1＋3）＝24÷4＝6（立方分米）圆柱的体积：6×3＝18（立方分米）答：圆柱的体积是18立方分米，圆锥的体积是6立方分米。【考点四】正方体与圆锥的等积转化问题。【方法点拨】等积转化问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。【典型例题】一个棱长是4dm的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少dm？解析：4×4×4×3÷12=16（dm）【对应练习1】将一个棱长为5分米的正方体铁块熔铸成底面积是60平方分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？解析：5×5×5×3÷60=6.25（分米）【对应练习2】一个正方体的体积是216立方厘米，和它底面积相等，高也相等的圆锥的体积是多少立方厘米？解析：216×＝72（立方厘米）答：圆锥的体积是72立方厘米。【对应练习3】一个正方体铁块的棱长为4厘米。如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆锥，这个圆锥的高约是多少厘米？（结果保留整数，π取3.14）解析：6÷2＝3（厘米）4×4×4÷÷（3.14×32）＝64×3÷（3.14×9）＝192÷28.26≈7（厘米）答：这个圆锥的高约是7厘米。【考点五】长方体与圆锥的等积转化问题。【方法点拨】等积转化问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。【典型例题】一个圆锥形砂堆，底面面积是12.56平方米，高是3米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米？解析：20厘米＝0.2米12.56×3×＝12.56÷2＝6.28（米）答：能铺6.28米。【对应练习1】一辆货车车厢是一个长方体，车厢里面量得长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸完沙后，堆成一个高是2米的圆锥形，圆锥底面积是多少平方米？解析：4×1.5×4×3÷2＝6×4×3÷2＝24×3÷2＝72÷2＝36（平方米）答：圆锥底面积是36平方米。【对应练习2】一个圆锥形沙堆，底面积是平方米，高是米。把这堆沙均匀地铺在一个面积平方米的沙坑里，沙坑里的沙厚多少厘米？解析：×10×1.2÷20＝×12÷20＝4÷20＝0.2（米）＝20（厘米）答：沙坑里的沙厚20厘米。【对应练习3】一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高1.2米，把这些沙子铺在一条长31.4米、宽8米的道路上，能铺多厚？解析：（m）答：能铺0.8米厚。【考点六】求不规则圆柱体的表面积。【方法点拨】求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。【典型例题】如图，一根长2米，底面周长为12.56分米的圆木，沿着它的两条半径，截去部分，该图形的表面积是多少平方分米？解析：2米=20分米底面半径：12.56÷3.14÷2=2（分米）圆柱两个底面积之和：3.14×22×2=25.12（平方分米）圆柱侧面积：12.56×20=251.2（平方分米）截去后的表面积：（25.12+251.2）×（1-14）=207.24（dm2）207.24+2×20×2=287.24（平方分米）答：该图形的表面积是287.24平方分米。【对应练习1】如图，是一个圆柱体沿着底面直径切割剩下的部分，求该图形的表面积。（单位：cm）解析：原来圆柱的表面积：3.14×（6÷2）2×2+3.14×6×8=56.52+150.72=207.24（平方厘米）切割一半后的表面积：207.24×12103.62+6×8=151.62（平方厘米）答：该图形的表面积是151.62平方厘米。【对应练习2】从下面这根长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，求剩余木料的表面积。解析：上面表面积：3.14×6×10÷2＝18.84×10÷2＝188.4÷2＝94.2（平方厘米）前后面的面积：[6×4－3.14×（6÷2）2÷2]×2＝[24－3.14×9÷2]×2＝[24－28.26÷2]×2＝[24－14.13]×2＝9.87×2＝19.74（平方厘米）左右面积：10×4×2＝40×2＝80（平方厘米）下面：6×10＝60（平方厘米）94.2＋19.74＋80＋60＝113.92＋80＋60＝193.92＋60＝253.92（平方厘米）答：剩余木料的表面积是253.92平方厘米。【对应练习3】如图是一个圆柱体从中间劈开后得到的图形，这个图形的表面积是多少？（单位：cm）解析：由图可得，圆柱体底面积直径为8cm，高为16cm，原圆柱体的表面积为：（cm2）故劈开后的图形表面积为：（cm2）答：这个图形的表面积为cm2。【考点七】求组合立体图形的表面积。【方法点拨】求组合立体图形的表面积，注意分析图形是由些图形组合而成的，组成该图形的表面有哪些，是什么形状，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。【典型例题】如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为0.5分米，2分米，5分米，而高都是2分米，则这个物体的表面积是多少平方分米？解析：大圆柱的表面积：3.14×52×2+2×3.14×5×2=157+62.8=219.8（平方分米）中圆柱侧面积：2×3.14×2×2=25.12（平方分米）小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×2=6.28（平方分米）这个物体的表面积：219.8+25.12+6.28=251.2（平方分米）答：这个物体的表面积是251.2平方分米。【对应练习1】某零件如图所示，下面是一个棱长为20cm的正方体，上面是圆柱的一半。求这个零件的表面积。解析：[3.14×（20÷2）2×2＋3.14×20×20]÷2＋20×20×5＝[3.14×100×2＋1256]÷2＋2000＝[628＋1256]÷2＋2000＝1884÷2＋2000＝942＋2000＝2942（平方厘米）答：这个零件的表面积是2942平方厘米。【对应练习3】优优和妈妈在家做了一个蛋糕（如下图），优优要给这个蛋糕的表面部分涂上一层奶油（下底面不涂），涂奶油部分的面积是多少平方厘米？解析：答：涂奶油部分的面积是。【对应练习4】工人叔叔要为下面是正方体、上面是圆柱的灯柱（如图，底面不刷）刷上油漆。如果每平方米需要油漆0.3kg，那么至少需要准备多少千克的油漆？解析：5dm＝0.5m8dm＝0.8m（0.5×0.5×5＋3.14×0.5×0.8）×0.3＝0.7518（kg）答：至少需要准备0.7518kg的油漆。【考点八】求空心圆柱体的表面积。【方法点拨】空心圆柱体的表面积，一般是由外圆柱的表面积剪掉内圆柱的上下两个底面积，再加上内圆柱的侧面积组合而成的。【典型例题】如图，卫生纸的高度是10cm，中间硬纸轴的直径是4cm，制作100个这样的硬纸轴，至少需要多少平方米的硬纸皮？解析：3.14×4=12.56（厘米），长方形的宽是圆柱的高，本题中是10厘米，长方形的面积就等于圆柱侧面积，列式为：3.14×4×10=125.6（平方厘米），100个这样的硬纸轴用纸125.6×100=12560（平方厘米）12560平方厘米=1.256平方米【对应练习1】林叔叔做了一个圆柱形的灯笼（如图）。上下底面的中间分别留出了的口，他用了多少彩纸？（取3.14）解析：[3.14×（20÷2）²－78.5]×2＋3.14×20×30＝[3.14×100－78.5]×2＋1884＝[314－78.5]×2＋1884＝235.5×2＋1884＝471＋1884＝2355（平方厘米）答：他用了2355平方厘米彩纸。【对应练习2】如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？解析：3.14×（6÷2）×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5＝56.52＋188.4＋62.8＝307.72（平方厘米）答：一共要涂307.72平方厘米。【考点九】求较简单的不规则圆柱体的体积。【方法点拨】求不规则圆柱体的体积，注意分析图形，寻找底面半径和高，再根据公式求体积。【典型例题】如图，一根长1m，横截面直径为10cm的圆柱形木头浮在水面上，东东发现它正好是一半露出水面，露出水面的木头的体积是多少立方厘米？解析：1m＝100cm3.14×（10÷2）2×100÷2＝3.14×25×100÷2＝3925（立方厘米）答：露出水面的木头的体积是3925立方厘米。【对应练习1】求下面个圆柱的体积和表面积。（单位：）解析：体积：＝226.08÷4＝56.52（立方厘米）表面积：＝14.13＋48＋37.68＝99.81（平方厘米）【对应练习2】计算下面图形的和体积。半圆柱的底面直径是10cm解析：V＝15×20×30－×3.14××30＝9000-1177.5＝7822.5()【考点十】求组合立体图形的体积一。【方法点拨】求组合立体图形的体积，注意分析该图是由些立体图形组合而成的，再分别求出各图形的体积，最后相加或相减。【典型例题】工地运来了一根水泥管（如下图），管壁厚。这根水泥管用了多少立方米的水泥？解析：＝7.85－5.024＝2.826（立方米）答：这根水泥管用了的水泥。【对应练习1】求下面图形的表面积和体积。（单位：cm）解析：表面积＝大正方体的表面积＋圆柱的侧面积，10×10×6＋3.14×4×6=600+75.36＝675.36（cm2）体积＝大正方体体积－圆柱的体积10×10×10－3.14×（4÷2）2×6=1000-75.36＝924.64（cm3）。【对应练习2】如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。（1）这个零件的体积是多少立方厘米？（2）如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？解析：（1）3.14×（6÷2）×10－3.14×（4÷2）×5＝3.14×9×10－3.14×4×5＝282.6－62.8＝219.8（立方厘米）答：这个零件的体积是219.8立方厘米。（2）3.14×（6÷2）×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5＝56.52＋188.4＋62.8＝307.72（平方厘米）答：一共要涂307.72平方厘米。【对应练习3】计算出下面组合图形的表面积和体积（单位：厘米）解析：3.14×4×5+（8×5+8×4+5×4）×2=62.8+（40+32+20）×2=62.8+92×2=62.8+184=246.8（平方厘米）3.14×（4÷2）2×5+8×5×4=3.14×4×5+160=62.8+160=222.8（立方厘米）答：这个组合图形的表面积是246.8平方厘米，体积是222.8立方厘米。【对应练习4】图所示的百宝箱，上部是一个圆柱的一半，下部是一个长50cm，宽40cm，高20cm的长方体，这个百宝箱的表面积是多少？它的体积是多少？解析：50×40＋50×20×2＋40×20×2＋3.14×（40÷2）＋3.14×40×50÷2＝2000＋2000＋1600＋1256＋3140＝9996（平方厘米）50×40×20＋3.14×（40÷2）×50÷2＝40000＋3.14×400×25＝40000＋31400＝71400（立方厘米）答：这个百宝箱的表面积是多少9996cm2，