2025年高考数学一轮复习函数与导数专题讲座

一轮复习专题：函数与导数CONTENTS一二微专题：利用导数解决不等式

恒成立问题

考情分析及备考策略1.近三年全国课标卷Ⅰ考查内容分析

年份选择题填空题解答题2024年6.已知分段函数单调性求参数取值范围；8.以斐波那契数列为原型，探求函数值的大小.10.以三次函数为载体，考查极小值、函数单调性的应用.13.已知两曲线有公切线，求参数的值18.导数与函数的单调性，函数图像的对称性及不等式恒成立问题.2023年4.复合函数的单调性，利用单调区间求参数值或范围.10.对数的运算性质及模型的应用，对数函数的单调性.11.函数奇偶性的定义与判断，函数极值点的辨析.19.用导数研究不等式恒成立，求函数的单调区间（含参）22.由导数求函数的最值（不含参），解析几何的综合问题.2022年7.比较指、对数的大小，用导数求单调性.10.求切线方程，利用导数研究函数的零点，求极值点.12.抽象函数奇偶性，函数的对称性，函数与导数间的关系.15.求过一点的切线方程，求某点处的导数值22.利用导数求根，由导数求最值（含参），数列综合问题（一）、考情分析2.命题特点

（1）题型布局稳定：一大四小，分值在35分左右；

（2）命题方向明确：以新课标为依据，核心素养为导向，知识与能力并重，基础性与综合性兼顾，考查学生灵活应用知识的能力。

（3）考查内容清晰：选填题一般以基本初等函数为载体，综合考查函数的性质与应用。抽象函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性，以及具体函数的单调性均是常考考点，常常以比较大小、求值、恒成立、零点问题、切线问题命题，主要考查主干知识。同时函数与导数常与其他知识相交汇考查，如三角函数、立体几何、解析几何等，题目难度一般中等或偏难，突出了应用性、综合性。解答题主要以导数为工具，以零点、恒成立、证明不等式等方面命题，解决方法大多都是构造函数、利用函数单调性、极值、最值，突出转化与化归、数形结合、分类讨论的思想方法，同时函数与导数常与其他知识相交汇考查，如三角函数、解析几何、数列等，具有很强的应用性、综合性、创新性。

（二）学情分析及突破策略

1、学情分析：函数与导数知识内容常以中难档题出现，对学生的能力要求较高，平时很多学生有畏难心理，尤其是小题压轴题及大题压轴题第二问，很多学生直接放弃作答。而就目前高考命题趋势看，加强了对函数与导数基本知识的考查，增加了与其他主干知识的综合问题的考查，在原有深度基础上扩展了宽度，对大部分学生来说比以往更容易得分，得分提升空间较大。

2、突破策略

：

回归课本,夯实基础,注重通法

分析题型,及时纠错,加强反思

总结方法,积累经验,形成能力

注意层次,把握标高,强化训练

明晰差异,看透本质,培养思想（三）复习备考建议

1.强化对函数概念的复习对函数概念的复习要“恰到好处”，求函数的解析式，定义域，值域，一般出现在客观题中，属于中、低档题，因此复习时不宜拓展。

2.突出对函数的性质的复习对基本初等函数与函数性质的复习要全面而突出重点，并注重横向联系。历年来高考中考查对函数知识的应用，既着眼于知识点的新颖巧妙组合，又关注对数学思想方法的考查。试题多数围绕函数的概念，性质，图象等方面命题。围绕二次函数，分段函数，指、对数函数等几个基本函数来进行，故在复习中，应该全面夯实基础，突出对上面所讲重点内容的复习。（单、奇偶、周期、对称、最值）3．加强对各种题型的总结、梳理导数问题的几种常见题型为：求曲线的切线、求函数的单调区间、求函数值域（或最值）、以及通过直接对参数讨论的方法或分离变量的方法把恒成立、存在性的问题转化为上述问题．在复习中应加强对各种题型的总结、梳理．4.关注“创新题”对“创新题”关键在阅读理解。如果题目条件的涵义搞清楚了，这些题问题其实会十分简单。要重视合情推理及类别迁移能力的提升。5.重视数学思想方法的训练在历年函数的高考试题中，很多试题如果应用数形结合思想求解将是十分简捷的。因此，几种重要的数学思想方法(数形结合，函数与方程思想，分类讨论，转化与化归思想，特殊与一般)在本专题复习中表现在与其他模块知识的综合解答中，故一定要加以重视。加强运算，猜想与估算。6.养成认真审题的好习惯，深入分析，弄清题意；积累解题方法，注意特殊点，特殊值，特殊函数

学生动手画图，基本初等函数的图像，导数中常见函数的图像

7、提高学生得分能力

一轮复习多做简易题目、可操作题目，讲究循序渐进。导数解答题目难度大，一轮复习时大多数同学尽量将重心放在基本题型上，讨论函数单调性，求函数极值和最值，导数几何意义等，多做带参数但思路比较好找的中低档题目，尽量少做难度大的题目。

8.加大高等数学思想的渗透（尖优生）

导数微积分本身就属于高等数学的范畴，所以它的一切轨迹都离不开高等数学的基本方法、基本思想和常见结论。只不过是由于高中阶段学习的内容较少有很多超纲的内容而已。很多内容看似超纲，但并不妨碍命题人员在此做文章，与其说有意做文章，不如说是想绕开也是很难干净绕开的。诸如：

极限、洛必达法则、泰勒展式、中值定理、函数的凹凸性、拐点等等。例如：分离参数常伴随洛必达法则、找特值点常运用极限的思想方法。1.切线不等式、对数均值不等式的应用及其变形本身就是高等数学的内容。2.洛必达法则的使用，特别是分离参数常伴随洛必达法则。3.常见函数的泰勒展开式为命题提供了广泛的素材。4.零点存在定理中寻找特殊点的基本方法极限思想、常用不等式的放缩5.中值定理尽管在考试中不能使用，但这并不妨碍命题人员对此情有独钟。为什么，一是高观点，二是熟悉化原则。这就是我对这部分一轮复习的思路，不当之处，敬请指教！第一步第二步第三步第四步专题引入典例探究方法归纳反思巩固第Ⅱ部分微专题：利用导数解决不等式恒成立问题

2024年高考一年两考专题引入【2024全国I卷T18】【2024全国甲卷T21】团风中学数学检测卷（七）黄冈市2024年高三9月调研考试数学卷

问题：如何突破？——利用导数解决不等式恒成立问题热点难点重点典例探究【2024全国甲卷T21】设计意图：以2024年全国甲卷21题为例，通过本题探究利用导数解决不等式恒成立问题的一般思路，归纳总结基本的解题方法。重点：运用基本方法解决含参不等式恒成立问题.难点：学会对知识进行整理、对方法进行总结，提高分析问题和解决问题的能力.思路一：对参数进行分类讨论，利用导数求函数最值.介绍三种参数分类讨论的方法：设计意图：整理出三种分类讨论的方法，引导学生如何分类讨论.1、二次求导后对参数分类讨论，求一次导数的单调性和最值，结合f’(0)=0和f(0)=0，求函数的最小值。2、考虑参数的符号直接分类讨论，构建函数，判断是否满足条件。3、一次求导后依据导函数符号对参数分类讨论，求函数的最值。三种参数分类方法角度不同，但都能解决问题，值得借鉴。法二、法三、

设计意图：1、让学生熟悉端点效应解题的一般思路，掌握具体的解题步骤。2、介绍两种证明必要性的方法:(1).在参数的取值范围，直接证明函数的单调性。(2).利用参数取值范围放缩消参，再证明函数的单调性。思路二：利用端点效应，必要性探路，先猜后证.思路三：参变分离，构造函数，转化为求最值问题.方法拓展：放缩法归纳总结：分离参数求函数最值，常常用到极限思想和洛必达法则。函数放缩常用到泰勒展开，帕德逼近等高等数学的思想。

数形结合，利用切线放缩也是不错的解题方法。设计意图：1、熟悉参变分离的一般解题思路.2、渗透高数思想，拓展学生的解题思维.

方法归纳方法一分离参数法方法二分类讨论法规律方法：根据不等式恒成立求参数范围,一般是将问题转化为最值问题，此类问题关键是如何对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，如要证明不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意.设计意图：引导学生选择不同角度对参数进行分类讨论。方法三端点效应（先猜后证，必要性探路）设计意图：理解端点效应的思想方法，掌握解题的基本步骤，学会证明技巧.解题思路:端点值代入获得临界条件,确定参数范围，再证明满足一般情况.审题指导:将不等式化为g(x)<0,然后借助g(x)在区间端点处的函数值g(0)=0以及其单调性应满足的条件来推断g'(x)满足的条件应为a≤0,然后再证明满足一般情况.反馈训练：设计意图：1、用学生易错困难的题目及时训练，反馈教学效果，克服畏难心理。2、引导学生一题多解，比较分析，归纳总结，寻求解题的最优方法，提高得分能力。总结反思：

1.本专题通过对一道高考题为例进行探究，归纳出三种基本解题方法：方法一

分离参数法：参变分离，转化成求（不含参）最值的问题。方法二

分类讨论法：在求最值时，对参数分类讨论，确定参数范围。方法三

端点效应法：利用端点特征猜参数范围，再进行必要性证明。2.四个数学核心素养：数学抽象

数学建模

直观想象

数学运算

3.回归教材，重视基础，在解题时，特别注意特殊值，特殊点和特

殊函数，提高计算能力；学会作图象，数形结合帮助理解。4.加强题型的归纳总结，重视思想方法的训练，积累经验，形成能力。注重层次，适度拔高，渗透高数思想，发散思维，激发学生学习的内驱力，提高解题能力。巩固训练目录一、一轮复习学情二、近三年全国卷考情三、一轮复习规划

基础知识方面

对于直线的斜率、截距、点斜式、斜截式、两点式、一般式等方程形式有了一定的理解和运用能力；能根据圆的标准方程和一般方程确定圆心和半径，并解决一些与圆相关的简单问题；对圆锥曲线的定义能够进行基本的表述，也能记住它们的标准方程和一些常见的几何性质，如椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率，双曲线的实轴、虚轴、焦距、离心率以及渐近线，抛物线的焦点、准线等。

对圆锥曲线的定义理解不够深入，往往只是机械地记住定义的文字表述，而在实际解题中不能灵活运用定义来简化问题的求解过程。

对于一些几何性质的推导过程和内在联系缺乏深入理解，只是死记硬背结论，导致在解决综合性问题时无法灵活运用。

技能水平方面

运算能力方面：解析几何涉及大量的代数运算，包括方程的化简、求解，参数的计算等。学生在这方面的运算能力普遍有待提高。在进行复杂的式子运算时，容易出现计算错误，如符号弄错、因式分解不完全、分式通分约分错误等。而且在计算过程中，缺乏一定的技巧和策略。

逻辑推理能力：在解析几何问题的解决过程中，需要学生具备较强的逻辑推理能力，从已知条件出发，逐步推导得出结论。然而，部分学生在这方面存在不足，表现为推理过程不严谨，思路不清晰。对于一些综合性较强的题目，学生不能有效地将各个知识点进行整合，建立起合理的逻辑关系。

学习态度与习惯：解析几何在高中数学中属于难度较大的板块，部分学生在学习过程中可能会因为遇到困难而产生畏难情绪，对这部分知识的学习积极性不高。另一方面，有些学生对数学学习的重视程度不够，缺乏主动学习的意识和刻苦钻研的精神。较好方面不足方面

对部分基础知识有一定的理解和记忆，如曲线定义和方程结构特征；

学生存在畏难情绪，学习信心不足；

对常见题型和解题方法有一定熟悉度，如求曲线的方程，直线与曲线位置关系的判断.

大部分学生计算能力薄弱，高二学习该内容时训练度不够，常见题型方法技能归纳不够全面；

学生一般不能完成直线与圆锥曲线相交的较复杂问题的求解。解析几何部分，尤其是圆锥曲线既是重点，也是难点，总的来讲：二、近三年全国卷考情知识版块2024年2023年2022年题量分值占比题量分值占比题量分值占比解析几何2小1大2617.30%3小1大2718.00%3小1大2718.00%考查内容I卷：曲线的方程应用（T8)、双曲线离心率(T12)、椭圆离心率、直线和椭圆相交三角形面积(T16)I卷：椭圆离心率（T5)、直线和圆相切夹角（T6)、双曲线离心率（T16)、抛物线定义和弦长公式和的最值（T22)I卷：抛物线性质（T11)、圆的公切线（T14)、直线和椭圆位置关系(T16)、直线和双曲线位置关系（T21)II卷：曲线的方程(T5)、抛物线性质(T10)、双曲线性质和数列(T19)II卷：直线和椭圆相交三角形面积（T5)、抛物线定义和性质（T10)、直线和圆相交三角形面积（T15)、双曲线方程、定直线（T21)II卷：抛物线性质（T10)、直线和圆位置关系（T15)、直线和椭圆位置关系（T16)、双曲线方程、性质及直线和双曲线位置关系（T21)考察分值仅次于“函数与导数部分”;主干知识常考常新全国卷解析几何近三年考题分布概况直线与圆（选择填空基础部分）命题形式：结论开放可选择型考查知识：圆与圆的位置关系、圆的切线方程解题思路:1、准确画图，几何直观，看出x=-1;2、根据d=r,逻辑推理、数学运算考查直线与圆，与三角恒等变换知识交汇，体现了高考解析几何试题命题注重综合的特点，在运算环节同构处理，突出整体运算，具有灵活性。考查内容：直线与圆的位置关系、同角三角函数的基本关系、点到直线的距离公式考查内容：直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式直线与圆（选择填空基础部分）补充9月联考中对圆的考察：OABC

44N考查内容：平面的向量线性运算、数量积定义、圆的定义与圆的切线，具有综合性。试题来源：课本P108例2考查内容：轨迹方程、椭圆方程特征圆锥曲线（选择填空基础部分）通过双曲线的定义和基本性质，有效减少计算量，节省考试时间。考查内容：双曲线的定义、几何性质圆锥曲线（选择填空基础部分）作为选择题，根据图象和比值特征，可以确定m为负值，再代入验证也行。考查内容：直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式、三角形的面积公式考查内容：抛物线的方程及几何性质、直线与抛物线的位置关系圆锥曲线（选择填空基础部分）考查内容：平面向量、双曲线的定义和几何性质、余弦定理的推论圆锥曲线（选择填空中档部分）作为圆锥曲线中档题，以多选题考查居多。考查内容：抛物线的方程、直线与圆的位置关系。本题选项D解法灵活，可以运用抛物线定义有效转化，也可以设点直接求解运算，转化为一元二次方程有两解的问题。考查内容：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系圆锥曲线（选择填空中档部分）考查内容：直线与抛物线的位置关系、点差法的应用圆锥曲线（选择填空较难部分）考查内容：抛物线的定义及几何性质、斜率公式、余弦定理的推论考查内容：椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系本题考查曲线与方程，对考生的阅读理解、数学抽象、逻辑推理、数形结合思想的运用要求较高，其中，选项D难度较大，需要构建函数、运用函数思想求解。圆锥曲线（选择填空较难部分）圆锥曲线（解答题基础部分）第2问解题思路宽广：A、B、P均可作顶点。考查内容：椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式、三角形面积公式。考查形式与2023年II卷第5题类似。考查内容：双曲线的方程及几何性质、直线与双曲线的位置关系考查形式与2022全国I卷21题类似，难度略低。圆锥曲线（解答题基础部分）圆锥曲线（解答题中档部分）考查内容：双曲线的方程及几何性质、直线与双曲线的位置关系圆锥曲线（解答题较难部分）考查内容：双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系、三角形面积公式考查内容：直线与双曲线的位置关系、等比数列的定义与通项公式。体现知识模块交叉创新，需优化计算，灵活整合，要求较高。三、一轮复习规划

复习目标

知识巩固

系统梳理所有知识点，尤其是定义和方程及简单几何性质，对每个

知识点深入理解。基础夯实

提升计算能力，减少因计算失误导致丢分；通过训练，掌握常见

题型的解题办法。能力提升

培养分析和解决问题的能力，学会提取关键信息，确定解题思路，

选择合适的方法进行求解。

习惯养成

建立良好学习习惯，如认真审题，规范答题，及时纠错等。

重点、难点、热点

直线与方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直.(4)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式(点斜式、两点式及一般式).(5)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.(6)探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.

圆与方程(1)回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

圆锥曲线与方程(1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.(3)了解抛物线与双曲线定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.(4)通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.(5)了解椭圆、抛物线的简单应用.

重点、难点、热点

常考题型与方法

直线和圆

直线和圆

常考题型与方法

圆锥曲线--曲线的方程

常考题型与方法

求曲线的方程方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹(2)待定系数法：“先定型，再定量”

圆锥曲线--离心率

常考题型与方法

圆锥曲线--渐近线

常考题型与方法

直线和圆锥曲线相交

弦长公式，与圆锥曲线定义结合求解

常考题型与方法

直线和圆锥曲线相交

常考题型与方法

圆锥曲线--求值与证明问题

常考题型与方法

圆锥曲线--求值与证明问题

常考题型与方法

圆锥曲线--范围与最值问题

常考题型与方法

圆锥曲线--范围与最值问题

常考题型与方法

圆锥曲线--定点和定值问题

常考题型与方法

圆锥曲线--定点和定值问题

常考题型与方法

基础知识巩固

①直线方程:掌握直线的各种形式方程，如点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式;理解直线的斜率和倾斜角的概念及关系，能够根据已知条件求出直线的斜率和倾斜角;明确两直线平行与垂直的条件，会判断两直线的位置关系。

②圆的方程:熟悉圆的标准方程和一般方程，能根据不同条件确定圆的方程;掌握圆心坐标和半径的求法，理解圆的一般方程与标准方程之间的转化;了解点与圆的位置关系的判断方法。

③椭圆:掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质;明确椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率等概念，以及它们之间的关系;能根据椭圆的标准方程求出焦点坐标、顶点坐标、离心率等;熟悉椭圆的参数方程，并掌握其应用。

④双曲线:理解双曲线的定义、标准方程和几何性质。区分双曲线的实轴、虚轴、焦距、离心率等概念，以及它们与椭圆的不同之处;会根据双曲线的标准方程确定焦点位置、顶点坐标、渐近线方程等;了解等轴双曲线的特点。

⑤抛物线:掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质;明确抛物线的焦点、准线、对称轴等概念;能根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程;熟悉抛物线的焦半径公式和焦点弦性质。

复习方向

题型专项突破

①直线与圆的位置关系:会用几何法（圆心到直线的距离与半径比较）和代数法（联立直线与圆的方程，判断方程组的解的情况）判断直线与圆的位置关系。对于直线与圆相切的情况，要能求出切线方程；对于直线与圆相交的情况，要会求弦长。

②圆与圆的位置关系:掌握判断圆与圆位置关系的方法，通过比较两圆的圆心距与两圆半径之和、之差的大小来确定.能根据圆与圆的位置关系求解相关参数的值或范围。

③直线与圆的综合应用:结合直线方程和圆的方程解决实际问题，如求最值问题、轨迹问题等。与其他知识板块（如函数、不等式、向量等）相结合，提高综合解题能力。

④求圆锥曲线的方程:已知条件中给出圆锥曲线的几何性质，求其标准方程。根据动点满足的条件，利用定义法求圆锥曲线的方程。通过相关点法、参数法等求圆锥曲线的方程。

⑤圆锥曲线的性质问题:考查离心率的求解，可结合定义、几何关系等进行分析。讨论圆锥曲线的对称性、范围、顶点等性质。研究圆锥曲线的焦点三角形问题。

⑥直线与圆锥曲线的位置关系:判定直线与圆锥曲线的交点情况，可通过联立方程，利用判别式来判断。求解弦长问题，可利用弦长公式进行计算。涉及中点弦问题，可采用点差法求解。有关圆锥曲线中的最值、范围问题，常结合函数、不等