课标专用5年高考3年模拟A版2021高考数学专题十一概率与统计5变量间的相关关系统计案例试题理

PAGEPAGE16变量间的相关关系、统计案例探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点1.变量间的相关关系(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图相识变量间的相关关系.(2)了解最小二乘法的思想,能依据给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程2024课标Ⅱ,18,12分利用回来方程进行预料折线图★★☆2024课标Ⅲ,18,12分求线性回来方程和预料值折线图2024课标Ⅰ,19,12分求线性回来方程和预料值函数最值2.独立性检验了解一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简洁应用.(2)了解回来分析的基本思想、方法及其简洁应用2024课标Ⅲ,18,12分独立性检验茎叶图2024课标Ⅱ,18,12分独立性检验频率分布直方图分析解读对于回来分析,高考考查较多,主要考查求线性回来方程、利用回来方程进行预料,一般以解答题的形式出现,难度中等,有时也会以小题的形式考查变量间的相关关系;对于独立性检验,一般以解答题的一问进行考查,常与概率学问交汇命题.考查学生的数据分析实力、逻辑推理实力.破考点练考向【考点集训】考点一变量间的相关关系1.(2024安徽马鞍山二模,4)在一组样本数据(x1,y1)、(x2,y2)、……、(xn,yn)(n≥2,x1、x2、…、xn互不相等)的散点图中,若全部样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-2x+100上,则这组样本数据的样本相关系数为()A.-1 B.0 C.12答案A2.(2024湖南张家界三模,4)已知变量x,y之间的线性回来方程为y^=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误x681012y6m32A.变量x,y之间呈负相关关系 B.可以预料,当x=20时,y^C.m=4 D.该回来直线必过点(9,4)答案C考点二独立性检验1.(2024广东湛江高考测试(二),5)有人认为在机动车驾驶技术上,男性优于女性.这是真的吗?某社会调查机构与交警合作随机统计了常常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事务发生,得到下面的列联表:男女合计无403575有151025合计5545100附:K2=nP(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706据此表,可得()A.认为机动车驾驶技术与性别有关的牢靠性不足50%B.认为机动车驾驶技术与性别有关的牢靠性超过50%C.认为机动车驾驶技术与性别有关的牢靠性不足60%D.认为机动车驾驶技术与性别有关的牢靠性超过60%答案A2.(2024辽宁丹东期末教学质量监测,7)某校为了探讨学生的性别和对待某一活动的看法(支持与不支持)的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=6.705,则所得到的统计学结论是:有的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”.()

附:P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A.99.9% B.99% C.1% D.0.1%答案C炼技法提实力【方法集训】方法1回来直线方程的求解与运用1.(2024湖北七市(州)教科研协作体3月模拟,3)为了规定工时定额,须要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,得到5组数据:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),依据收集到的数据可知x1+x2+x3+x4+x5=100,由最小二乘法求得回来直线方程为y^=0.67x+54.8,则y1+y2+y3+y4+y5A.68.2 B.341 C.355 D.366.2答案B2.(2024河北石家庄二模,18)随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的宠爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站2024年1~8月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的详细数据:月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5(1)依据数据可知y与x具有线性相关关系,请建立y关于x的回来方程y^=b^x+(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年,特制订嘉奖制度:用Z(单位:件)表示日销量,若Z∈[1800,2000),则每位员工每日嘉奖100元;若Z∈[2000,2100),则每位员工每日嘉奖150元;若Z∈[2100,+∞),则每位员工每日嘉奖200元.现已知该网站6月份日销量Z听从正态分布N(2000,10000),请你计算某位员工当月嘉奖金额总数大约为多少元.(当月嘉奖金额总数精确到百分位)参考数据:∑i=18xiyi=338.5,∑i=1参考公式:①对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回来方程y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n②若随机变量Z听从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9545.解析(1)由题意可知x=18×(2+3+6+10+13+21+15+18)=11,y=1∴b^=∑i=18xa^=y-b^x=3-0.22×11=0.58,∴y关于x的回来(2)∵该网站6月份日销量Z听从正态分布N(2000,10000),∴P(1800≤Z<2000)=0.P(2000≤Z<2100)=0.P(Z≥2100)=0.5-0.34135=0.15865,∴该员工当月的嘉奖金额总数为(0.47725×100+0.34135×150+0.15865×200)×30≈3919.73(元).方法2独立性检验(2025届广西玉林其次次月考,18)某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成果将由高考成果和学业水平考试成果共同构成.该省教化厅为了解正在读中学的学生家长对高考改革方案所持的看法,随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成看法.下图是依据样本的调查结果绘制的等高条形图.P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879K2=n((1)依据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表,并推断能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”;赞成不赞成合计城镇居民农村居民合计(2)用样本的频率估计概率,若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3人,记这3位家长中是城镇户口的人数为X,试求X的分布列及数学期望E(X).解析(1)完成2×2列联表如下:赞成不赞成合计城镇居民301545农村居民451055合计7525100(2分)K2=100×(∴没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”.(5分)(2)用样本的频率估计概率,随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6,抽中农村户口家长的概率为0.4,(6分)X的可能取值为0,1,2,3.(7分)P(X=0)=0.43=0.064,P(X=1)=C31×0.6×0.4P(X=2)=C32×0.6P(X=3)=C33×0.6∴X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216(10分)∴E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8.(12分)【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一变量间的相关关系1.(2024课标Ⅱ,18,12分)下图是某地区2000年至2024年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预料该地区2024年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回来模型.依据2000年至2024年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y^=-30.4+13.5t;依据2010年至2024年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y(1)分别利用这两个模型,求该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值;(2)你认为用哪个模型得到的预料值更牢靠?并说明理由.解析(1)利用模型①,该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为y^利用模型②,该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为y^(2)利用模型②得到的预料值更牢靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2024年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2024年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的改变趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2024年的数据对应的点位于一条直线的旁边,这说明从2010年起先环境基础设施投资额的改变规律呈线性增长趋势,利用2010年至2024年的数据建立的线性模型y^=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的改变趋势,因此利用模型②得到的预料值更牢靠(ii)从计算结果看,相对于2024年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预料值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预料值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预料值更牢靠.以上给出了2种理由,考生答出其中随意一种或其他合理理由均可得分.方法总结利用直线方程进行预料是对总体的估计,此估计值不是精确值;利用回来方程进行预料(把自变量代入回来直线方程)是对因变量的估计,此时,须要留意自变量的取值范围.2.(2024课标Ⅰ,19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费,需了解年宣扬费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣扬费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑i=18(xi-∑i=18(wi-∑i=18(xi-x)(yi∑i=18(wi-w)(yi46.65636.8289.81.61469108.8表中(1)依据散点图推断,y=a+bx与y=c+dx哪一个相宜作为年销售量y关于年宣扬费x的回来方程类型?(给出推断即可,不必说明理由)(2)依据(1)的推断结果及表中数据,建立y关于x的回来方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.依据(2)的结果回答下列问题:(i)年宣扬费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣扬费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回来直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n(ui解析(1)由散点图可以推断,y=c+dx相宜作为年销售量y关于年宣扬费x的回来方程类型.(2分)(2)令w=x,先建立y关于w的线性回来方程.由于d^=∑i=1c^=y-d所以y关于w的线性回来方程为y^=100.6+68w,因此y关于x的回来方程为y^=100.6+68(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值y^=100.6+6849年利润z的预报值z^(ii)依据(2)的结果知,年利润z的预报值z^=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x所以当x=13.即x=46.24时,z^故年宣扬费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)思路分析(1)依据散点图中点的分布趋势进行推断.(2)先设中间量w=x,建立y关于w的线性回来方程,进而得y关于x的回来方程.(3)(i)将x=49代入回来方程求出y的预报值,进而得z的预报值,(ii)求出z关于x的回来方程,进而利用函数方法求最大值.考点二独立性检验1.(2024课标Ⅲ,18,12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,其次组工人用其次种生产方式.依据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)依据茎叶图推断哪种生产方式的效率更高,并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式其次种生产方式(3)依据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)其次种生产方式的效率更高.理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用其次种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此其次种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此其次种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用其次种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此其次种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用其次种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此其次种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中随意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m=79+812列联表如下:超过m不超过m第一种生产方式155其次种生产方式515(3)由于K2=40×(思路分析(1)依据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎,作出推断;(2)通过茎叶图确定数据的中位数,按要求完成2×2列联表;(3)依据(2)中的列联表,将有关数据代入公式计算得K2的值,查表作出统计推断.解后反思独立性检验问题的常见类型及解题策略(1)已知分类变量的数据,推断两个分类变量的相关性,可依据数据及公式计算K2,然后作出推断;(2)独立性检验与概率统计的综合问题,关键是依据独立性检验的一般步骤,作出推断,再依据概率统计的相关学问求解.2.(2024课标Ⅱ,18,12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并依据列联表推断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)依据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附:P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828,K2=n(解析(1)记B表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事务“新养殖法的箱产量不低于50kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估计值为0.66.因此,事务A的概率估计值为0.62×0.66=0.4092.(2)依据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2=200×(由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.解后反思解独立性检验问题的关注点:(1)两个明确:①明确两类主体;②明确探讨的两个问题.(2)两个关键:①精确画出2×2列联表;②精确理解K2.B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2024山东,5,5分)为了探讨某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,依据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回来直线方程为y^=b^x+a^.已知∑i=110xi=225,A.160 B.163 C.166 D.170答案C2.(2024福建,4,5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8依据上表可得回来直线方程y^=b^x+a^,其中b^=0.76,a^据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元答案BC组老师专用题组1.(2024课标Ⅲ,18,12分)下图是我国2008年至2024年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(1)由折线图看出,可用线性回来模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回来方程(系数精确到0.01),预料2024年我国生活垃圾无害化处理量.附:参考数据:∑i=17yi=9.32,∑i=17tiy参考公式:相关系数r=∑i回来方程y^=a^+b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=∑i=1n解析(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t=4,∑i=17(ti-t)2∑i=17(ti-t)(yi-y)=∑i=17tiyr≈2.因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回来模型拟合y与t的关系.(6分)(2)由y=9.327≈1.331及(1)得b^=a^=y-b所以,y关于t的回来方程为y^将2024年对应的t=9代入回来方程得y^所以预料2024年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)2.(2024课标Ⅱ,19,12分,0.311)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回来方程;(2)利用(1)中的回来方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的改变状况,并预料该地区2024年农村居民家庭人均纯收入.附:回来直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b^=∑i=1n(ti解析(1)由所给数据计算得t=17y=17∑i=17(ti-t∑i=17(ti-t)(yib^=∑i=1a^=y-b所求回来方程为y^(2)由(1)知,b^将2024年的年份代号t=9代入(1)中的回来方程,得y^故预料该地区2024年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.易错警示解题时简洁出现计算错误,计算时肯定要细致.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2025届四川天府名校第一轮联合测评,6)依据最小二乘法,由一组样本点(xi,yi)(其中i=1,2,…,300)求得的回来方程是y^=b^x+A.至少有一个样本点落在回来直线y^=b^x+B.若全部样本点都在回来直线y^=b^x+C.对全部的说明变量xi(i=1,2,…,300),b^xi+a^的值肯定与yD.若回来直线y^=b^x+a^答案D2.(2024山东第一次大联考,6)相关变量X,Y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:依据图中全部数据,得到线性回来方程y^=b^1x+a^1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),依据剩下数据得到线性回来直线方程:y=bA.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1C.-1<r1<r2<0 D.-1<r2<r1<0答案D3.(2024江西南昌一模,10)已知具有线性相关的五个样本点A1(0,0),A2(2,2),A3(3,2),A4(4,2),A5(6,4),用最小二乘法得到回来直线方程l1:y^=b^x+a^,过点A1,A2①m>b^,a^>n;②直线l1过点A3;③∑i=15(yi-b^xi-a^)2≥∑i=15(yi-mxi-n)2;④∑i=15|yi参考公式:b^=∑正确的命题有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案B二、填空题(共5分)4.(2024湖南师大附中月考(三),14)在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为全球性的威逼,为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:感染未感染总计服用疫苗104050未服用疫苗203050总计3070100参照附表,在犯错误的概率不超过(填百分比)的前提下,可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”.

参考公式:K2=n(附表:P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案5%三、解答题(共35分)5.(2025届山西大同开学学情调研,19)学校为了对老师教学水平和老师管理水平进行评价,从该校学生中选出300人进行统计.其中对老师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%,对老师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%,其中对老师教学水平和老师管理水平都给出好评的有120人.(1)填写老师教学水平和老师管理水平评价的2×2列联表:对老师管理水平好评对老师管理水平不满足合计对老师教学水平好评对老师教学水平不满足合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为老师教学水平好评与老师管理水平好评有关?(2)若将频率视为概率,有4人参加了此次评价,设对老师教学水平和老师管理水平均给出好评的人数为随机变量X.①求对老师教学水平和老师管理水平均给出好评的人数X的分布列(概率用组合数算式表示);②求X的数学期望和方差.附:P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad-解析(1)由题意可得关于老师教学水平和老师管理水平评价的2×2列联表:对老师管理水平好评对老师管理水平不满足合计对老师教学水平好评12060180对老师教学水平不满足10515120合计22575300由表中数据可得K2=300×(120×15-60×105)(2)①对老师教学水平和老师管理水平均给出好评的概率为25P(X=0)=35P(X=1)=C412P(X=2)=C422P(X=3)=C432P(X=4)=25所以X的分布列为X01234P3C41C42C432②由于X~B4,25,则E(X)=4×25=85,D(X)=4×2名师点睛求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的全部可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算,对于二项分布的均值和方差依据公式干脆计算即可.6.(2024河南名校联盟尖子生第六次联合调研,19)随着智能手机的普及,手机计步软件快速流行开来,这类软件能自动记载每个人每日健步的步数,从而为科学健身供应肯定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的状况,从本市市民中随机抽取了2000名市民(其中不超过40岁的市民恰好有1000名),利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数,并将样本数据分为[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组(单位:千步),将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如图:将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下,并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.分组(单位:千步)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]频数102020304