2024-2025学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.2导数及其几何意义课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE十四导数及其几何意义(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t3-2表示,则此物体在t=1s时的瞬时速度(单位:m/s)为 ()A.1 B.3 C.-1 【解析】选B.Δs=(1+Δt)3-2-1=1+3Δt+3(Δt)2+(Δt)3-2-1=3Δt+3(Δt)2+(Δt)3,QUOTE=3+3Δt+(Δt)2,QUOTE=3.所以t=1s时的瞬时速度为3m/s.2.若y=f(x)=x3,f′(x0)=3,则x0的值是 ()A.1 B.-1 C.±1 D.3QUOTE【解析】选C.因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-QUOTE=3QUOTEΔx+3x0(Δx)2+(Δx)3,所以QUOTE=3QUOTE+3x0Δx+(Δx)2,所以f′(x0)=QUOTE[3QUOTE+3x0Δx+(Δx)2]=3QUOTE,由f′(x0)=3,得3QUOTE=3,所以x0=±1.3.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为 ()A.1 B.QUOTE C.-QUOTE D.-1【解析】选A.因为y′=QUOTE=QUOTE(2a+aΔx)=2a.所以2a=2,a=1.4.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数y=f′(x)的图像可能是 ()【解析】选B.由y=f(x)的图像及导数的几何意义可知,当x<0时,f′(x)>0,当x=0时,f′(x)=0,当x>0时,f′(x)<0,故B符合.二、填空题(每小题5分,共10分)5.曲线y=f(x)=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为________.

【解析】设切点坐标为(x0,y0),f′(x0)=QUOTE=QUOTE=2x0-3=1,故x0=2,y0=QUOTE-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)6.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为________.

【解析】设在P点处切线斜率为k,k=y′|x=-2=QUOTE=-5,所以切线方程为y=-5x,所以点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10,将P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)7.若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,点P处的切线方程与直线y=4x-5平行,设P(x0,y0),则y′=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE(8x+4Δx)=8x,由QUOTE得QUOTE故所求的点P的坐标为QUOTE.8.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.【解析】(1)y′==QUOTE=QUOTE(2x+Δx+1)=2x+1.y′|x=1=2×1+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=-QUOTE,b=-QUOTE.所以直线l2的方程为y=-QUOTEx-QUOTE.(2)解方程组QUOTE得QUOTE所以直线l1和l2的交点坐标为QUOTE.l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),QUOTE.所以所求三角形的面积S=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.函数f(x)=x-x3-1的图像在点(1,-1)处的切线与直线4x+ay+3=0垂直,则a= ()A.8 B.-8 C.2 【解析】选B.由导函数的定义可得函数f(x)的导数为f′(x)=1-3x2,所以f′(1)=-2,所以在点(1,-1)处的切线的斜率为-2,所以直线4x+ay+3=0的斜率为QUOTE,所以-QUOTE=QUOTE,所以a=-8.2.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为 ()A.(1,0) B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4)【解析】选C.f′(x)==QUOTE=3x2+1.由于曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0,y0),则有f′(x0)=3QUOTE+1=4,解得x0=±1,P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).3.已知函数f(x)=x2+2bx的图像在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列QUOTE的前n项和为Sn,则S2017的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值,依据f(n)的解析式,用裂项法求得数列QUOTE的前n项和Sn的值,可得S2017的值.【解析】选B.由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图像在点A(0,0)处的切线l的斜率k=QUOTE=2b,再依据l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所以b=QUOTE.因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以QUOTE=QUOTE-QUOTE,故数列QUOTE的前n项和为Sn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1-QUOTE,所以S2017=1-QUOTE=QUOTE.4.(多选题)下面说法错误的是 ()A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在【解析】选ABD.f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,当切线垂直于x轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.二、填空题(每小题5分,共20分)5.函数f(x)=QUOTE在x=1处的导数f′(1)=________.

【解析】由导数的定义知,函数在x=1处的导数f′(1)=QUOTE,而QUOTE=QUOTE=QUOTE,又QUOTE=QUOTE,所以f′(1)=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于随意实数x,有f(x)≥0,则QUOTE的最小值为________.

【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出QUOTE的表达式,再利用“对于随意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的学问即可求解.【解析】由导数的定义,得f′(0)=QUOTE=QUOTE=QUOTE[a·(Δx)+b]=b.又因为对于随意实数x,有f(x)≥0,则QUOTE所以ac≥QUOTE,所以c>0.所以QUOTE=QUOTE≥QUOTE≥QUOTE=2(当且仅当a=c=QUOTEb时,取等号).答案:26.已知二次函数y=f(x)的图像如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为:f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”).

【解析】f′(a)与f′(b)分别表示函数图像在点A,B处的切线斜率,故f′(a)>f′(b).答案:>7.如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9,P点的横坐标是4,则f(4)+f′(4)=________.

【解析】由题意,f′(4)=-2,f(4)=-2×4+9=1.因此,f(4)+f′(4)=-2+1=-1.答案:-18.已知曲线y=f(x)=QUOTE上两点P(2,-1),QQUOTE.则曲线在点P,Q处的切线的斜率分别为________;

曲线在P,Q处的切线方程分别为________.

【解析】将点P(2,-1)代入y=QUOTE,得t=1,所以y=QUOTE.y′=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x=2=QUOTE=1;曲线在点Q处的切线斜率为y′|x=-1=QUOTE.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即:x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-QUOTE=QUOTE[x-(-1)],即:x-4y+3=0.答案:1,QUOTEx-y-3=0,x-4y+3=0三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】由QUOTE=QUOTE=2x+Δx,得y′=QUOTE=QUOTE(2x+Δx)=2x.设切点为P(x0,y0),则切线斜率为k=y′QUOTE=2x0,由点斜式得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).又因为切线过点(1,a),且y0=QUOTE+1,所以a-(QUOTE+1)=2x0(1-x0),即QUOTE-2x0+a-1=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是(-∞,2).10.(1)求曲线f(x)=QUOTE在点(-2,-1)处的切线方程;(2)求经过点(2,0)且与曲线y=QUOTE相切的直线方程.【解析】(1)因为曲线在点(-2,-1)处的切线的斜率就等于函数f(x)=QUOTE在点(-2,-1)处的导数值.而f′(-2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,故曲线在点(-2,-1)处的切线方程为y+1=-QUOTE(x+2),整理得x+2y+4=0.(2)可以验证点(2,0)不在曲线上,设切点为P(x0,y0).由y′QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,故所求切线方程为y-y0=-QUOTE(x-x0).由点(2,0)在所求的直线上,得QUOTEy0=2-x0,再由P(x0,y0)在曲线y=QUOTE上,得x0y0=1,联立可解得x0=1,y0=1,所以直线方程为x+y-2=0.11.已知直线l:y=4x+