随机过程：第四章 白噪声和正态随机过程

随机信号分析第四章白噪声和正态随机过程本章学习的主要内容★多维正态随机变量★正态随机过程的分布特性★白噪声和限带噪声4.1正态随机变量★一维正态随机变量★二维正态随机变量★多维正态随机变量★正态随机变量的线性变换4.2正态随机过程的分布特性★一般正态过程★平稳正态过程4.3白噪声和限带噪声★白噪声的定义★白噪声的特性★白噪声通过线性系统★限带噪声本堂课的作业★第169页习题4.124.134.1.1一维正态随机变量★一维正态随机变量如果随机变量X的一维概率密度满足式中m和σ为常数，则称X服从正态分布。4.1.2二维正态随机变量★定义设两个随机变量X1和X2，如果它们的联合概率密度为

4.1.2二维正态随机变量★定义（续）式中x1、x2分别表示X1与X2的某个取值，m1和m2分别为其均值，和分别为其方差，r表示X(t1)和X(t2)的相关系数。则称X1与X2是联合正态分布的。4.1.2二维正态随机变量★定义（续）相应的二维特征函数为4.1.2二维正态随机变量★边缘分布两个随机变量X1和X2的边缘分布分别为4.1.2二维正态随机变量★边缘分布（续）上两式说明，如果两个随机变量X1和X2是联合正态的，则它们的边缘分布也是正态分布的。

4.1.2二维正态随机变量★边缘分布（续）如果X1与X2互不相关，即r等于零，那么上式表示，两个正态随机变量如不相关，则必相互独立。4.1.2二维正态随机变量★条件分布两个随机变量X1和X2的条件分布为4.1.2二维正态随机变量★条件分布（续）条件均值为条件方差为如果r=0，则4.1.2二维正态随机变量★二维分布的矩阵形式对于二维以上的概率密度表达式，可以采用矩阵形式来表示。定义4.1.2二维正态随机变量★二维分布的矩阵形式（续）随机变量X1与X2的协方差矩阵为则K的行列式为

K的逆矩阵为

4.1.2二维正态随机变量★二维分布的矩阵形式（续）

那么

式中T表示转置。

4.1.2二维正态随机变量★二维分布的矩阵形式（续）

如果把这些关系代入(4.1.1)式中，则X1与X2的二维概率密度可表示为

4.1.2二维正态随机变量★二维分布的矩阵形式（续）

二维特征函数可用矩阵形式表示为

式中

4.1.3多维正态随机变量★定义

设有n个随机变量X1,X2,…,Xn，如果它们的n维联合概率密度为

4.1.3多维正态随机变量★定义（续）式中

K为n个随机变量的协方差矩阵，Kii(i=1,2,…,n)为Xi的方差，而Kij=rijσiσj

(i,j=1,2,…,n;i≠j)则为Xi与Xj的协方差，则称n个随机变量X1,X2,…,Xn是联合正态分布的。4.1.3多维正态随机变量★定义（续）

X1,X2,…,Xn的n维联合特征函数为

式中4.1.3多维正态随机变量★特性如果随机变量X1,X2,…,Xn彼此不相关，即i≠j时，Kij=0，则协方差矩阵为4.1.3多维正态随机变量★特性（续）

于是有

和4.1.3多维正态随机变量★特性（续）

代入(4.1.11)式中，得

4.1.3多维正态随机变量★特性（续）

上式表明，如果随机变量X1,X2,…,Xn彼此不相关，则它们的n维联合概率密度等于它们各自的一维概率密度之积，即X1,X2,…,Xn是彼此独立的。

4.1.4正态随机变量的线性变换★正态随机变量的线性变换设有一n维正态随机向量X，定义如下线性变换其中4.1.4正态随机变量的线性变换★正态随机变量的线性变换（续）则由(4.1.16)式，可得式中L－1为L的逆矩阵。

由此可知随机矢量的概率密度为

4.1.4正态随机变量的线性变换★正态随机变量的线性变换（续）式中，

J为雅可比行列式，它定义为

4.1.4正态随机变量的线性变换★正态随机变量的线性变换（续）由(4.1.17)式，可得

所以

4.1.4正态随机变量的线性变换★正态随机变量的线性变换（续）

可见，经过(4.1.16)式的线性变换后，Y仍服从正态分布，其均值为Lm，协方差阵为LKLT。

4.2.1一般正态过程★定义

设随机过程X(t)，如果它的任意n维分布都服从正态分布，则称X(t)为正态过程。

4.2.1一般正态过程★一维分布

设X(t)为正态随机过程，对于任意的时刻t1，X(t1)是一个正态随机变量，它的概率分布密度为

式中x1为X(t1)的取值，m1和分别为X(t1)的均值和方差。

4.2.1一般正态过程★一维分布（续）

X(t)的一维特征函数为

将(4.2.1)式代入上式，得

4.2.1一般正态过程★一维分布（续）

随机变量X(t1)的n阶中心矩为

式中(n-1)!!表示奇数连乘。

4.2.1一般正态过程★二维分布

正态随机过程X(t)在任意两个时刻t1和t2，X(t1)和X(t2)是两个联合正态的随机变量，它们的联合概率密度为

4.2.1一般正态过程★二维分布（续）

式中x1、x2分别表示X(t1)与X(t2)的取值，m1和m2分别为其均值，和分别表示其方差，r12表示X(t1)和X(t2)的相关系数。

4.2.1一般正态过程★二维分布（续）

正态随机过程X(t)相应的二维特征函数为

4.2.1一般正态过程★二维分布（续）如果X(t1)与X(t2)互不相关，则r12等于零，那么4.2.1一般正态过程★二维分布（续）

上式表示，两个正态随机变量如不相关，则必相互独立，这时的特征函数为

4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式对于二维以上的概率密度表达式，可以采用矩阵形式来表示。定义4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式（续）定义协方差矩阵为则K的行列式为

K的逆矩阵为

4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式（续）

那么

式中T表示转置。

4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式（续）

如果把这些关系代入(4.2.4)式中，则X(t)的二维概率密度可表示为

4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式（续）

二维特征函数可用矩阵形式表示为

式中

4.2.1一般正态过程★多维分布

X(t)的n维概率密度为

4.2.1一般正态过程★多维分布（续）式中

K为X(t)的协方差矩阵，Kii(i=1,2,…,n)为X(ti)的方差，而Kij=rijσiσj

(i,j=1,2,…,n;i≠j)则为X(ti)与X(tj)的协方差。4.2.1一般正态过程★多维分布（续）

X(t)的n维特征函数为

式中4.2.1一般正态过程★多维分布（续）

对于任意两个时刻ti与tj(i≠j)，若随机变量X(ti)与X(tj)不相关，即i≠j时，Kij=0，则协方差矩阵为

4.2.1一般正态过程★多维分布（续）

于是有

和4.2.1一般正态过程★多维分布（续）

代入(4.2.14)式中，得

4.2.1一般正态过程★多维分布（续）

上式表明，正态过程X(t)如果在不同时刻互不相关，则其n维概率密度等于n个一维概率密度之积。因此对于正态过程而言，不相关和独立的概念是等价的。另外，正态过程的n维概率密度只取决于一、二阶矩，因此它是比较简单的过程。

4.2.2平稳正态过程★定义

设X(t)是正态随机过程，如果它的均值为常数，相关函数RX(t1,t2)仅依赖于时间间隔τ(τ=t1-t2)，则称X(t)为平稳正态过程。

4.2.2平稳正态过程★一维分布

平稳正态过程X(t)的一维概率密度和特征函数与时间t无关，即有

式中m和σ2分别为X(t)的均值和方差。

4.2.2平稳正态过程★二维分布

对于任意两个时刻t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)的协方差矩阵为

式中τ=t1-t2，r(τ)为X(t1)和X(t2)的相关系数

。

4.2.2平稳正态过程★二维分布（续）

而r为相关系数矩阵，即

将(4.2.21)式代入(4.2.12)式，得出平稳正态过程的二维概率密度为

4.2.2平稳正态过程★二维分布（续）

式中

而r由(4.2.22)式给出。

4.2.2平稳正态过程★二维分布（续）

同理可得二维特征函数为

4.2.2平稳正态过程★n维分布

类似于二维分布，可直接写出n维概率密度为

4.2.2平稳正态过程★n维分布（续）

式中

其中4.2.2平稳正态过程★n维分布（续）

同理，n维特征函数为

4.2.2平稳正态过程★平稳正态过程统计特性分析

从(4.2.21)至(4.2.26)式可以看出，正态过程的统计特性只取决于一、二阶矩，如果它满足广义平稳性，即它的均值函数为常数，而相关函数只与时间间隔有关，那么它的n维概率密度也只与时间间隔有关，而与时间的起点无关，即满足狭义平稳的条件。因此，对于正态过程而言，广义平稳与狭义平稳的概念是等价的。

4.2.2平稳正态过程★平稳正态白噪声

若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳正态白噪声，也叫δ相关正态过程。例如，电子管的散弹噪声的功率谱可达103MHz，因此一般都把这些噪声作为平稳正态白噪声来处理。

4.2.2平稳正态过程★平稳正态白噪声（续）假定X(t)是零均值、方差为σ2的平稳正态白噪声。根据白噪声的特性，其相关函数为其中N0为常数。4.2.2平稳正态过程★平稳正态白噪声（续）

因此，对于任意两个不同的时刻ti、tk，X(ti)与X(tk)是不相关的，对于正态随机变量而言，不相关即等于独立，所以，X(t)的n维概率密度为

4.2.2平稳正态过程★平稳正态白噪声＋信号在实际应用中常会遇到平稳正态白噪声N(t)与信号S(t)之和的随机过程X(t)，即X(t)=N(t)+S(t)。

设N(t)的均值为零，方差为σ2，则X(t)的一维概率密度为

4.2.2平稳正态过程★平稳正态白噪声＋信号（续）

从上式可以看出，X(t)仍为正态过程，但此时一维概率密度依赖于时间t。因此，一般平稳正态噪声与信号之和是非平稳的正态过程。

4.3.1白噪声的定义★引言随机信号的功率谱密度从频域反映了随机信号的统计特性，它表示信号的平均功率在整个轴上的分布情况。在实际中，经常遇到这样的随机信号，它的功率谱集中在某个频带内，而在其他频域内为零，这种随机信号称为限带信号。另外一种随机信号，它的功率谱在很宽的频率范围内为常数，这种随机信号称为白噪声。4.3.1白噪声的定义★白噪声的定义设随机信号X(t)的均值为零，如果其相关函数为

则称为X(t)白噪声，如果V(t1)=N0/2为常数，则是X(t)平稳白噪声，此时它的功率谱密度为即平稳白噪声的功率谱在整个频率轴上的分布是均匀的。4.3.1白噪声的特性★白噪声的特性1、白噪声在任意相邻时刻的取值是不相关的（白噪声随时间的起伏变化极快）。2、白噪声的平均功率是无限的。4.3.2白噪声通过线性系