湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试 数学试题含答案

2024-2025学年高一（上）入学考试数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列图形中，是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．已知、为两个连续的整数，且，则（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A． B． C． D．5．对于下列说法，正确的是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．不相交的两条直线叫做平行线C．相等的角是对顶角D．将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，这种做法的依据是“两点确定一条直线”6．随机调查了某校七年级40名同学近个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示，则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（

）人数10课外书数量(本)A．， B．， C．， D．，7．下列命题中，逆命题是假命题的是（

）A．两直线平行，内错角相等B．直角三角形的两个锐角互余C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等8．如图，已知AB是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为（

）A． B． C． D．109．已知多项式，当x=1时，它的值是；当时，它的值是则的值是（

）A． B． C． D．10．某天，某同学早上点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离千米)与所用时间分)之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（

）

A．汽车在途中加油用了10分钟B．若，则加满油以后的速度为千米小时C．若汽车加油后的速度是千米小时，则D．该同学到达宁波大学二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.11．若四边形的四个内角的比是：：：，则最小的内角是12．约分：．13．小明的书包里只放了大小的试卷共张，其中语文张，数学张．若随机地从书包中抽出张，抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是．14．如图，圣诞帽的主视图是正三角形，把帽子压平整，成双层扇形摆放在桌子上(不考虑帽子的厚度则这个扇形的圆心角度数为15．已知AB为的直径，，延长AB至点，使得，CD为圆的切线，为切点，则的面积是．16．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，你们能补出这个常数吗它应是．三、计算题：本大题共2小题，共12分.17．求不等式组：的解．18．解方程组：．四、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19．九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙AB长里，南边城墙AD长里，东门点，南门点分别是AB，AD的中点，，里，经过点，则等于多少里？请你根据上述题意，求出的长度．20．如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，．

(1)求证：是的切线；(2)若DB平分，，AD：：，写出求长的思路．21．为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图所示的统计图.(1)小明一共调查了多少户家庭？(2)求所调查家庭5月份用水量的平均数；(3)若该小区有400户居民，请根据（2）所得结果，估计这个小区5月份居民的总用水量.22．如图，中，，平分交于点点在边上，且求证：．

23．今年月日日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．部分品种，干花和鲜花的成本价分别是每束元，每盆10元．(1)已知一盆鲜花的售价是一束干花价格的倍．第一天就卖了束干花，盆鲜花，共获利元．求一束干花的售价是多少元．(2)花博会最后一天，王某发现还有束干花和盆鲜花，决定干花的售价提高销售，很快全部售完．鲜花降价卖了盆，剩下的每盆元全部卖出，当天的利润为元，且鲜花价格尽可能降低．求的值是多少？24．已知：是任意三角形．

(1)如图所示，点、、分别是边AB、、CA的中点，求证：．(2)如图所示，点、分别在边AB、上，且，，点、是边的三等分点，你认为是否正确？请说明你的理由．(3)如图所示，点、分别在边AB、上，且，，点、、、是边的等分点，则______．(请直接将该小问的答案写在横线上)25．如图，抛物线是常数，且与轴交于，两点，与轴交于点并且，两点的坐标分别是，，抛物线顶点为．(1)求出抛物线的解析式；顶点的坐标为______；直线BD的解析式为______；(2)若为线段BD上的一个动点，其横坐标为，过点作轴于点，求当为何值时，四边形的面积最大？(3)若点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转90°后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标．1．C【分析】由中心对称图形的定义判断.【详解】把一个图形绕着某一点旋转，如果能与原图形重合，那么就说这个图形关于这个点中心对称。据此，只有第3个图形满足中心对称的定义.故选：C.2．D【分析】由科学记数法的规则求解.【详解】，则用科学记数法表示为.故选：D.3．B【分析】由，求出的值即可求解.【详解】由，得，所以，则.故选：B.4．C【分析】由完全平方公式展开计算即可.【详解】因为，所以，所以，故选：C5．D【分析】利用平行线的性质、定义判断AB；利用对顶角的定义判断C；利用两点确定直线判断D.【详解】对于A，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，A错误；对于B，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，B错误；对于C，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，C错误；对于D，由两点确定一条直线，知将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，D正确.故选：D6．D【分析】根据中位数、众数的概念计算可得.【详解】因为有13人阅读9本课外书，是人数最多的，所以众数为：9.因为调查了40名学生的阅读量，所以中位数是：把数字从小到大的顺序排列，第20，21两个数的平均数为所求.第20个数和第21个数均为9，所以中位数为：9.故选：D7．C【分析】求出各选项的逆命题，再判断真假即可得解.【详解】对于A，逆命题为：内错角相等，两直线平行，真命题，A不是；对于B，逆命题为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，B不是；对于C，逆命题为：两个全等三角形关于某个点成中心对称，假命题，C是；对于D，逆命题为：到线段两个端点的距离相等点在这条线段的垂直平分线上，真命题，D不是.故选：C8．B【分析】连接，利用直角三角形性质及圆的性质计算即得.【详解】连接，由是的直径，得，又弦，则，于是，所以.故选：B9．A【分析】根据给定条件，代入计算即得.【详解】依题意，，所以.故选：A10．C【分析】利用给定的图象，逐项分析判断即得.【详解】对于A，汽车在途中加油用分钟，A正确；对于B，由，得，解得，所以加满油以后的速度为千米小时，B正确；对于C，，解得，C错误；对于D，该同学到达宁波大学，D正确.11．【分析】利用多边形的内角和结合方程即可求出答案．【详解】设四边形四个内角分别是，则，解得．则它的最小角是．故答案为：.12．【分析】根据给定条件，约去公因式即得.【详解】依题意，.故答案为：13．##0.1【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率.【详解】记张语文试卷为，张数学试卷为，随机抽出张的结果有，共10个，其中抽出的试卷恰好都是数学试卷的结果为12，1个，所以抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是.故答案为：14．【分析】由圆锥底面半径求出底面周长，得双层扇形弧长，可求这个扇形的圆心角度数.【详解】由题知，帽子为圆锥，设母线长为2，即，∵主视图为等边三角形，∴为等边三角形，∴，∴，∴底面圆周长，∴半圆，∴设压平的圆心角为，则，∴．故答案为：90．15．【分析】由圆的切线性质，结合直角三角形性质求出的高，即可求出面积.【详解】由为的切线，得，而，则，，过作于，则，所以的面积.故答案为：16．【分析】由方程的解代入方程求解即可.【详解】因为方程的解是，所以代入得：，所以，故答案为：17．【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可.【详解】因为：，由①得：；由②得：，则不等式的解为．18．【分析】利用加法消元法求解方程组即得.【详解】，得：，得：，解得：x=2，把x=2代入②得：，解得：y=−1，所以方程组的解为：．19．【分析】利用平行线的性质及相似三角形性质，列式计算即得.【详解】由四边形是矩形，，，得，则，，于是∽，则，即，所以.所以等于里．20．(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）连接，只需证明即可.（2）先判断为等腰直角三角形，由得；再由得：，结合，可求.【详解】（1）连接，，．为的直径，所以.点为的中点，．，∴又，∴.是的切线（2）平分，，，，为的直径，，是等腰直角三角形，

，，∵，是公共角，∽，：：，,设为，：：，∴,，解得.即.21．(1)20户家庭(2)吨(3)1800吨【分析】（1）根据统计图运算即可；（2）根据统计图结合平均数运算求解；（3）根据（2）中的平均数，用样本估计总体，运算求解.【详解】（1）∵，故小明一共调查了20户家庭.（2）∵，故所调查家庭5月份用水量的平均数为吨.（3）由（2）可知：样本的平均数估计总体的平均数为，则（吨）.故估计这个小区5月份居民的总用水量为1800吨.22．证明见解析【分析】由，有，可得，证明≌，可得．【详解】证明：，，，又，，平分交于点，，在和中，由，得，．23．(1)10元(2)15【分析】（1）设一束干花的售价是元，列出方程组求解即得.（2）由已知条件列出方程求解即得.【详解】（1）设一束干花的售价是元，则一盆鲜花的售价是元，依题意，得，解得，所以一束干花的售价是10元.（2）由（1）知，一束干花的售价是10元，则一盆鲜花的售价是元)，依题意，，解得，，而鲜花价格尽可能降低，即尽可能小，所以，所以的值是.24．(1)证明见解析(2)正确，理由见解析(3)【分析】（1）由三角形的中位线定理可得到四边形是平行四边形，故有．（2）由平行线分线段成比例，可得到四边形是平行四边形，，，，可得；（3）类似的，可得到.【详解】（1）证明：如图中，

，，，，，，四边形是平行四边形，．（2）解：结论正确，理由：连接．

，，同理：，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，．（3）．理由：连接，

∵，，，∴，∴，，∴，，∵点、、、是边的等分点，∴与平行且相等，与平行且相等，…，与平行且相等，∴四边形、、…、都是平行四边形，∴，，…，，∴，，…，，∴．25．(1)；(2)(3)或【分析】（1）代入两点坐标求出抛物线的解析式；由函数解析式求顶点的坐标；待定系数法求直线BD的解析式；（2）根据四边形的形状，把面积表示为的函数，由函数性质求面积最大时的值；（3）分点在轴上方和下方两种情况，由为等腰直角三角形，结合点在抛物线上，求点的坐标.【详解】（1）①把，代入，得，解得；