导数中的函数构造问题 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数中的函数构造问题教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容为人教A版（2019）选择性必修第二册第七章导数及其应用中7.3节的“导数中的函数构造问题”。内容包括：利用导数研究函数的单调性、极值和最值，通过实际例子让学生理解如何构造函数解决问题，以及探讨构造函数在导数中的应用。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了导数的定义、计算规则以及导数与函数单调性的关系。在此基础上，本节课将引导学生运用已知的导数知识，通过构造函数来解决实际问题，加深对导数应用的理解，并提高解决问题的能力。教学内容与课本紧密相关，旨在帮助学生将理论知识与实际问题相结合，增强数学学科的实用性。二、核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和数据分析。通过导数中的函数构造问题，引导学生运用逻辑推理能力，分析函数性质，构建合适的数学模型，培养数学建模素养。同时，在教学过程中，学生将学会运用数据分析的方法，对构造的函数进行求解、优化和验证，提高解决实际问题的能力。此外，注重培养学生的问题意识，激发创新思维，使学生在探索中发现数学规律，提升数学核心素养。这些目标与新教材的要求相符，有助于学生全面发展。三、学情分析本节课的教学对象为高二年级学生，经过之前的学习，他们在数学知识、能力和素质方面具备一定基础。在知识层面，学生已掌握导数的概念、计算法则及应用，能运用导数分析函数的单调性。然而，对于构造函数解决实际问题的能力尚需加强。在能力方面，学生的逻辑推理能力和数学运算能力较强，但在问题发现、分析和解决方面存在一定局限性。在素质方面，学生具备一定的合作意识和探究精神，但自主学习能力有待提高。

学生在行为习惯方面，课堂参与度较高，但部分学生过于依赖教师引导，自主学习能力不足。这将对课程学习产生影响，特别是在构造函数问题中，学生可能难以独立发现问题和解决问题。因此，在本节课的教学中，需关注学生的个体差异，充分调动学生的主观能动性，引导他们通过自主探究、合作交流等方式，提升解决实际问题的能力。同时，结合课本内容，注重培养学生的创新意识和实践能力，使他们在掌握知识的同时，提高自身综合素质。四、教学方法与策略本节课将采用讲授与讨论相结合的教学方法，辅以案例研究和项目导向学习。首先，通过讲授法对导数中的函数构造问题进行梳理和讲解，确保学生掌握基本理论知识。接着，设计小组讨论环节，让学生针对特定问题展开讨论，促进知识内化。此外，结合课本案例，引导学生进行案例研究，培养学生分析问题和解决问题的能力。

在教学活动中，设计数学建模实验，让学生通过角色扮演、小组合作等方式，将理论知识应用于实际问题中。同时，利用数学软件或教具辅助教学，增强学生对函数构造过程的理解。教学媒体方面，使用多媒体课件、网络资源和实物模型等，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣和参与度。通过以上策略，激发学生的学习主动性，培养他们的创新精神和实践能力。五、教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对导数中函数构造问题的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道在实际问题中如何运用导数来构造函数吗？这与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于导数在实际问题中应用的图片或视频片段，让学生初步感受导数的实际应用价值。

简短介绍导数在函数构造中的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.导数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解导数在函数构造中的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解导数在函数构造中的定义，包括其与函数单调性、极值等的关系。

详细介绍导数在分析函数性质时的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.导数中的函数构造问题案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解导数在函数构造中的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的导数在函数构造中的案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、构造过程、求解方法及意义，让学生全面了解导数在函数构造中的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用导数解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论导数在函数构造中的未来发展或改进方向，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与导数在函数构造中相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对导数在函数构造中的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调导数在函数构造中的重要性。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括导数在函数构造的基本概念、案例分析等。

强调导数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用导数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于导数在函数构造中的短文或报告，以巩固学习效果。六、拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《数学分析导论》中关于导数与函数构造的相关章节；

-《高中数学竞赛解题策略与技巧》中涉及导数应用的问题；

-《数学建模与实验》中关于利用导数解决实际问题的案例。

2.自主学习与探究：

-研究导数在其他数学分支（如微积分、优化问题等）中的应用；

-探索导数在物理学、经济学等领域的实际应用，例如运动物体的瞬时速度、边际成本等；

-分析教材中提到的典型函数（如二次函数、指数函数、对数函数等）的导数性质，并探讨其在实际问题中的应用；

-尝试编写一些涉及导数的数学题目，与同学互相交换解答，提高解题能力；

-利用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）进行导数相关的数值计算和图像绘制，加深对导数概念的理解。

鼓励学生在课后通过以上拓展阅读材料和自主学习探究，进一步巩固和深化对导数在函数构造中应用的理解，提高数学综合运用能力。同时，注意将所学知识与现实生活相结合，培养解决实际问题的能力。通过这些拓展活动，激发学生的学习兴趣，提升数学素养。七、课后作业1.利用导数证明函数的单调性：

证明函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在区间（-∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增。

解答：

f'(x)=3x^2-6x-9

当x<1时，f'(x)>0，函数单调递增；

当x>1时，f'(x)<0，函数单调递减。

2.利用导数求解函数的极值：

求函数g(x)=x^4-4x^3+4x^2的极值，并说明极值类型。

解答：

g'(x)=4x^3-12x^2+8x

令g'(x)=0，得x=0，x=1，x=2

g''(x)=12x^2-24x+8

当x=0时，g''(0)=8>0，为局部极小值；

当x=1时，g''(1)=4>0，为局部极小值；

当x=2时，g''(2)=8>0，为局部极大值。

3.利用导数求解实际问题的最值：

某企业的生产成本函数为C(x)=0.1x^3+2x^2+100x，其中x为生产数量。求该企业生产成本的最小值。

解答：

C'(x)=0.3x^2+4x+100

令C'(x)=0，得x≈-41.5（舍去负数解）

当x>0时，C'(x)>0，C(x)单调递增；

当x<0时，C'(x)<0，C(x)单调递减。

因此，当x=0时，C(x)取得最小值，最小值为0。

4.构造函数解决实际问题时求临界点：

一质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系为s=t^3-6t^2+9t。求质点在哪个时刻速度为0，并说明此时质点的运动状态。

解答：

v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9

令v(t)=0，得t=1，t=3

当t=1时，v(t)=0，质点速度为0，可能处于静止状态或极值点；

当t=3时，v(t)=0，质点速度为0，可能处于静止状态或极值点。

5.构造函数求解实际问题的最大（小）值：

某商品的需求量Q（单位：万个）与价格P（单位：元/个）之间的关系为Q=30-2P+0.1P^2。求价格P在什么范围内，企业的销售收入R（单位：万元）最大？

解答：

R=P*Q=P(30-2P+0.1P^2)

R'(P)=30-4P+0.2P^2

令R'(P)=0，得P≈10，P≈15

当P<10或P>15时，R'(P)<0，R(P)单调递减；

当10<P<15时，R'(P)>0，R(P)单调递增。

因此，当P=15时，R(P)取得最大值，最大值为R(15)=112.5万元。八、板书设计①导数的定义及其在函数构造中的应用

-导数的概念

-导数的计算规则

-导数与函数的单调性

-导数与函数的极值和最值

②函数构造问题的案例分析

-实际问题背景

-构造函数的思路

-求解函数的导数

-分析函数的性质和特点

③函数构造问题的求解方法

-构造函数的步骤

-求导数的方法

-分析函数的性质

-应用函数解决实际问题

④函数构造问题的拓展与延伸

-导数在其他数学分支的应用

-导数在实际问题中的应用案例

-利用导数求解更复杂的问题

-函数构造问题的创新性思考教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的参与度较高，对导数在函数构造中的基本概念和应用有较好的理解和掌握。学生能积极回答问题，提出自己的见解，展现出较强的逻辑推理能力。

2.小组讨论成果展示：各小组在讨论过程中能积极思考，提出创新性的想法和建议。在课堂展示环节，学生能清晰表达自己的观点，展现出良好的沟通能力和团队合作精神。

3.随堂测试：通过随堂测试，发现大部分学生对导数在函数构造中的应用有较好的掌握，但在一些细节问题上还需加强。测试结果显示，学生对导数与函数单调性、极值和最值关系的理解较为深刻。

4.课后作业：从课后作业的完成情况来看，学生在利用导数求解函数的单调性、极