高中数学 3.1 第2课时数学归纳法应用举例同步测试 新人教B版选修2-2

【成才之路】-学年高中数学3.1第2课时数学归纳法应用举例同步测试新人教B版选修2-2一、选择题1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数A．－1 B．4C．－1和4 D．－1和6[答案]C[解析]由题意解得m2－3m－4＝0，∴m＝4或m2．(·福建文)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]C[解析]z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.3．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于eq\r(10)，则实数x的取值范围是()A．－eq\f(4,5)<x<2 B．x<2C．x>－eq\f(4,5) D．x<－eq\f(4,5)或x>2[答案]A[解析]由(x－1)2＋(2x－1)2<10，解得－eq\f(4,5)<x<2.故选A.4．下列命题中假命题是()A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|[答案]D[解析]①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)≥0总成立．∴A正确；②由复数相等的条件z＝0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝0)).⇔|z|＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．故选D.5．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是()A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称[答案]B[解析]在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．6．在下列结论中正确的是()A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴B．任何两个复数都不能比较大小C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的D．－1的平方根是i[答案]A[解析]两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai是实数，排除C，－1的平方根是±i，排除D，故选A.7．复数z＝(a2－2a)＋(a2－aA．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1C．a＝2或a＝0 D．a＝0[答案]D[解析]由题意知a2－2a＝0且a2－a解得a＝0.8．复数z1＝a＋2i(a∈R)，z2＝2＋i且|z1|<|z2|，则a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]C[解析]∵|z1|<|z2|，∴eq\r(a2＋4)<eq\r(5)，∴a2＋4<5，∴－1＜a＜1.故选C.二、填空题9．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝______.[答案]±15－8i[解析]设复数z＝a－8i，由eq\r(a2＋82)＝17，∴a2＝225.a＝±15.则z＝±15－8i.10．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.[答案]3i[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a2＋b2＝9.又w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＋3≠0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠－3，))又a2＋b2＝9，∴a＝0，b＝3.11．(·湖北文，11)i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.[答案]－2＋3i[解析]∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z2＝－2＋3i.三、解答题12．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数eq\x\to(z)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．[解析]∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－∴eq\x\to(z)＝(m2＋m－1)－(4m2－8m＋3)i.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1>0,4m2－8m＋3<0))，解得eq\f(－1＋\r(5),2)<m<eq\f(3,2).即实数m的取值范围是eq\f(－1＋\r(5),2)<m<eq\f(3,2).一、选择题1．(·武汉市调研)复数z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]B[解析]复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，P在第一象限；当m<eq\f(2,3)时，P在第三象限，当eq\f(2,3)<m<1时，P在第四象限，当m＝eq\f(2,3)时，P在y轴上，当m＝1时，P在x轴上，故选B.2．复平面内，向量eq\o(OA,\s\up6(→))表示的复数为1＋i，将eq\o(OA,\s\up6(→))向右平移一个单位后得到向量eq\o(O′A′,\s\up6(→))，则向量eq\o(O′A′,\s\up6(→))与点A′对应的复数分别为()A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋i D．2＋i,1＋i[答案]C[解析]向量eq\o(OA,\s\up6(→))向右平移一个单位后起点O′(1,0)，∵eq\o(OA′,\s\up6(→))＝eq\o(OO′,\s\up6(→))＋eq\o(O′A′,\s\up6(→))＝eq\o(OO′,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，∴点A′对应复数2＋i，又eq\o(O′A′,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(O′A′,\s\up6(→))对应复数为1＋i.故选C.3．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数[答案]C[解析]∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D.故选C.4．若cos2θ＋i(1－tanθ)是纯虚数，则θ的值为()A．kπ－eq\f(π,4)(k∈Z) B．kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)C．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z) D．eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)(k∈Z)[答案]A[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos2θ＝0①,1－tanθ≠0②))∴选项B、C不满足②.D中若k为偶数(如k＝0)也不满足②.故选A.二、填空题5．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)的对应点位于复平面的第______象限.[答案]二[解析]由于0<A<eq\f(π,2)，0<B<eq\f(π,2)且A＋B>eq\f(π,2)∴eq\f(π,2)>A>eq\f(π,2)－B>0，∴tanA>cotB，cotA<tanB，故复数z对应点在第二象限．6．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m[答案]eq\r(15)[解析]∵log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，整理得log2eq\f(2m2－3m－3,m－32)＝0，∴2m2－6m－6＝m2－6m＋9，即m2＝15，m＝±eq\r(15)又∵m－3>0且m2－3m－3>0，∴m＝eq\r(15).7．复数z满足|z＋3－eq\r(3)i|＝eq\r(3)，则|z|的最大值和最小值分别为________．[答案]3eq\r(3)，eq\r(3)[解析]|z＋3－eq\r(3)i|＝eq\r(3)表示以C(－3，eq\r(3))为圆心，eq\r(3)为半径的圆，则|z|表示该圆上的点到原点的距离，显然|z|的最大值为|OC|＋eq\r(3)＝2eq\r(3)＋eq\r(3)＝3eq\r(3)，最小值为|OC|－eq\r(3)＝2eq\r(3)－eq\r(3)＝eq\r(3).三、解答题8．(·山东鱼台一中高二期中)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．[解析](1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m(2)∵z为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－1＝0，,m2＋2m－3≠0.))解得m＝0.(3)∵z所对应的点在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－1>0，,m2＋2m－3<0.))解得－3<m<0.9．已知复数z1＝eq\r(3)－i及z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.(1)求|eq\x\to(z)1|及|eq\x\to(z)2|的值并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？[解析](1)|eq\x\to(z)1|＝|eq\r(3)