高中数学 2-3 2.1离散型随机变量及其分布列同步测试 新人教B版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学2-32.1离散型随机变量及其分布列同步测试新人教B版选修2-3一、选择题1．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．两颗都是4点D．一颗是3点、一颗是1点或两颗都是2点[答案]D2．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq\f(i,2a)，i＝1,2,3，则P(X＝2)＝()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)[答案]C[解析]∵P＝(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,2a)＋eq\f(2,2a)＋eq\f(3,2a)＝1，∴a＝3.∴P(X＝2)＝eq\f(2,2a)＝eq\f(1,3).3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(k,15)，k＝1、2、3、4、5，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,9)C.eq\f(1,6) D．eq\f(1,5)[答案]D[解析]Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＝eq\f(1,5).故选D.4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))i，i＝1、2、3，则a的值为()A．1 B．eq\f(9,13)C.eq\f(11,13) D．eq\f(27,13)[答案]D[解析]设P(ξ＝i)＝pi，则p1＋p2＋p3＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,9)a＋eq\f(1,27)a＝1，∴a＝eq\f(27,13).故选D.5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现次品的概率为()A.eq\f(2,245) B．eq\f(9,49)C.eq\f(47,245) D．以上都不对[答案]C[解析]P＝1－eq\f(C\o\al(2,45),C\o\al(2,50))＝eq\f(47,245).故选C.6．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()A.eq\f(1,120) B．eq\f(7,24)C.eq\f(7,10) D．eq\f(3,7)[答案]B[解析]P＝eq\f(C\o\al(3,7)·C\o\al(0,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24).故选B.7．已知随机变量ξ的概率分布如下：ξ12345Peq\f(2,3)eq\f(2,32)eq\f(2,33)eq\f(2,34)eq\f(2,35)ξ678910Peq\f(2,36)eq\f(2,37)eq\f(2,38)eq\f(2,39)m则P(ξ＝10)＝()A.eq\f(2,39) B．eq\f(2,310)C.eq\f(1,39) D．eq\f(1,310)[答案]C[解析]P(ξ＝10)＝m＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(2,32)＋…＋\f(2,39)))＝1－eq\f(\f(2,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9)),1－\f(1,3))＝eq\f(1,39).故选C.二、填空题8．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝eq\f(c,k＋1)，k＝0、1、2、3，则c＝________.[答案]eq\f(12,25)[解析]c＋eq\f(c,2)＋eq\f(c,3)＋eq\f(c,4)＝1，∴c＝eq\f(12,25).9．随机变量ξ的分布列为ξ012345Peq\f(1,9)eq\f(2,15)eq\f(7,45)eq\f(8,45)eq\f(1,5)eq\f(2,9)则ξ为奇数的概率为________．[答案]eq\f(8,15)三、解答题10．(·宝鸡市质检)为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：队别北京上海天津八一人数4635(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．[解析](1)“从这18名队员中选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,5),C\o\al(2,18))＝eq\f(2,9).(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.∵P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,14),C\o\al(2,18))＝eq\f(91,153)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,14),C\o\al(2,18))＝eq\f(56,153)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,18))＝eq\f(6,153)，∴ξ的分布列为：ξ012Peq\f(91,153)eq\f(56,153)eq\f(6,153)一、选择题1．设随机变量等可能取值1、2、3、…、n，如果P(3<ξ≤5)＝0.2，那么()A．n＝4 B．n＝8C．n＝10 D．n＝20[答案]C[解析]∵ξ是等可能地取值，∴P(ξ＝k)＝eq\f(1,n)(k＝1,2，…，n)，∴P(3<ξ≤5)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝eq\f(2,n)＝0.2，∴n＝10.2．在12人的兴趣小组中有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(3,7),C\o\al(6,12))的是()A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3)C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)[答案]B3．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(c,kk＋1)，k＝1、2、3、4，其中c是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜ξ＜\f(5,2)))的值为()A.eq\f(2,3) B．eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D．eq\f(5,6)[答案]D[解析]eq\f(c,1×2)＋eq\f(c,2×3)＋eq\f(c,3×4)＋eq\f(c,4×5)＝ceq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))))＝eq\f(4,5)c＝1.∴c＝eq\f(5,4).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜ξ＜\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)))＝eq\f(5,6).故选D.二、填空题4．随机变量ξ的分布列如表所示：ξ－202Paeq\f(1,3)c则P(|ξ|＝2)＝____________.[答案]eq\f(2,3)[解析]∵a＋eq\f(1,3)＋c＝1，∴a＋c＝eq\f(2,3)，∴P(|ξ|＝2)＝a＋c＝eq\f(2,3).5．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为________.ξ012P[答案]0.10.60.3[解析]P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝0.1，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝0.6，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝0.3.三、解答题6．一袋中装有5只球，编号为1、2、3、4、5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列．[解析]根据题意可知随机变量ξ的取值为3、4、5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其它二球的编号只能是1、2，故有P(ξ＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其它二球只能在编号为1、2、3的3球中取2个，故有P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其它二球只能在编号为1、2、3、4的4球中取2个，故P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).可得ξ的分布列为ξ345Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)7.某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人，现抽1人，其血型是一个随机变量X，(1)X的可能取值是什么？(2)X的分布列是什么？[解析](1)将四种血型O、A、B、AB型分别编号为1、2、3、4，则X的可能取值为1、2、3、4.(2)当X＝1、2、3、4时，P1＝eq\f(10,45)＝eq\f(2,9)，P2＝eq\f(12,45)＝eq\f(4,15)，P3＝eq\f(8,45)，P4＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，故其分布列为X1234Peq\f(2,9)eq\f(4,15)eq\f(8,45)eq\f(1,3)8.从一批有10件合格品与3件次品的产品中，一件一件地抽取产品，每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，直到取出合格品为止，求抽取次数ξ的分布列．[解析](1)P(ξ＝1)＝eq\f(1