高中数学 2.3 空间直角坐标系基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学2.3空间直角坐标系基础巩固北师大版必修2一、选择题1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]②③④正确．2．已知点A(－1,2,7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为()A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2,7)C．(1，－2，－7) D．(1,2，－7)[答案]A[解析]在空间中，若点关于x轴对称，则x坐标不变，其余均变为相反数．由于点A(－1,2,7)关于x轴对称，因此对称点A′(－1，－2，－7)．3．点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为A1，点A关于xOz平面的对称点为A2，则d(A1，A2)＝()A．2eq\r(13) B．eq\r(13)C．6 D．4[答案]A[解析]A(1,2,3)关于xOy的平面的对称点为A1(1,2，－3)，点A关于xOz平面的对称点为A2(1，－2,3)，∴d(A1，A2)＝eq\r(1－12＋2＋22＋－3－32)＝eq\r(16＋36)＝2eq\r(13).4．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上中线AD的长是()A．2 B．eq\r(6)C．3 D．2eq\r(2)[答案]B[解析]由题意可知A(0,0,1)，B(4,0,0)，C(0,2,0)，所以BC边的中点坐标为D(2,1,0)，所以BC边的中线长|AD|＝eq\r(2－02＋1－02＋0－12)＝eq\r(6).故应选B.5．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，点P在BD′上，BP＝eq\f(1,3)BD′，则P点坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))[答案]D[解析]连BD′，点P在坐标平面xOy上的射影在BD上，∵BP＝eq\f(1,3)BD′，所以Px＝Py＝eq\f(2,3)，Pz＝eq\f(1,3)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3))).6．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)则|AB|的最小值为()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(55),5)C．eq\f(3\r(5),5) D．eq\f(11,5)[答案]C[解析]|AB|＝eq\r(1－t－22＋1－t－t2＋t－t2)＝eq\r(5t2－2t＋2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5))≥eq\r(\f(9,5))＝eq\f(3,5)eq\r(5).二、填空题7．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))[解析]如图所示，A(0,0,0)，B1(1,0,1)．面AA1B1B对角线交点是线段AB1的中点，由中点坐标公式得所求点的坐标为(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))．8．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(0,3,4)，B(3，－1,4)，C(eq\f(3,2)，eq\f(7,2)，4)，则△ABC是________三角形．[答案]直角[解析]∵|AB|＝eq\r(0－32＋3＋12＋4－42)＝5，|AC|＝eq\r(0－\f(3,2)2＋3－\f(7,2)2＋4－42)＝eq\f(\r(10),2)，|BC|＝eq\r(3－\f(3,2)2＋－1－\f(7,2)2＋4－42)＝eq\f(3\r(10),2)，而|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，∴△ABC是直角三角形．三、解答题9．正三棱柱ABC－A1B1C1底面边长为2，高为eq\r(3)，D为A1B1的中点，建立适当的坐标系，写出A、B、C、D、C1、B1的坐标，并求出CD的长．[解析]取AC的中点为坐标原点，射线OA、OB分别为x轴、y轴，过点O作垂直于底面ABC的垂线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，由题意知A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，C(－1,0,0)，D(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3))，C1(－1,0，eq\r(3))，B1(0，eq\r(3)，eq\r(3))．∴|CD|＝eq\r(\f(1,2)＋12＋\f(\r(3),2)2＋\r(3)2)＝eq\r(6).一、选择题1．点B(eq\r(3)，0,0)是点A(m,2,5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为()A．2eq\r(2) B．3eq\r(2)C．4eq\r(2) D．5eq\r(2)[答案]C[解析]A(m,2,5)在x轴上的射影是(m,0,0)，所以m＝eq\r(3)，|OA|＝4eq\r(2).2．已知ABCD为平行四边形，且A(－3,1,5)，B(1，－2,4)，C(0,3,7)，则点D的坐标为()A．(－4,2,1) B．(－4,6,8)C．(2,3,1) D．(5,13，－3)[答案]B[解析]设D(x，y，z)，由ABCD为平行四边形知，AC与BD互相平分，即AC与BD的中点重合，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)＝－\f(3,2)，,\f(y－2,2)＝2，,\f(z＋4,2)＝6，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝6，,z＝8.))故选B.二、填空题3．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M[答案]eq\f(2\r(39),3)[解析]设正方体的棱长为a，显然C1和A点的中点为点M(0,1,2)．∴C1(－3,3,2)．∴|AC1|＝eq\r(－3－32＋3＋12＋02)＝2eq\r(13)＝eq\r(3)a.∴a＝eq\f(2,3)eq\r(39).4．已知点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是__________．[答案]eq\r(2)或eq\r(6)[解析]由题意P(0,0,1)或P(0,0，－1)，所以|PA|＝eq\r(2)或eq\r(6).三、解答题5．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P、Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长．[解析]建立如图所示空间直角坐标系∴B(a，a,0)，C(0，a,0)，B′(a，a，a)，D′(0,0，a)，∴P(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，Q(eq\f(a,2)，a，eq\f(a,2))．∴|PQ|＝eq\r(\f(a,2)－\f(a,2)2＋\f(a,2)－a2＋\f(a,2)－\f(a,2)2)＝eq\f(a,2).6．正方形ABCD和ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，(1)求MN的长；(2)求a为何值时，MN的长最小．[解析](1)∵面ABCD⊥面ABEF，而ABCD∩ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥面ABC.∴AB、BC、BE两两垂直．∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则M(eq\f(\r(2),2)a,0,1－eq\f(\r(2),2)a)，N(eq\f(\r(2),2)a，eq\f(\r(2),2)a,0)．|MN|＝eq\r(\f(\r(2),2)a－\f(\r(2),2)a2＋0－\f(\r(2),2)a2＋1－\f(\r(2),2)a－02)＝eq\r(a2－\r(2)a＋1)＝eq\r(a－\f(\r(2),2)2＋\f(1,2)).(2)则当a＝eq\f(\r(2),2)时，|MN|最短为eq\f(\r(2),2)，此时，M、N恰为AC、BF的中点．7．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．[解析](1)假设在y轴上存在点M满足|MA|＝|MB|，设M(0，y,0)，则有eq\r(32＋－y2＋12)＝eq\r(－12＋y2＋32)，由于此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点均满足条件|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|