2023-2024学年浙江省台州市山海协作体高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省台州市山海协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题考生须知:1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有〖答案〗必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）．A.15 B.30 C.45 D.60〖答案〗C〖解析〗，故选：C．2.若随机变量，且，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，解得.故选：A.3.5个人分4张足球票（有位置区别），每人至多分1张，而且票必须分完，则不同分法的种数为（）A5 B.10 C.60 D.120〖答案〗D〖解析〗因为5个人分4张足球票（有位置区别），每人至多分1张，而且票必须分完，所以只有一人没有分到票，其余4人分到1人1张票，所以共有种不同的分法．故选：D.4.已知函数，其导函数图象如图所示，则（

）A.有2个极值点 B.在处取得极小值C.有极大值，没有极小值 D.在上单调递减〖答案〗C〖解析〗由题意及图得，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，则有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，故选：C.5.求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知：，令，得，，∴原函数的单调增区间为，故选：C.6.在的展开式中，项的系数为（）A. B. C.30 D.50〖答案〗B〖解析〗表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，故项的系数为.故选:B．7.设，随机变量的分布01则当在内增大时，（）A.增大，增大 B.增大，减小C.减小，增大 D.减小，减小〖答案〗D〖解析〗因为分布列中概率之和为1，可得，∴，∴当增大时，减小，又由，可知当在内增大时，减小.故选：D.8.已知，则的大小关系是为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗,设，，得当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，所以，即，即，故，，，设，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，所以，即，则，即，设，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，所以，即，则，即，综上可知，.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：价格99.51010511销售量1110865按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（）A. B.变量线性正相关C.相应于点的残差约为 D.当时，的估计值为14.4〖答案〗AD〖解析〗由表格知：，所以，可得，A正确；由相关系数且回归方程斜率为负，则变量线性负相关且相关性较强，B错误；由，故残差为，C错误；由，D正确；故选：AD.10.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A.由题意可知，，故A正确；B.，故B正确；C.，故C错误；D.由题意可知，，故D正确.故选：ABD11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.在上是增函数B.若函数有两个零点，，则C.若在定义域内存在单调递增区间，则实数D.若，且，则的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，当时，，令，则，，由，当时，恒成立，在上单调递增；又在上单调递增，根据复合函数单调性可知，在上是增函数，A正确；对于B，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，则；不妨设，则必有，若，则，等价于，又，则等价于；令，则，，由，，，即，在上单调递增，，即，所以，可知不成立，B错误；对于C，，函数定义域为，，若在定义域内存在单调递增区间，则有解，即，在有解，时，结合一次函数和二次函数的性质可知，在一定有解；时，有，解得，此时，对应的二次方程有两个不等的正根，符合题意，所以在定义域内存在单调递增区间，实数，C正确；对于D，由，且，得，即，由B选项知，在上单调递减，在上单调递增；，则，所以，，则有，即，可得；令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为，D正确.故选：ACD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，且，则__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：13.已知函数，则的值为_____________.〖答案〗〖解析〗，故，即，解得.故〖答案〗为：14.如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的，，的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往地和地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为_______________.〖答案〗〖解析〗小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，因此小明和小华各自到达目的地的试验有个基本事件，小明经过到达目的地的不同路径有，小华经过到达目的地的不同路径有，因此小明、小华、小齐三人能相遇的事件有个基本事件，所以小明、小华、小齐三人能相遇的概率为.故〖答案〗为：非选择题部分四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码.（1）若一次取2个球，至少有一个红球的取法有多少种;（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法.解：（1）由题意，若一次取2个球，至少有一个红球有两种可能：“两个都是红球”或“一个白球一个红球”，故不同的取法有种.（2）若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，故不同的取法有种.16.已知的展开式（1）求展开式中所有项的系数和;（2）求展开式中二项式系数最大的项;（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.解：（1）令可得展开式中所有项的系数和.（2）二项式系数最大的项为第4项或第5项二项式系数最大的项为（3）展开式共有8项，展开式的通项公式为当为整数，即时为有理项，共4项，由插空法得有理项不相邻的概率为.17.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若有三个零点，求的取值范围.解：（1）函数的定义域为，且令，解得或，则函数在上单调递增；令，解得，则函数在上单调递减，所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则，，且当时，，当时，，要使得函数有三个零点，则需满足，解得，综上可得，实数的取值范围.18.某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位:人）:好评差评合计男性4068108女性6048108合计100116216（1）判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”?（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列;（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人.现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数.若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值.参考公式:，其中.参考数据:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1），所以有的把握认为“观影评价与性别有关”.（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，所以，，故的分布列为0123（3）从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，则男性4人，女性6人.则的可能取值为0，1，2，所以.所以，即即，解得，又，所以的最大值为2.19.已知函数在处的切线和直线垂直.（1）求实数的值；（2）若对任意的，，都有成立（其中为自然对数的底数），求实数m的取值范围.解：（1）由函数，可得，可得因为函数在处切线l和直线垂直，所以，即，解得.（2）不妨设，则，因为对任意的，，都有成立，可得，即，设，则，故在单调递增，从而有，即在上恒成立，设，则，因为，令，即，解得，令，即，解得，所以在单调递减，在单调递增，又因为，故在上最小值，所以，实数的取值范围是.浙江省台州市山海协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题考生须知:1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有〖答案〗必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）．A.15 B.30 C.45 D.60〖答案〗C〖解析〗，故选：C．2.若随机变量，且，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，解得.故选：A.3.5个人分4张足球票（有位置区别），每人至多分1张，而且票必须分完，则不同分法的种数为（）A5 B.10 C.60 D.120〖答案〗D〖解析〗因为5个人分4张足球票（有位置区别），每人至多分1张，而且票必须分完，所以只有一人没有分到票，其余4人分到1人1张票，所以共有种不同的分法．故选：D.4.已知函数，其导函数图象如图所示，则（

）A.有2个极值点 B.在处取得极小值C.有极大值，没有极小值 D.在上单调递减〖答案〗C〖解析〗由题意及图得，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，则有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，故选：C.5.求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知：，令，得，，∴原函数的单调增区间为，故选：C.6.在的展开式中，项的系数为（）A. B. C.30 D.50〖答案〗B〖解析〗表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，故项的系数为.故选:B．7.设，随机变量的分布01则当在内增大时，（）A.增大，增大 B.增大，减小C.减小，增大 D.减小，减小〖答案〗D〖解析〗因为分布列中概率之和为1，可得，∴，∴当增大时，减小，又由，可知当在内增大时，减小.故选：D.8.已知，则的大小关系是为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗,设，，得当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，所以，即，即，故，，，设，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，所以，即，则，即，设，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，所以，即，则，即，综上可知，.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：价格99.51010511销售量1110865按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（）A. B.变量线性正相关C.相应于点的残差约为 D.当时，的估计值为14.4〖答案〗AD〖解析〗由表格知：，所以，可得，A正确；由相关系数且回归方程斜率为负，则变量线性负相关且相关性较强，B错误；由，故残差为，C错误；由，D正确；故选：AD.10.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A.由题意可知，，故A正确；B.，故B正确；C.，故C错误；D.由题意可知，，故D正确.故选：ABD11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.在上是增函数B.若函数有两个零点，，则C.若在定义域内存在单调递增区间，则实数D.若，且，则的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，当时，，令，则，，由，当时，恒成立，在上单调递增；又在上单调递增，根据复合函数单调性可知，在上是增函数，A正确；对于B，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，则；不妨设，则必有，若，则，等价于，又，则等价于；令，则，，由，，，即，在上单调递增，，即，所以，可知不成立，B错误；对于C，，函数定义域为，，若在定义域内存在单调递增区间，则有解，即，在有解，时，结合一次函数和二次函数的性质可知，在一定有解；时，有，解得，此时，对应的二次方程有两个不等的正根，符合题意，所以在定义域内存在单调递增区间，实数，C正确；对于D，由，且，得，即，由B选项知，在上单调递减，在上单调递增；，则，所以，，则有，即，可得；令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为，D正确.故选：ACD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，且，则__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：13.已知函数，则的值为_____________.〖答案〗〖解析〗，故，即，解得.故〖答案〗为：14.如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的，，的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往地和地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为_______________.〖答案〗〖解析〗小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，因此小明和小华各自到达目的地的试验有个基本事件，小明经过到达目的地的不同路径有，小华经过到达目的地的不同路径有，因此小明、小华、小齐三人能相遇的事件有个基本事件，所以小明、小华、小齐三人能相遇的概率为.故〖答案〗为：非选择题部分四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码.（1）若一次取2个球，至少有一个红球的取法有多少种;（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法.解：（1）由题意，若一次取2个球，至少有一个红球有两种可能：“两个都是红球”或“一个白球一个红球”，故不同的取法有种.（2）若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，故不同的取法有种.16.已知的展开式（1）求展开式中所有项的系数和;（2）求展开式中二项式系数最大的项;（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.解：（1）令可得展开式中所有项的系数和.（2）二项式系数最大的项为第4项或第5项二项式系数最大的项为（3）展开式共有8项，展开式的通项公式为当为整数，即时为有理项，共4项，由插空法得有理项不相邻的概率为.17.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若有三个零点，求的取值范围.解：（1）函数的定义域为，且令，解得或，则函数在上单调递增；令，解得，则函数在上单调递减，所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则，，且当时，，当时，，要使得函数有三个零点，则需满足，解得，综上可得，实数的取值范围.