2023-2024学年天津市部分区高二年级下学期期中练习数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2天津市部分区2023-2024学年高二年级下学期期中练习数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.曲线在处的切线斜率为（）A. B. C. D.5〖答案〗C〖解析〗，当时，，所以曲线在处的切线斜率为.故选：C2.用这个自然数，可以组成没有重复数字三位数的个数为（）A.60 B.90 C.180 D.210〖答案〗C〖解析〗百位上有共种选择，十位、个位共有种选择，故共有个.故选：C.3.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗定义域为，，令得，即，所以增区间为.故选：B4.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的展开式中，的系数分别为，所以的展开式中的系数为.故选：D．5.已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（）A.在区间上单调递减B.当时取得最大值C.在区间上单调递减D.当时取得最小值〖答案〗C〖解析〗由图可知，时，，为增函数；时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值；时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值；时，，为减函数；综上可得只有C正确.故选：C6.甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种〖答案〗B〖解析〗相同那一本有5种可能选法，不同的一本有种可能选法，故共有种选法.故选：B.7.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数，则，因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以，即，经检验，当也符合.故选：A.8.函数在区间上的最大值为（）A.－1 B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗,则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故.

故选：C.9.若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，不等式，变形为，设函数，则函数在区间单调递减，由，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以.故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10.设函数，为其导函数，则______．〖答案〗2e〖解析〗由可知，，所以.故〖答案〗为：11.______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.12.在1，2，3，，500中，被5除余3的数共有______个．〖答案〗100〖解析〗被5除余3的数是，则其是首项为3，公差为5的等差数列通项公式，则，，，且该数列为递增数列，∴在个数字中，有100个数被5除余3，故〖答案〗为：100.13.在的展开式中，的系数为___________；〖答案〗〖解析〗由二项展开式的通项公式得，其中令，即，故展开式中的系数为.故〖答案〗为：.14.如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）〖答案〗48〖解析〗按照分步计数原理，第1块有4种方法，第2块有3种方法，第3块有2种，第4块有2种方法，所以共有种涂色方法.故〖答案〗为：4815.已知函数，当时，有极大值，则a的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗，令，得或，且是开口向上的二次函数，因为当时，有极大值，所以，解得.故〖答案〗为：三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值．解：（1）函数的定义域为，导函数，令，解得，则，随的变化情况如下表：200取极大值取极小值故函数的单调增区间为和，单调减区间为;（2）由小问1知，当时，函数取得极大值16;当时，函数取得极小值．17.班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组有多少种选法?（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？解：（1）由题意可得每个小组有种选法，（2）由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人，所以由分步乘法原理可得共有种选法，（3）由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列，所以由分步乘法原理可得共有种选法18.已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点．（1）求的值；（2）求在区间上的最小值．解：（1）因为，所以，令，则，，所以曲线在点处的切线方程为：，由点在切线上，可得，解得；（2）由（1）得，所以，令，解得，，当x变化时，，的变化情况如表所示：＋－单调递增单调递减又由于，，所以，当时，取得最小值8.19.已知函数，．（1）若在点处取得极值．①求值；②证明：；（2）求的单调区间．解：（1）①由于函数，得，因为在点处取得极值，所以,所以，经检验导函数在区间上小于，在区间上大于，故在点处取得极小值．②由①得，，．令，解得．当x变化时，，的变化情况如表所示．x1－0＋单调递减1单调递增所以，当时，取得最小值．所以，即．（2）函数的定义域为，且，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令解得，的解集为，的解集为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.20.已知函数，，．（1）求函数的导数；（2）若对任意的，，使得成立，求a的取值范围；（3）设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值．解：（1）函数，则，由，求导得，所以函数导数是.（2）函数，求导得，，，则，，函数在上单调递增，于是．又，则在上也是单调递增，，由对任意的，，使成立，等价于，因此，解得，所以实数a的范围是．（3）依题意，，由，得，令，，求导得，令，，求导得，即函数在上单调递增，显然，，则存在唯一的，使得，即，即，，则当时，，当时，，函数在上单调递减，函数在单调递增，因此，当时，令，求导得，令，当时，，即函数在上递增，，函数在上递增，，于是当时，，而函数在上递减，值域为，因此当时，函数无最大值，值域为，函数在的值域为，要使在存在零点，则，所以a的最小值为1．天津市部分区2023-2024学年高二年级下学期期中练习数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.曲线在处的切线斜率为（）A. B. C. D.5〖答案〗C〖解析〗，当时，，所以曲线在处的切线斜率为.故选：C2.用这个自然数，可以组成没有重复数字三位数的个数为（）A.60 B.90 C.180 D.210〖答案〗C〖解析〗百位上有共种选择，十位、个位共有种选择，故共有个.故选：C.3.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗定义域为，，令得，即，所以增区间为.故选：B4.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的展开式中，的系数分别为，所以的展开式中的系数为.故选：D．5.已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（）A.在区间上单调递减B.当时取得最大值C.在区间上单调递减D.当时取得最小值〖答案〗C〖解析〗由图可知，时，，为增函数；时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值；时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值；时，，为减函数；综上可得只有C正确.故选：C6.甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种〖答案〗B〖解析〗相同那一本有5种可能选法，不同的一本有种可能选法，故共有种选法.故选：B.7.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数，则，因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以，即，经检验，当也符合.故选：A.8.函数在区间上的最大值为（）A.－1 B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗,则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故.

故选：C.9.若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，不等式，变形为，设函数，则函数在区间单调递减，由，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以.故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10.设函数，为其导函数，则______．〖答案〗2e〖解析〗由可知，，所以.故〖答案〗为：11.______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.12.在1，2，3，，500中，被5除余3的数共有______个．〖答案〗100〖解析〗被5除余3的数是，则其是首项为3，公差为5的等差数列通项公式，则，，，且该数列为递增数列，∴在个数字中，有100个数被5除余3，故〖答案〗为：100.13.在的展开式中，的系数为___________；〖答案〗〖解析〗由二项展开式的通项公式得，其中令，即，故展开式中的系数为.故〖答案〗为：.14.如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）〖答案〗48〖解析〗按照分步计数原理，第1块有4种方法，第2块有3种方法，第3块有2种，第4块有2种方法，所以共有种涂色方法.故〖答案〗为：4815.已知函数，当时，有极大值，则a的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗，令，得或，且是开口向上的二次函数，因为当时，有极大值，所以，解得.故〖答案〗为：三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值．解：（1）函数的定义域为，导函数，令，解得，则，随的变化情况如下表：200取极大值取极小值故函数的单调增区间为和，单调减区间为;（2）由小问1知，当时，函数取得极大值16;当时，函数取得极小值．17.班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组有多少种选法?（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？解：（1）由题意可得每个小组有种选法，（2）由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人，所以由分步乘法原理可得共有种选法，（3）由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列，所以由分步乘法原理可得共有种选法18.已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点．（1）求的值；（2）求在区间上的最小值．解：（1）因为，所以，令，则，，所以曲线在点处的切线方程为：，由点在切线上，可得，解得；（2）由（1）得，所以，令，解得，，当x变化时，，的变化情况如表所示：＋－单调递增单调递减又由于，，所以，当时，取得最小值8.19.已知函数，．（1）若在点处取得极值．①求值；②证明：；（2）求的单调区间．解：（1）①由于函数，得，因为在点处取得极值，所以,所以，经检验导函数在区间上小于，在区间上大于，故在点处取得极小值．②由①得，，．令，解得．当x变化时，，的变化情况如表所示．x1－0＋单调递减1单调递增所以，当时，取得最小值．所以，即．（2）函数的定义域为，且，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令解得，的解集为，的解集为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.20.已知函数，，．（1）求函数的导数；（2）若对任意的，，使得成立，求a的取值范围；（3）设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值