2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市红山区部分学校高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2内蒙古自治区赤峰市红山区部分学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章7.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若服从两点分布，，则（）A.0.57 B.0.67 C.0.68 D.0.77〖答案〗B〖解析〗依题意可得，，所以故选：B.2.函数的图象在处的切线斜率为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以.故选：A3.的展开式中的系数为（）A.1 B.6 C.12 D.24〖答案〗C〖解析〗的展开式的通项公式为，令幂指数，求得，故展开式中的系数为，故选：C4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗故选：B.5.已知函数的导函数存在两个零点，则a的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由,得,由导函数存在两个零点，则，解得.故选:.6.已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，，单调递减，当时，，单调递增，则.因为，所以的值域为.故选：D.7.15名学生与5名老师站成一排拍照，要求5名老师两两不相邻，则不同的排法数为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗先将15名学生的位置进行全排，有种，再从产生的16个空位选5个排5名老师，共有种，所以不同的排法数为.故选：D.8.若则（）A. B. C.9 D.63〖答案〗A〖解析〗对等式两边同时求导，得，即，令，得.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（）A.该物体瞬时速度的最小值为1m/s B.该物体瞬时速度的最小值为2m/sC.该物体在第1s时的动能为16J D.该物体在第1s时的动能为8J〖答案〗AD〖解析〗由题意得，则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误.由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确.故选：AD.10.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（）A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况〖答案〗ACD〖解析〗对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况，A正确．对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，B错误．对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有种不同获奖情况，C正确．对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，D正确．故选：ACD11.已知随机变量的分布列分别如表所示，且则（）123123a0.5bb0.5aA. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由分布列性质可知且,,,所以，故A正确；，则,故B正确；,则,故C错误；则,故D正确；故选:ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有______种.〖答案〗15〖解析〗根据分类加法计数原理，不同的选法共有5+5+5=15种.故〖答案〗为：.13.已知,则_______.〖答案〗7〖解析〗由，则，故,.故〖答案〗为：14.现有佛山某中学研究性学习课题小组，他们在研究某一圆柱形饮料罐的容积、表面积（用料）时遇到了一些困难，请你一起思考并帮助他们解决如下问题：当圆柱形饮料罐的容积V一定时，要使得饮料罐的表面积S最小，圆柱形饮料罐的高h和底面半径r需满足的关系式为__________．〖答案〗〖解析〗由，得，则，，所以．令，解得，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，当时，取得最小值，此时．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演纂步骤.15.已知.（1）求；（2）求；解：（1）由题意得，在中，令，有，所以；（2）在中，令，有，由（1）可得，所以.16.甲、乙两人参加知识竞赛，按甲先乙后的次序，每人通过不放回抽签的方式抽取一道试题，回答正确即可晋级.已知被抽取的5道试题中有2道是难题，3道是基础题.（1）求甲抽到难题的概率；（2）在甲抽到基础题的情况下，求乙也抽到基础题的概率；（3）若甲答对难题、基础题的概率分别为0.6，0.9，求甲晋级的概率.解：（1）甲抽到难题的概率为（2）在甲抽到基础题的情况下，乙也抽到基础题的概率为（3）由全概率公式可知甲晋级的概率为17.不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从袋子中随机取出4个小球．（1）求取出的红球个数大于黄球个数的概率；（2）记取出的红球个数为X，求X的分布列与期望．解：（1）一个口袋里装有大小相同袋子中装有6个红球，3个黄球，现从中任意取出4个小球，基本事件总数，其中红球个数大于黄球个数的基本事件个数，红球个数大于黄球个数的概率是；（2）若变量为取出的四个小球中红球的个数，则的可能取值为1，2，3，4，，，，1234数学期望．18.在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个.（1）求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数；（2）求这n个点能确定的直线的条数；（3）若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数.解：（1）点的横、纵坐标均有4种可能，则，所以所求线段的条数为.（2）如图，在这个点中，仅有4点共线的直线有9条，仅有3点共线的直线有6条，所以这个点能确定的直线的条数为（3）从这个点中选出3个点，共有种选法.在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为.19.已知函数（1）当时，求的零点；（2）若恰有两个极值点，求的取值范围.解：（1）当时，等价于.令，则，所以在上单调递增.因为，所以有且仅有一个零点.（2）由，得.令，则若，则在上恒成立，故在上单调递增，最多只有一个零点，则最多只有一个极值点，不符合题意；若，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则.令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，从而.显然，当时，，则，.令，则，设，则，由，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，故单调递增.当时，，即，则因为，所以，.当时，，当时，，则的单调递增区间为和，单调递减区间为，则恰有两个极值点.故当恰有两个极值点时，的取值范围为.内蒙古自治区赤峰市红山区部分学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章7.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若服从两点分布，，则（）A.0.57 B.0.67 C.0.68 D.0.77〖答案〗B〖解析〗依题意可得，，所以故选：B.2.函数的图象在处的切线斜率为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以.故选：A3.的展开式中的系数为（）A.1 B.6 C.12 D.24〖答案〗C〖解析〗的展开式的通项公式为，令幂指数，求得，故展开式中的系数为，故选：C4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗故选：B.5.已知函数的导函数存在两个零点，则a的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由,得,由导函数存在两个零点，则，解得.故选:.6.已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，，单调递减，当时，，单调递增，则.因为，所以的值域为.故选：D.7.15名学生与5名老师站成一排拍照，要求5名老师两两不相邻，则不同的排法数为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗先将15名学生的位置进行全排，有种，再从产生的16个空位选5个排5名老师，共有种，所以不同的排法数为.故选：D.8.若则（）A. B. C.9 D.63〖答案〗A〖解析〗对等式两边同时求导，得，即，令，得.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（）A.该物体瞬时速度的最小值为1m/s B.该物体瞬时速度的最小值为2m/sC.该物体在第1s时的动能为16J D.该物体在第1s时的动能为8J〖答案〗AD〖解析〗由题意得，则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误.由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确.故选：AD.10.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（）A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况〖答案〗ACD〖解析〗对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况，A正确．对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，B错误．对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有种不同获奖情况，C正确．对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，D正确．故选：ACD11.已知随机变量的分布列分别如表所示，且则（）123123a0.5bb0.5aA. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由分布列性质可知且,,,所以，故A正确；，则,故B正确；,则,故C错误；则,故D正确；故选:ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有______种.〖答案〗15〖解析〗根据分类加法计数原理，不同的选法共有5+5+5=15种.故〖答案〗为：.13.已知,则_______.〖答案〗7〖解析〗由，则，故,.故〖答案〗为：14.现有佛山某中学研究性学习课题小组，他们在研究某一圆柱形饮料罐的容积、表面积（用料）时遇到了一些困难，请你一起思考并帮助他们解决如下问题：当圆柱形饮料罐的容积V一定时，要使得饮料罐的表面积S最小，圆柱形饮料罐的高h和底面半径r需满足的关系式为__________．〖答案〗〖解析〗由，得，则，，所以．令，解得，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，当时，取得最小值，此时．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演纂步骤.15.已知.（1）求；（2）求；解：（1）由题意得，在中，令，有，所以；（2）在中，令，有，由（1）可得，所以.16.甲、乙两人参加知识竞赛，按甲先乙后的次序，每人通过不放回抽签的方式抽取一道试题，回答正确即可晋级.已知被抽取的5道试题中有2道是难题，3道是基础题.（1）求甲抽到难题的概率；（2）在甲抽到基础题的情况下，求乙也抽到基础题的概率；（3）若甲答对难题、基础题的概率分别为0.6，0.9，求甲晋级的概率.解：（1）甲抽到难题的概率为（2）在甲抽到基础题的情况下，乙也抽到基础题的概率为（3）由全概率公式可知甲晋级的概率为17.不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从袋子中随机取出4个小球．（1）求取出的红球个数大于黄球个数的概率；（2）记取出的红球个数为X，求X的分布列与期望．解：（1）一个口袋里装有大小相同袋子中装有6个红球，3个黄球，现从中任意取出4个小球，基本事件总数，其中红球