2022-2023学年江苏省盐城市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.M，N关系不确定〖答案〗B〖解析〗，，则.故选：B.2.在中，已知，，，则角的度数为（）A. B. C.或 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，于是，由正弦定理得，∴.故选：B.3.已知一组样本数据，，…，的均值和方差分别为2和0.25，则，，…，的均值和方差分别为（）A.6和0.75 B.8和0.75 C.8和2.25 D.6和2.25〖答案〗C〖解析〗由题意得，故，则，即，，…，的均值为，又，故，解得，故，故，，…，的方差为.故选：C.4.函数的零点为，且，，则k的值为（）A.1 B.2 C.0 D.3〖答案〗A〖解析〗因为在上单调递增，又，所以.故选：A.5.已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则.故选：D.6.欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，又余弦函数在上单调递减，则，即；又正切函数在上单调递增，则，综上.故选：C.8.柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，令，又，，，所以，当且仅当即时等号成立，即，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（）A.事件为互斥事件 B.事件为相互独立事件C. D.〖答案〗BCD〖解析〗一等品2件记为，二等品1件记为，次品1件记为，则从这4件产品中抽2件的基本事件有：共6件，事件A的基本事件有共1件，故，事件B的基本事件有共2件，故，事件C的基本事件有共3件，故，事件D的基本事件有共5件，故，A.事件A与事件B没有交事件，故为互斥事件，故A正确；B.由选项A可知，显然，所以事件A，B不为相互独立事件，故B错误；C.由上述分析易知，故C错误；D，，所以，故D错误.故选：BCD.10.声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是.其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是，某声音函数，下列说法正确的是（）A.函数在区间单调递增B.函数的最小正周期为2πC.函数的声音比纯音的尖锐D.函数的响度比纯音的响度大〖答案〗ABD〖解析〗选项A：当时，均单调递增，则当时，单调递增，判断正确；选项B：的最小正周期分别为，则函数的最小正周期为2π，判断正确；选项C：函数的周期为2π，频率为；函数的周期为π，频率为，由，可得函数的声音比纯音的低沉，判断错误；选项D：振幅为1，，则函数的振幅大于的振幅，则函数的响度比纯音的响度大，判断正确.故选：ABD.11.若复数z满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为B.C.若复数w满足，则的最小值为D.若z在复平面内对应的点为，则在向量的投影向量为〖答案〗BCD〖解析〗A选项，，故虚部为，A错误；B选项，，B正确；C选项，设，，则，所以，可将看作圆心为，半径为3的圆上和内部的点，其中几何意义是点到原点的距离，显然最小距离为到原点的距离减去半径，即最小值为，C正确；D选项，若z在复平面内对应的点为，则，故在向量投影向量为.故选：BCD.12.已知正三棱台，，，下列说法正确的是（）A.正三棱台体积为B.侧棱与底面所成角的余弦值为C.点A到面的距离为2D.三棱台的外接球的表面积为〖答案〗BCD〖解析〗设中心为，中心为O，连接，则，在四边形中，过作于D，则，则，取中点N，过点N作，交于H，交直线于M，则点M为三棱台的外接球的球心，由，可得，则，，由，可得，选项A：正三棱台体积为，判断错误；选项B：设侧棱与底面所成角为，则，又，则，则侧棱与底面所成角的余弦值为，判断正确；选项C：设点A到面的距离为h，由，可得，又等腰梯形中，，则，则，解之得，则点A到面的距离为，判断正确；选项D：三棱台的外接球的半径为，则三棱台的外接球的表面积为，判断正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的上四分位数是_______.〖答案〗86〖解析〗成绩从小到大排序为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，则，所以这组数据的上四分位数是86.故〖答案〗为：86.14.已知向量，的夹角为，，，则______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.15.在中，内角，，所对的边，，满足，则_______，三角形为锐角三角形，则的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，所以，所以，所以，又，则，所以或，若，则，显然不符合题意，故舍去，所以，即，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，则，所以，因为，所以，令，则，令，，因为在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，即的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知正四面体的棱长为4，三棱柱内接于正四面体（如图），其中E，F，G分别在侧棱，，上，M，N，H在平面内，则该三棱柱的体积最大值为_______.（均值不等式的n维形式为：≤()，当且仅当时取等号）〖答案〗〖解析〗如图所示，分别取和的中心和，连接，则平面，因为正四面体的棱长为，则底面是边长为的等边三角形，可得，所以，由四面体为正四面体，可得三棱柱为正三棱柱，设等边的边长为，因为四面体为正四面体，所以四面体也为正四面体，同理可得，所以，所以，该三棱柱的体积为，当且仅当时，即时，等号成立，所以四棱柱体积的最大值为.故〖答案〗为：..四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在内的人数为5.（1）若用分层抽样的方法从时长在，内的学生中抽取6名参加座谈，再从这6名学生中随机抽取2名发言，求这2名发言学生中至少有1名时长在内的概率；（2）在（1）的条件下，记抽取的2名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率.解：（1）由于，内的学生比例为，故抽取的人数分别为4人和2人，若分别记为，，，，和，，从这6名学生中随机抽取2名学生，这样的样本点为共有15种情况，其中2名发言学生都不在中的情况只有一种，故事件的概率为.（2）给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，记为，则这样的样本点共有9个：，其中甲比乙高的分别是：甲80元乙50元；甲100元乙50元；甲100元乙80元这样三种情况，所以甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率为.18.已知函数的最大值为.（1）求常数m的值；（2）求函数的单调递增区间及图象的对称中心.解：（1），由函数的最大值为，可得，解得.（2）由（1）可得，由，可得，则函数的单调递增区间为；由，可得，则函数的对称中心为，.19.如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是PA的中点，点F为PC的中点.（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求二面角的大小.解：（1）取AC中点M，连接BM，FM，因为F，M分别为PC，AC的中点，所以，所以（或其补角）为异面直线BF和PA所成角，因为，C为以AB为直径的圆上的点，所以在直角三角形BCM中，，，可得，因为点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，所以面，又因为BC，BA在平面ABC内，所以，，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，所以，即异面直线和所成角为.（2）由（1）知，，且，平面，所以面，因为面，所以，又因为，所以为二面角的平面角，又由平面，平面，所以，因，所以为等腰三角形，又因为为的中点，所以且，所以，所以二面角为.20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求；（2）若D在边BC上且，，求AD的长.解：（1）因为，，所以，所以，得即.（2）因为，所以，解得，因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以.21.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知四面体是“鳖臑”，PA=AC=2，AB=，M，N分别为PC，AC的中点，Q在线段PB上，且PQ=2QB.（1）求证：平面；（2）求四面体内切球的表面积.解：（1）连接与相交于点，连接、，因为，分别为，的中点，则且，所以，所以，又，所以，所以，则，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）由题意四面体是“鳖臑”，，，显然可得，，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，若，则，此时，则不是直角三角形，不符合题意，又，所以，，平面，所以平面，平面，所以，符合题意，则，所以，，，，又，设内切球的半径为，所以，即，解得，所以.22.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，，，都有≥成立，则称函数为理想函数.（1）判断函数()是否为理想函数，并予以证明；（2）若函数为理想函数且，求的值；（3）已知函数为理想函数，若，使得，求的值.解：（1）不妨取，则，，与矛盾，故该函数不是理想函数.（2）由，，，都有成立，知，又，所以，综上，.（3）由（2）知，当时，有与矛盾，同理当时，有与矛盾，故，即为方程在区间上的根，易知或者.江苏省盐城市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.M，N关系不确定〖答案〗B〖解析〗，，则.故选：B.2.在中，已知，，，则角的度数为（）A. B. C.或 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，于是，由正弦定理得，∴.故选：B.3.已知一组样本数据，，…，的均值和方差分别为2和0.25，则，，…，的均值和方差分别为（）A.6和0.75 B.8和0.75 C.8和2.25 D.6和2.25〖答案〗C〖解析〗由题意得，故，则，即，，…，的均值为，又，故，解得，故，故，，…，的方差为.故选：C.4.函数的零点为，且，，则k的值为（）A.1 B.2 C.0 D.3〖答案〗A〖解析〗因为在上单调递增，又，所以.故选：A.5.已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则.故选：D.6.欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，又余弦函数在上单调递减，则，即；又正切函数在上单调递增，则，综上.故选：C.8.柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，令，又，，，所以，当且仅当即时等号成立，即，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（）A.事件为互斥事件 B.事件为相互独立事件C. D.〖答案〗BCD〖解析〗一等品2件记为，二等品1件记为，次品1件记为，则从这4件产品中抽2件的基本事件有：共6件，事件A的基本事件有共1件，故，事件B的基本事件有共2件，故，事件C的基本事件有共3件，故，事件D的基本事件有共5件，故，A.事件A与事件B没有交事件，故为互斥事件，故A正确；B.由选项A可知，显然，所以事件A，B不为相互独立事件，故B错误；C.由上述分析易知，故C错误；D，，所以，故D错误.故选：BCD.10.声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是.其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是，某声音函数，下列说法正确的是（）A.函数在区间单调递增B.函数的最小正周期为2πC.函数的声音比纯音的尖锐D.函数的响度比纯音的响度大〖答案〗ABD〖解析〗选项A：当时，均单调递增，则当时，单调递增，判断正确；选项B：的最小正周期分别为，则函数的最小正周期为2π，判断正确；选项C：函数的周期为2π，频率为；函数的周期为π，频率为，由，可得函数的声音比纯音的低沉，判断错误；选项D：振幅为1，，则函数的振幅大于的振幅，则函数的响度比纯音的响度大，判断正确.故选：ABD.11.若复数z满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为B.C.若复数w满足，则的最小值为D.若z在复平面内对应的点为，则在向量的投影向量为〖答案〗BCD〖解析〗A选项，，故虚部为，A错误；B选项，，B正确；C选项，设，，则，所以，可将看作圆心为，半径为3的圆上和内部的点，其中几何意义是点到原点的距离，显然最小距离为到原点的距离减去半径，即最小值为，C正确；D选项，若z在复平面内对应的点为，则，故在向量投影向量为.故选：BCD.12.已知正三棱台，，，下列说法正确的是（）A.正三棱台体积为B.侧棱与底面所成角的余弦值为C.点A到面的距离为2D.三棱台的外接球的表面积为〖答案〗BCD〖解析〗设中心为，中心为O，连接，则，在四边形中，过作于D，则，则，取中点N，过点N作，交于H，交直线于M，则点M为三棱台的外接球的球心，由，可得，则，，由，可得，选项A：正三棱台体积为，判断错误；选项B：设侧棱与底面所成角为，则，又，则，则侧棱与底面所成角的余弦值为，判断正确；选项C：设点A到面的距离为h，由，可得，又等腰梯形中，，则，则，解之得，则点A到面的距离为，判断正确；选项D：三棱台的外接球的半径为，则三棱台的外接球的表面积为，判断正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的上四分位数是_______.〖答案〗86〖解析〗成绩从小到大排序为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，则，所以这组数据的上四分位数是86.故〖答案〗为：86.14.已知向量，的夹角为，，，则______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.15.在中，内角，，所对的边，，满足，则_______，三角形为锐角三角形，则的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，所以，所以，所以，又，则，所以或，若，则，显然不符合题意，故舍去，所以，即，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，则，所以，因为，所以，令，则，令，，因为在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，即的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知正四面体的棱长为4，三棱柱内接于正四面体（如图），其中E，F，G分别在侧棱，，上，M，N，H在平面内，则该三棱柱的体积最大值为_______.（均值不等式的n维形式为：≤()，当且仅当时取等号）〖答案〗〖解析〗如图所示，分别取和的中心和，连接，则平面，因为正四面体的棱长为，则底面是边长为的等边三角形，可得，所以，由四面体为正四面体，可得三棱柱为正三棱柱，设等边的边长为，因为四面体为正四面体，所以四面体也为正四面体，同理可得，所以，所以，该三棱柱的体积为，当且仅当时，即时，等号成立，所以四棱柱体积的最大值为.故〖答案〗为：..四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在内的人数为5.（1）若用分层抽样的方法从时长在，内的学生中抽取6名参加座谈，再从这6名学生中随机抽取2名发言，求这2名发言学生中至少有1名时长在内的概率；（2）在（1）的条件下，记抽取的2名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率.解：（1）由于，内的学生比例为，故抽取的人数分别为4人和2人，若分别记为，，，，和，，从这6名学生中随机抽取2名学生，这样的样本点为共有15种情况，其中2名发言学生都不在中的情况只有一种，故事件的概率为.（2）给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，记为，则这样的样本点共有9个：，其中甲比乙高的分别是：甲80元乙50元；甲100元乙50元；甲100元乙80元这样三种情况，所以甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率为.18.已知函数的最大值为.（1）求常数m的值；（2）求函数的单调递增区间及图象的对称中心.解：（1），由函数的最大值为，可得，解得.（2）由（1）可得，由，可得，则函数的单调递增区间为；由，可得，则函数的对称中心为，.19.如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是PA的中点，点F为PC的中点.（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求二面角的大小.解：（1）取AC中点M，连接BM，FM，因为F，M分别为PC，AC的中点