2023-2024学年河南省郑州市十校高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河南省郑州市十校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知函数，则自变量x由1变到1.1时，的平均变化率为（）A.0.21 B. C.2.1 D.〖答案〗C〖解析〗平均变化率.故选：C.2.《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没·逆转时空》引爆了贺岁电影市场，三名同学从四部影片中各自任选一部观看，则不同选择方法的总数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由分步乘法原理可得共有种，故选：B.3.下列求导运算正确的是（）A.，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗D〖解析〗对于A，，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：D．4.函数在区间上的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令解得或，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以在得极大值为，又，所以函数在区间上最大值为，故选：D．5.若的展开式中的系数为30，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由二项式的展开式的通项为，则的展开式中为可得，解得.故选：A.6.2024年元旦假期三天，哈尔滨接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排5名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，每人只能去一个景点，则不同的安排方法共有（）A.60种 B.90种 C.150种 D.300种〖答案〗C〖解析〗分两类完成这件事情：第一类：将5名鄂伦春小伙分为三组，其中两组每组2人，另一组1人，再分配到三个不同的景点，共有种；第二类：将5名鄂伦春小伙分为三组，其中两组每组1人，另一组3人，再分配到三个不同的景点，共有种，利用分步加法计数原理得，共有种，故选：C.7.已知，则（）A.31 B.32 C.15 D.16〖答案〗A〖解析〗逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以．故选:A8.已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，因为，所以，即，所以在R上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在R上单调递减，所以，解得.故选:B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不选得0分．9.对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则 B.若A与B互斥，则C.若，则 D.若A与B相互独立，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，A与B互斥，则，A错误；对于B，A与B互斥，则，B正确；对于C，，则，C错误；对于D，A与B相互独立，则，D正确.故选：BD10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A.如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲、乙不相邻的排法种数为72种D.甲在乙左边的排列的排法有30种〖答案〗BC〖解析〗对于A，如果甲、乙必须相邻，那么将甲乙捆绑，不同的排法有种，所以选项A错误；对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法分为两类：甲排最左端：种；乙排最左端：种，即不同排法共有种，所以选项B正确；对于C，甲、乙不相邻的排法种数为种，所以选项C正确；对于D，甲在乙左边的排列的排法有种，所以选项D错误.故选：BC11.为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动．决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答．设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故，A正确；B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故，B正确；C选项，，C正确；D选项，因为，所以，又，故，D错误故选：ABC12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，D当时，方程由三个实数根〖答案〗AB〖解析〗对于A，由，得，即，解得，因此函数存在两个不同的零点，A正确；对于B，求导得，当或时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，当时，取得极小值，当时，取得极大值，B正确；对于C，显然，C错误；对于D，结合A分析可知，当时，方程只有两个实数根，D错误.故选：AB第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分·13.______〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗为：14.随机变量X满足，则随机变量X的期望______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，，；所以，所以的分布列为：所以故〖答案〗为：.15.“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，，…，，其中是在处的切线与x轴交点的横坐标，是在处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当足够小时，就可以把的值作为方程的近似解．若，，则方程的近似解______．〖答案〗〖解析〗由题可得，，则，所以在处的切线方程为：，令，解得，即方程的近似解，故〖答案〗为：．16.若不等式在时恒成立，则正实数的最大值为______．〖答案〗1〖解析〗由可得，所以，设，则，即为，因为，所以函数在上单调递减，因为，，所以，，从而等价于，即，由于曲线在处的切线方程为：，所以当且仅当时，在上恒成立，所以正实数的最大值为1；故〖答案〗为：1四、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.随机变量的分布列如下表，随机变量．01（1）求；（2）求．解：（1），．（2），．18.某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片．原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序，这三道工序互不影响．已知三道工序产生不合格产品的概率分别为、、，三道工序均合格的产品成为正品，否则成为次品．（1）求该企业原有生产线的次品率；（2）为了提高产量，该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片，两条生产线生产出的芯片随机混放在一起．已知新生产线的次品率为，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍．从混放的芯片中任取一个，计算它是次品的概率．解：（1）该企业原有生产线的正品率为，所以该企业原有生产线的次品率为.（2）记“任取一个芯片来自原生产线”为事件，“任取一个芯片来自新生产线”为事件，记“任取一个芯片是次品”为事件，则，，且，，所以，即从混放的芯片中任取一个，它是次品的概率为．19.已知曲线．（1）若在处有极大值，求的值；（2）若，求过点（2，8）且与曲线相切的直线方程．解：（1）函数在处有极大值，令，解得或，若，解得，则，时，时，可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．函数在处有极大值，满足题意．若，，时，时，可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．可得处有极小值，舍去，．（2）当时，，，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，将点代入，化为，因式分解为，解得或，故切线方程为或．20.（1）已知函数，若在区间上存在减区间，求a的取值范围；（2）已知函数，讨论函数的单调性．解：（1），若函数在区间上存在减区间，则在上存在有解区间，即，使得成立，记，，，易得，故，解得，则a的取值范围为；（2）因为，，，当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．21.新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.解：（1）因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：；（2）甲同学的两题得分的可能取值为所以，，，所以的分布列为：因此（分），乙同学第11题可能得分为：，，，乙同学第12题可能得分为：，，，乙同学的两题得分的可能取值为，所以，，，，所以的分布列为：因此(分)，因为，所以甲同学的方案更优.22.已知函数．（1）当，时，求证恒成立；（2）当时，，求整数的最大值．解：（1）当，时，记，则，因为在上单调递增，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以恒成立.（2）当时，，即，因为，所以只需，令，，令，，在上是增函数，，，根据零点存在定理，，使得，即，即，当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以，故；又在上单调递增，，所以，又，所以．所以整数的最大值是.河南省郑州市十校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知函数，则自变量x由1变到1.1时，的平均变化率为（）A.0.21 B. C.2.1 D.〖答案〗C〖解析〗平均变化率.故选：C.2.《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没·逆转时空》引爆了贺岁电影市场，三名同学从四部影片中各自任选一部观看，则不同选择方法的总数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由分步乘法原理可得共有种，故选：B.3.下列求导运算正确的是（）A.，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗D〖解析〗对于A，，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：D．4.函数在区间上的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令解得或，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以在得极大值为，又，所以函数在区间上最大值为，故选：D．5.若的展开式中的系数为30，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由二项式的展开式的通项为，则的展开式中为可得，解得.故选：A.6.2024年元旦假期三天，哈尔滨接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排5名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，每人只能去一个景点，则不同的安排方法共有（）A.60种 B.90种 C.150种 D.300种〖答案〗C〖解析〗分两类完成这件事情：第一类：将5名鄂伦春小伙分为三组，其中两组每组2人，另一组1人，再分配到三个不同的景点，共有种；第二类：将5名鄂伦春小伙分为三组，其中两组每组1人，另一组3人，再分配到三个不同的景点，共有种，利用分步加法计数原理得，共有种，故选：C.7.已知，则（）A.31 B.32 C.15 D.16〖答案〗A〖解析〗逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以．故选:A8.已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，因为，所以，即，所以在R上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在R上单调递减，所以，解得.故选:B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不选得0分．9.对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则 B.若A与B互斥，则C.若，则 D.若A与B相互独立，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，A与B互斥，则，A错误；对于B，A与B互斥，则，B正确；对于C，，则，C错误；对于D，A与B相互独立，则，D正确.故选：BD10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A.如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲、乙不相邻的排法种数为72种D.甲在乙左边的排列的排法有30种〖答案〗BC〖解析〗对于A，如果甲、乙必须相邻，那么将甲乙捆绑，不同的排法有种，所以选项A错误；对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法分为两类：甲排最左端：种；乙排最左端：种，即不同排法共有种，所以选项B正确；对于C，甲、乙不相邻的排法种数为种，所以选项C正确；对于D，甲在乙左边的排列的排法有种，所以选项D错误.故选：BC11.为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动．决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答．设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故，A正确；B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故，B正确；C选项，，C正确；D选项，因为，所以，又，故，D错误故选：ABC12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，D当时，方程由三个实数根〖答案〗AB〖解析〗对于A，由，得，即，解得，因此函数存在两个不同的零点，A正确；对于B，求导得，当或时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，当时，取得极小值，当时，取得极大值，B正确；对于C，显然，C错误；对于D，结合A分析可知，当时，方程只有两个实数根，D错误.故选：AB第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分·13.______〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗为：14.随机变量X满足，则随机变量X的期望______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，，；所以，所以的分布列为：所以故〖答案〗为：.15.“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，，…，，其中是在处的切线与x轴交点的横坐标，是在处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当足够小时，就可以把的值作为方程的近似解．若，，则方程的近似解______．〖答案〗〖解析〗由题可得，，则，所以在处的切线方程为：，令，解得，即方程的近似解，故〖答案〗为：．16.若不等式在时恒成立，则正实数的最大值为______．〖答案〗1〖解析〗由可得，所以，设，则，即为，因为，所以函数在上单调递减，因为，，所以，，从而等价于，即，由于曲线在处的切线方程为：，所以当且仅当时，在上恒成立，所以正实数的最大值为1；故〖答案〗为：1四、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.随机变量的分布列如下表，随机变量．01（1）求；（2）求．解：（1），．（2），．18.某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片．原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序，这三道工序互不影响．已知三道工序产生不合格产品的概率分别为、、，三道工序均合格的产品成为正品，否则成为次品．（1）求该企业原有生产线的次品率；（2）为了提高产量，该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片，两条生产线生产出的芯片随机混放在一起．已知新生产线的次品率为，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍．从混放的芯片中任取一个，计算它是次品的概率．解：（1）该企业原有生产线的正品率为，所以该企业原有生产线的次品率为.（2）记“任取一个芯片来自原生产线”为事件，“任取一个芯片来自新生产线”为事件，记“任取一个芯片是次品”为事件，则，，且，，所以，即从混放的芯片中任取一个，它是次品的概率为．19.已知曲线．（1）若在处有极大值，求的值；（2）若，求过点（2，8）且与曲线相切的直线方程．解：（1）函数在处有极大值，令，解得或，若，解得，则，时，时，可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．函数在处有极大值，满足题意．若，，时，时，可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．可得处有极小值，舍去，．（2）当时，，，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，将点代入，化为，因式分解为，解得或，故切线方程为或．20.（1）已知函数，若在区间上存在减区间，求a的取值范围；（2）已知函数，讨论函数的单调性．解：（1），若函数在区间上存在减区间，则在上存在有解区间，即，使得成立，记，，，易得，故，解得，则a的取值范围为；（2）因为，，，当时，