2022-2023学年天津市部分区高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市部分区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差〖答案〗C〖解析〗根据平均数、中位数、众数和方差的意义，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，不论是7个有效评分，还是9个原始评分，中间位置的评分不变，所以不变的数字特征为中位数.故选：C.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）A.正方形的直观图是正方形 B.矩形的直观图是矩形C.菱形直观图是菱形 D.平行四边形的直观图是平行四边形〖答案〗D〖解析〗根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半，对于A中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以A错误；对于B中，矩形的直角，在直观图中变为或，不是矩形，所以B错误；对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.故选：D.3.已知向量，，则（）A.-3 B.-1 C.2 D.(-1，-2)〖答案〗A〖解析〗因为，，所以.故选：A.4.若为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（）A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥C.A与B相等 D.P(A)=P(B)〖答案〗D〖解析〗抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种结果，事件A包含的结果有：（正，正），（正，反）2种，事件B包含的结果有：（正，正），（反，正）2种，显然事件A和事件B都包含（正，正）这一结果，即事件A和事件B能同时发生，所以事件A和事件B既不对立也不互斥，故选项A、B错误；事件A和事件B中有不同的结果，所以事件A和事件B不相等，故选项C错误；由古典概型得，所以，故选项D正确.故选：D.6.将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，则球的直径为1，半径为，所以能制作的最大零件的体积为.故选：A.7.在中，角的对边分别为.若，，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，在中，根据正弦定理得，所以.故选：B.8.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设甲、乙获一等奖的概率分别是，不获一等奖的概率是，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：.故选：D.9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对A，若，，则，故A错；对B，若，，则有可能或，故B错；对C，若，，则有可能或与相交，故C错；对D，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D正确.故选：D.10.在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，，，因为，，所以，，所以，因为，所以，函数开口向下，对称轴为，当时，取最大值.故选：A.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.若事件与互斥，且，，则______.〖答案〗0.8〖解析〗因为事件与互斥，且，，所以.故〖答案〗为：0.8.12.已知向量，，若存在实数，满足，则实数的值为______.〖答案〗6〖解析〗因，所以，所以，得.故〖答案〗为：6.13.某工厂对一批产品的长度（单位：）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在以下的产品有30个，则长度在区间内的产品个数为______.〖答案〗55〖解析〗由频率分布直方图可知，长度在区间内的频率为，长度在以下的频率为，则长度在区间内的产品个数为.故〖答案〗为：55.14.在长方体中，若，是棱的中点，则直线与所成的角的大小为______.〖答案〗〖解析〗由题意，连接，作图如下：在长方体中，显然，则为直线与的夹角，由为的中点，且，则，即，故为等边三角形，则.故〖答案〗为：.15.在中，，，.若，，且，则的值为______.〖答案〗2〖解析〗∵，，∴，，∵，∴，则，解得.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知是虚数单位，复数，.（1）当时，求；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.解：（1）当时，，所以.（2）若复数是纯虚数，则，解得，所以.（3）复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，即，所以，实数的取值范围是.17.甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下：甲78795491074乙9578768677（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数；（2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由.注：一组数据的平均数为，它的方差为.解：（1）根据题意可知，甲的数据里的众数是7；把甲的数据按从小到大排列如下：44577789910，因为85%10=8.5所以第9个数据是第85百分位数，所以第85百分位数为9.（2），；，.（3）由（2）知，，即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛.18.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，求的面积.解：（1）由正弦定理及，得，因为，所以，因为是锐角三角形，所以.（2）由及余弦定理，得，解得，所以.19.一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异.（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用表示，白球的标号用表示.求满足条件的概率.解：（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则，，又事件A与B相互独立，所以，.（2）从中摸两个球，所得样本空间为，包含10个样本点，满足条件的样本点有共3个，满足条件的事件的概率为.20.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成的角的正切值.解：（1）证明：因为，平面，平面，所以平面.（2）因为四边形为正方形，所以，又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（3）连接，设，因为，所以，，又因为∥，所以，由余弦定理得，所以，即，由（2）知平面，平面，则，而平面，所以平面，所以就是直线与平面所成的角，在中，，所以直线与平面所成的角的正切值为.天津市部分区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差〖答案〗C〖解析〗根据平均数、中位数、众数和方差的意义，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，不论是7个有效评分，还是9个原始评分，中间位置的评分不变，所以不变的数字特征为中位数.故选：C.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）A.正方形的直观图是正方形 B.矩形的直观图是矩形C.菱形直观图是菱形 D.平行四边形的直观图是平行四边形〖答案〗D〖解析〗根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半，对于A中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以A错误；对于B中，矩形的直角，在直观图中变为或，不是矩形，所以B错误；对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.故选：D.3.已知向量，，则（）A.-3 B.-1 C.2 D.(-1，-2)〖答案〗A〖解析〗因为，，所以.故选：A.4.若为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（）A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥C.A与B相等 D.P(A)=P(B)〖答案〗D〖解析〗抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种结果，事件A包含的结果有：（正，正），（正，反）2种，事件B包含的结果有：（正，正），（反，正）2种，显然事件A和事件B都包含（正，正）这一结果，即事件A和事件B能同时发生，所以事件A和事件B既不对立也不互斥，故选项A、B错误；事件A和事件B中有不同的结果，所以事件A和事件B不相等，故选项C错误；由古典概型得，所以，故选项D正确.故选：D.6.将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，则球的直径为1，半径为，所以能制作的最大零件的体积为.故选：A.7.在中，角的对边分别为.若，，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，在中，根据正弦定理得，所以.故选：B.8.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设甲、乙获一等奖的概率分别是，不获一等奖的概率是，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：.故选：D.9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对A，若，，则，故A错；对B，若，，则有可能或，故B错；对C，若，，则有可能或与相交，故C错；对D，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D正确.故选：D.10.在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，，，因为，，所以，，所以，因为，所以，函数开口向下，对称轴为，当时，取最大值.故选：A.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.若事件与互斥，且，，则______.〖答案〗0.8〖解析〗因为事件与互斥，且，，所以.故〖答案〗为：0.8.12.已知向量，，若存在实数，满足，则实数的值为______.〖答案〗6〖解析〗因，所以，所以，得.故〖答案〗为：6.13.某工厂对一批产品的长度（单位：）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在以下的产品有30个，则长度在区间内的产品个数为______.〖答案〗55〖解析〗由频率分布直方图可知，长度在区间内的频率为，长度在以下的频率为，则长度在区间内的产品个数为.故〖答案〗为：55.14.在长方体中，若，是棱的中点，则直线与所成的角的大小为______.〖答案〗〖解析〗由题意，连接，作图如下：在长方体中，显然，则为直线与的夹角，由为的中点，且，则，即，故为等边三角形，则.故〖答案〗为：.15.在中，，，.若，，且，则的值为______.〖答案〗2〖解析〗∵，，∴，，∵，∴，则，解得.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知是虚数单位，复数，.（1）当时，求；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.解：（1）当时，，所以.（2）若复数是纯虚数，则，解得，所以.（3）复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，即，所以，实数的取值范围是.17.甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下：甲78795491074乙9578768677（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数；（2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由.注：一组数据的平均数为，它的方差为.解：（1）根据题意可知，甲的数据里的众数是7；把甲的数据按从小到大排列如下：445777899