2022-2023学年山东省泰安市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省泰安市2022-2023学年高一下学期期末试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，所以，则在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知，，，则（）A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1〖答案〗B〖解析〗因为，，，则，所以事件与事件不相互独立，．故选：B.3.如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由斜二测画法得，在原图矩形ABCD中，，所以该圆柱的高为，底面半径为，故该圆柱的体积为．故选：B.4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗B〖解析〗对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；对于B选项，若，，则，故B选项正确；对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误；对于D选项，若，，则或，故D选项错误.故选：B.5.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是（）A.周岁人群参保总费用最少B.30周岁以下的参保人群约占参保人群的C.54周岁以上的参保人数最少D.丁险种更受参保人青睐〖答案〗A〖解析〗对于选项A，由扇形统计图及折线图可知，，故不小于周岁人群参保总费用最少，故A错误；对于选项B，由扇形统计图可知，周岁以下参保人群约占参保人群的，故B正确；对于选项C，由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占，人数最小，故C正确；对于选项D，由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确.故选：A．6.抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则（）A.甲乙互斥 B.乙丙互为对立C.甲乙相互独立 D.甲丙相互独立〖答案〗D〖解析〗由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：，则；乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”包含的基本事件有：，则；丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”包含的基本事件有：，则；对于A，甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A错误；对于B，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B错误；对于C，甲乙同时发生的概率为，C错误；对于D，甲丙同时发生的概率为，D正确.故选：D.7.已知，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题知，与向量同向的单位向量为，因，所以，得，所以向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D.8.已知正四面体的体积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，球为正四面体的外接球，即为正方体的外接球，正四面体体积为，设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，所以，解得，设正四面体的外接球的半径为，则，基底，因为为棱的中点，过点作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大值时，截面圆的面积达最小值，此时球心到截面距离等于正方体棱长的一半，即，可得截面圆的半径为：，所以截面圆的面积最小值为：.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部是 B.C.复平面内和分别对应的两点之间的距离为1 D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，由，得，所以的虚部为，所以A错误；对于B，因为，，所以，所以B正确；对于C，因为平面内和分别对应的点分别为和，所以这两个点间的距离为，所以C错误；对于D，因为，所以D正确.故选：BD.10.已知函数的最大值为3，且的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为 B.C.函数的图象关于点对称 D.函数在上单调递减〖答案〗BCD〖解析〗因为的最大值为，所以，又的图象关于直线对称，所以，，所以，，因为，所以，所以，则函数的最小正周期，故A错误；，故B正确；，所以关于对称，故C正确；当，则，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：BCD.11.已知点是所在平面内一点，且，，则下列说法正确的是（）A.若，则点是边的中点B.若点是边上靠近点的三等分点，则C.若，则与的面积相等D.若点在边中线上，且，则点是的重心〖答案〗BC〖解析〗对于A：当，则，即，即，所以，故A错误；对于B：若点是边上靠近点的三等分点，所以，所以，又，且、不共线，所以，故B正确；对于C：若，则，所以，如图延长到点使得，延长到点使得，则，，所以，所以、、三点共线，又为三角形的中位线，所以、到的距离相等，所以，故C正确；对于D：取的中点，所以，又点在边的中线上，设，所以，又，所以，又，所以，即，此时为的中点，则点不是的重心，故D错误.故选：BC.12.如图，在直三棱柱中，已知，为的中点，过的截面与棱，分别交于点，，则下列说法正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.线段长度的取值范围是C.当点与点重合时，四棱锥的体积为2D.存在点，使得〖答案〗AC〖解析〗在直三棱柱中，，，E为的中点，有，延长交延长线于，连接，如图1，令，于是，即，由，得，即，对于A，因为为的中点，为等腰直角三角形，过点作交于点，则，又直三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又四边形为矩形，在上，所以，所以，故A正确；对于B，显然在上单调递增，所以，故B错误；对于C，当点与点B重合时，如图，，，，四棱锥即的体积：，故C正确；对于D：取上靠近点的四等分点，又A可知即在平面内的射影，要使，只要即可，若，设，则，又，所以，所以，得，则，所以不存在点，使得，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕．这是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会．筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派_________人．〖答案〗〖解析〗由题意，在大一青年志愿者中应选派人.故〖答案〗为：.14.已知是第三象限角，且，则的值是___________.〖答案〗〖解析〗因为是第三象限角，且，所以，则，所以.故〖答案〗为：.15.如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高________m．〖答案〗〖解析〗在中，，，则，由正弦定理得，所以，所以，得，在中，，，所以，所以塔高，故〖答案〗为：.16.在锐角中，已知，，则的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗由正弦定理，即，所以，，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，令，则，，，显然在上单调递增，且，，所以，即，所以的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角中，内角的对边分别为，向量，，且．（1）求；（2）若为中点，，的面积为，求的长．解：（1）因为向量，，且，所以，由正弦定理可得，因为，所以，又，所以.（2）因为的面积为，所以，又，，所以，所以，在中，所以.18.如图，平面，，，为中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．解：（1）取的中点，连接、，因为为中点，所以且，又，，，即且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为，，所以，所以，又平面，所以，因为，，所以，由平面，平面，所以，，又，，所以，所以，设点到平面的距离为，则，解得.19.某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分（分数为正整数，满分100分）．甲社区20名居民的打分记录如下：52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．将乙社区20名居民打分分成五组，并画出了其频率分布直方图（1）根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；（2）估计乙社区20名居民打分平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（3）现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率．解：（1）因为，所以这个数据的第百分位数是从小到大排列的第和第个数的平均数，即，即甲社区名居民打分的第百分位数为.（2）由频率分布直方图可知，乙社区名居民打分的平均分为：.（3）甲社区打分不低于分的有人记作、，乙社区打分不低于分的有人，记作、、，从中任选人的可能结果有、、、、、、、、、共个基本事件，其中满足人不在同一社区的有、、、、、共个基本事件，所以人不在同一社区的概率.20.已知向量，，设．（1）若，求的值；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有零点，求实数的取值范围．解：（1）由题意得，由，得，即，故.（2）由题意得，因为，故，所以，故，故函数在上有零点时，实数的取值范围为.21.甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时甲获胜的概率；（2）求乙最终以分获胜的概率．解：（1）设事件为“第三局结束甲获胜”，由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为，若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），故.（2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的概率为，负的概率为，设事件为“乙最终以分获胜”，若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率，若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），此时的概率，若第四局结束乙以分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜），此时的概率，故.22.如图1，在边长为4的菱形中，，，分别为，的中点，将沿折起到的位置，得到如图2所示的三棱锥．（1）证明：；（2）为线段上一个动点（不与端点重合），设二面角的大小为，三棱锥与三棱锥的体积之和为，求的最大值．解：（1）在菱形中连接交于点，所以为的中点，，在三棱锥中，，，，平面，所以平面，平面，所以.（2）在菱形中，连接交于点，因为，分别为，的中点，所以且，所以，在三棱锥中，，，所以是二面角的平面角，所以，过作于点，过作于点，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，同理可证平面，所以、分别为三棱锥、的高，因为菱形边长为，所以，所以，在中，所以，因为，所以，，所以，所以，因为，所以当时取得最大值.山东省泰安市2022-2023学年高一下学期期末试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，所以，则在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知，，，则（）A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1〖答案〗B〖解析〗因为，，，则，所以事件与事件不相互独立，．故选：B.3.如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由斜二测画法得，在原图矩形ABCD中，，所以该圆柱的高为，底面半径为，故该圆柱的体积为．故选：B.4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗B〖解析〗对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；对于B选项，若，，则，故B选项正确；对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误；对于D选项，若，，则或，故D选项错误.故选：B.5.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是（）A.周岁人群参保总费用最少B.30周岁以下的参保人群约占参保人群的C.54周岁以上的参保人数最少D.丁险种更受参保人青睐〖答案〗A〖解析〗对于选项A，由扇形统计图及折线图可知，，故不小于周岁人群参保总费用最少，故A错误；对于选项B，由扇形统计图可知，周岁以下参保人群约占参保人群的，故B正确；对于选项C，由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占，人数最小，故C正确；对于选项D，由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确.故选：A．6.抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则（）A.甲乙互斥 B.乙丙互为对立C.甲乙相互独立 D.甲丙相互独立〖答案〗D〖解析〗由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：，则；乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”包含的基本事件有：，则；丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”包含的基本事件有：，则；对于A，甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A错误；对于B，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B错误；对于C，甲乙同时发生的概率为，C错误；对于D，甲丙同时发生的概率为，D正确.故选：D.7.已知，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题知，与向量同向的单位向量为，因，所以，得，所以向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D.8.已知正四面体的体积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，球为正四面体的外接球，即为正方体的外接球，正四面体体积为，设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，所以，解得，设正四面体的外接球的半径为，则，基底，因为为棱的中点，过点作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大值时，截面圆的面积达最小值，此时球心到截面距离等于正方体棱长的一半，即，可得截面圆的半径为：，所以截面圆的面积最小值为：.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部是 B.C.复平面内和分别对应的两点之间的距离为1 D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，由，得，所以的虚部为，所以A错误；对于B，因为，，所以，所以B正确；对于C，因为平面内和分别对应的点分别为和，所以这两个点间的距离为，所以C错误；对于D，因为，所以D正确.故选：BD.10.已知函数的最大值为3，且的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为 B.C.函数的图象关于点对称 D.函数在上单调递减〖答案〗BCD〖解析〗因为的最大值为，所以，又的图象关于直线对称，所以，，所以，，因为，所以，所以，则函数的最小正周期，故A错误；，故B正确；，所以关于对称，故C正确；当，则，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：BCD.11.已知点是所在平面内一点，且，，则下列说法正确的是（）A.若，则点是边的中点B.若点是边上靠近点的三等分点，则C.若，则与的面积相等D.若点在边中线上，且，则点是的重心〖答案〗BC〖解析〗对于A：当，则，即，即，所以，故A错误；对于B：若点是边上靠近点的三等分点，所以，所以，又，且、不共线，所以，故B正确；对于C：若，则，所以，如图延长到点使得，延长到点使得，则，，所以，所以、、三点共线，又为三角形的中位线，所以、到的距离相等，所以，故C正确；对于D：取的中点，所以，又点在边的中线上，设，所以，又，所以，又，所以，即，此时为的中点，则点不是的重心，故D错误.故选：BC.12.如图，在直三棱柱中，已知，为的中点，过的截面与棱，分别交于点，，则下列说法正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.线段长度的取值范围是C.当点与点重合时，四棱锥的体积为2D.存在点，使得〖答案〗AC〖解析〗在直三棱柱中，，，E为的中点，有，延长交延长线于，连接，如图1，令，于是，即，由，得，即，对于A，因为为的中点，为等腰直角三角形，过点作交于点，则，又直三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又四边形为矩形，在上，所以，所以，故A正确；对于B，显然在上单调递增，所以，故B错误；对于C，当点与点B重合时，如图，，，，四棱锥即的体积：，故C正确；对于D：取上靠近点的四等分点，又A可知即在平面内的射影，要使，只要即可，若，设，则，又，所以，所以，得，则，所以不存在点，使得，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕．这是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会．筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派_________人．〖答案〗〖解析〗由题意，在大一青年志愿者中应选派人.故〖答案〗为：.14.已知是第三象限角，且，则的值是___________.〖答案〗〖解析〗因为是第三象限角，且，所以，则，所以.故〖答案〗为：.15.如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高________m．〖答案〗〖解析〗在中，，，则，由正弦定理得，所以，所以，得，在中，，，所以，所以塔高，故〖答案〗为：.16.在锐角中，已知，，则的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗由正弦定理，即，所以，，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，令，则，，，显然在上单调递增，且，，所以，即，所以的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角中，内角的对边分别为，向量，，且．（1）求；（2）若为中点，，的面积为，求的长．解：（1）因为向量，，且，所以，由正弦定理可得，因为，所以，又，所以.（2）因为的面积为，所以，又，，所以，所以，在中，所以.18.如图，平面，，，为中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．解：（1）取的中点，连接、，因为为中点，所以且，又，，，即且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为，，所以，所以，又平面，所以，因为，，所以，由平面，平面，所以，，又，，所以，所以，设点到平面的距离为，则，解得.19.某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分（分数为正整数，满分100分）．甲社区20名居民的打分记录如下：52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．将乙社区20名居民打分分成五组，并画出了其频率分布直方图（1）根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；（2）估计乙社区20名居民打分平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（3）现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率．解：（1）因为，所以这个数据的第百分位数是从小到大排列的第和第个数的平均数，即，即甲社区名居民打分的第百分位数为.（2）由频率分布直方图可知，乙社区名居民打分的平均分为：.（3）甲社区打分不低于分的有人记作、，乙社区打分不低于分的有人，记作、、，从中任选人的可能结果有、、、、、、、、、共个基本事件