4.2.4随机变量的数字特征（第2课时离散型随机变量的方差）课件高二上学期数学人教B版选择性

第四章概率与统计4.2.4

随机变量的数字特征第2课时离散型随机变量的方差人教B版

数学

选择性必修第二册课程标准1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.2.会求离散型随机变量的方差、标准差.3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.基础落实·必备知识全过关知识点

离散型随机变量的方差

a2D(X)p(1-p)np(1-p)名师点睛离散型随机变量ξ的期望与方差过关自诊1.[人教A版教材习题改编]将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,X表示“正面朝上”出现的次数.则E(X)=

,D(X)=

.

2.已知随机变量X,D(X)=,则X的标准差为

.

2

1解析

∵X~B(4,0.5),∴E(X)=4×0.5=2,D(X)=4×0.5×0.5=1.3.已知X的分布列为

X-101P0.50.30.2求D(X).解

E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.重难探究·能力素养全提升探究点一求随机变量的方差与标准差【例1】

已知X的分布列如下:(1)求X2的分布列;(2)计算X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.(3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.规律方法

方差的计算方法方差的计算需要一定的运算能力,注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).变式训练1[人教A版教材习题]已知随机变量X的分布列为

X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X+7).(注:σ(X)是指随机变量X的标准差)解

由题意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,∴D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84,∴D(2X+7)=4D(X)=4×0.84=3.36,探究点二两点分布与二项分布的方差【例2】

设X的分布列为

(k=0,1,2,3,4,5),则D(3X)=(

)A.10 B.30 C.15 D.5A变式探究

本例题条件不变,求D(5X+2).规律方法

求离散型随机变量的均值与方差的关注点(1)写出离散型随机变量的分布列.(2)正确应用均值与方差的公式进行计算.(3)对于二项分布,关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布,然后直接应用公式计算.变式训练2(多选题)[2023浙江杭州高二期中]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时(

)A.X服从二项分布ABC探究点三均值、方差的实际应用【例3】

甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击水平.解

(1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较稳定,所以甲比乙的射击水平高.规律方法

利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.(2)在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3)下结论.依据均值和方差得出结论.变式训练3甲、乙两种零件某次性能测评的分值ξ,η的分布如下,则性能更稳定的零件是

.

ξ8910P0.30.20.5η8910P0.20.40.4乙

解析

由题意知E(ξ)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,E(η)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,所以D(ξ)=0.3×(8-9.2)2+0.2×(9-9.2)2+0.5×(10-9.2)2=0.76,D(η)=0.2×(8-9.2)2+0.4×(9-9.2)2+0.4×(10-9.2)2=0.56.因为D(η)<D(ξ),所以乙更稳定.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415A级必备知识基础练1.[探究点二]设随机变量X服从二项分布,且期望E(X)=3,p=,则方差D(X)等于(

)C解析

由于二项分布的数学期望E(X)=np=3,所以二项分布的方差D(X)=np(1-p)=,故选C.1234567891011121314152.[探究点一]已知随机变量X的分布列为

A123456789101112131415A1234567891011121314154.[探究点二]设随机变量X,Y满足Y=4X+1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,则D(Y)=(

)A. B.3 C.6 D.8C1234567891011121314155.[探究点一·2023吉林长春高二阶段练习](多选题)设0<p<1,已知随机变量ξ的分布列如下表,则下列结论正确的是(

)ξ012Pp-p2p21-pA.P(ξ=0)<P(ξ=2)B.P(ξ=2)的值最大C.E(ξ)随着p的增大而增大AD1234567891011121314156.[探究点一]已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)=

.(结果用数字表示)

1234567891011121314157.[探究点二]若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示事件A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为

;的最大值为

.

123456789101112131415B级关键能力提升练8.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则(

)ACD1234567891011121314159.将3个完全相同的小球放入3个盒子中,盒子的容量不限,且每个小球落入盒子的概率相等.记X为分配后所剩空盒的个数,Y为分配后不空盒子的个数,则(

)A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)C123456789101112131415D12345678910111213141511.某人共有三发子弹,他射击一次命中目标的概率是,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则方差D(X)=

.

12345678910111213141512.已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球,其中3个黑球和2个白球,从袋中无放回地随机取出3个球,记取出黑球的个数为X,则E(X)=

,D(X)=

.

12345678910111213141513.某财经杂志发起一项调查,旨在预测某地经济前景,随机访问了100位业内人士,根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下:经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分12345678910频数23510192417974假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响),根据经验,这100位人士的意见即可代表业内人士意见,且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.123456789101112131415(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士,试估计至少有一人预测该地经济前景为“乐观”的概率;(2)某人有一笔资金,现有两个备选的投资意向:物联网项目或人工智能项目,两种投资项目的年回报率都与该地经济前景等级有关,根据经验,大致关系如下(正数表示赢利,负数表示亏损):经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率/%124-4人工智能项目年回报率/%75-2根据以上信息,请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差,并用统计学知识给出投资建议.123456789101112131415

123456789101112131415设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为E(X1),E(X2),方差分别为D(X1),D(X2),则E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001

856,D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000

561.∵E(X1)>E(X2),∴投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高,但二者相差不大.∵D(X1)>D(X2),∴投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高,风险要小,∴建议投资人工智能项目.123456789101112131415C级学科素养创新练14.已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表:X012Pmnm则下列结论一定成立的是(

)A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1C.mn≤ D.D(X+1)<1BCD12345678910111213141512345678910111213141515.某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱50瓶,批发成本85元;小箱每箱30瓶,批发成本65元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶).123456789101112131415(1)设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量X,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量Y,求X和Y的分布列;(2)从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?(必须作出一种合理的选择)123456789101112131415解

(1)若早餐店批发一大箱,批发成本为