2.3.3直线与圆的位置关系课件高二上学期数学人教B版选择性2

第二章平面解析几何直线与圆的位置关系人教B版

数学

选择性必修第一册课程标准1.理解直线与圆位置关系的三种表达形式;2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系;3.掌握求圆的切线方程的方法,并能求与圆有关的最值问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点直线与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直位置关系几何特征代数特征(方程联立)

公共点个数相离d>r无实数解(Δ<0)0相切d=r一组实数解(Δ=0)1相交d<r两组实数解(Δ>0)2名师点睛如图,直线l与圆C相交于A,B,半径为r,弦AB中点为D,则①点C到直线l的距离d=|CD|,称为弦心距;②CD⊥l;③过圆内一点的直线与圆相交,最长弦长是直径,最短弦与最长弦所在的直线垂直.过关自诊1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(

)A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离B∴直线与圆x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,∴直线不过圆心.2.过圆上一点有几条切线?过圆外一点有几条切线?若点(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的点,你能得出过点(x0,y0)的圆的切线方程吗?3.过圆C内一点P(不同于圆心)的所有弦中,何时弦最长?何时弦最短?解

过圆上一点一定有1条切线,过圆外一点一定有2条切线.过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.解

过圆内一点P(不同于圆心)的所有弦中,当弦经过圆心C时弦最长,等于直径的长.当弦与过点P的直径垂直时弦最短.重难探究·能力素养全提升探究点一直线与圆的位置关系的判断【例1】

求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:①相交;②相切;③相离.解

圆的一般方程化为标准方程为(x-3)2+y2=4,故圆心(3,0)到直线x-my+3=0规律方法

直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.变式训练1[北师大版教材例题]已知直线l:2x+y-3=0,圆M:(x-a)2+y2=5.(1)指出圆心M的位置特征;(2)求实数a分别取何值时,直线l与圆M相交、相切、相离.解

(1)由圆M的方程可知圆心M(a,0)为x轴上的动点.探究点二求切线方程【例2】

过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.解

由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.所以切线方程为24x-7y-20=0.又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.变式探究(1)若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程;(2)条件不变,试求切线长.解

(1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故点(1,-4)在圆上.又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.规律方法

求圆的切线方程的三种方法(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.(3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.变式训练2[人教A版教材例题]过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线l的方程.解

(方法一)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.因此,所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.(方法二)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2).消元,得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.①因为方程①只有一个解,所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或

.所以,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0.探究点三圆的弦长问题(1)求圆C的方程;(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.(2)圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,圆心到直线3x-y+1=0的距离为

(3)存在直线l满足题意.理由如下:设M(x1,y1),N(x2,y2).由题意,知OM⊥ON,且OM,ON

的斜率均存在,∴直线l:x=-1满足条件;②当直线l

的斜率存在时,可设直线l

的方程为y=k(x+1).代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,∴直线l的方程为y=x+1.综上可知,存在满足条件的直线l:x=-1和l:y=x+1.规律方法

1.求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的(2)弦长公式法:如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是(3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长

通常采用几何法较为简便.2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题.变式训练3[人教A版教材习题]已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.所以,直线l与圆C相交,有两个公共点.把x1=2,x2=1分别代入方程①,得y1=0,y2=3.所以,直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3).(方法二)圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐标为成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练123456789101112131415161718191.[探究点一·人教A版教材习题改编]直线3x+4y+2=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是(

)A.相交

B.相切 C.相离

D.相交或相切B解析

圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由

得x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1),代入(x-1)2+y2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.123456789101112131415161718192.[探究点三]过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦长为(

)C123456789101112131415161718193.[探究点二]过点(1,2)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为(

)A.x=1 B.3x-4y+5=0C.x+2y-5=0 D.x=1或x+2y-5=0C当斜率不存在时,x=1,显然不与圆相切.综上,切线方程为x+2y-5=0.故选C.123456789101112131415161718194.[探究点三]若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(

)A.0或4 B.0或3 C.-2或6 D.-1或A123456789101112131415161718195.[探究点一、三](多选题)已知直线l:kx-y+2k=0和圆O:x2+y2=16,则(

)A.直线l恒过定点(2,0)B.存在k使得直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直C.直线l与圆O相交D.若k=-1,直线l被圆O截得的弦长为4BC所以直线l恒过定点(-2,0),故A错误;对于C,因为直线l恒过定点(-2,0),而(-2)2+02=4<16,即(-2,0)在圆O:x2+y2=16内,所以直线l与圆O相交,故C正确;12345678910111213141516171819123456789101112131415161718196.[探究点三]过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为

.

解析

由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0,123456789101112131415161718197.[探究点二]已知直线l:y=kx被圆C:x2+y2-6x+5=0截得的弦长为2,则|k|的值为

.

123456789101112131415161718198.[探究点三]过点A(3,5)作圆x2+y2-4x-8y-80=0的最短弦,则这条弦所在直线的方程是

.

x+y-8=0解析

将圆x2+y2-4x-8y-80=0化成标准形式为(x-2)2+(y-4)2=100,圆心为M(2,4),则点A在圆内,当AM垂直这条弦时,所得到的弦长最短.∵kAM==1,∴这条弦所在直线的斜率为-1,其方程为y-5=-(x-3),即x+y-8=0.123456789101112131415161718199.[探究点三]如果一条直线过点M且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程.解

圆x2+y2=25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长l=8,所以弦心距

因为圆心O(0,0)到直线x=-3的距离恰为3,所以直线x=-3是符合题意的一条直线.综上可知,满足题意的直线方程为x=-3和3x+4y+15=0.1234567891011121314151617181910.[探究点二]已知圆x2+y2=25,求满足下列条件的切线方程.(1)过点A(4,-3);(2)过点B(-5,2).解

(1)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5,点A(4,-3)在圆x2+y2=25上,所以过点A(4,-3)的切线斜率存在,且其与直线AO垂直(O为坐标原点).12345678910111213141516171819(2)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5,所以当过点B(-5,2)的切线斜率不存在时,其方程为x=-5,满足题意;当切线斜率存在时,设斜率为k,则其方程为y-2=k(x+5),即kx-y+5k+2=0,所综上,所求切线方程为21x-20y+145=0或x=-5.12345678910111213141516171819B级关键能力提升练11.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+=0的距离为1的点共有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个C解析

化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2,结合图形可知(图略),圆上有三点到直线l的距离为1.1234567891011121314151617181912.已知直线l:mx-y-3m+1=0恒过点P,过点P作直线与圆C:(x-1)2+(y-2)2=25相交于A,B两点,则|AB|的最小值为(

)A解析

直线方程可化为m(x-3)-y+1=0,故其恒过点P(3,1).又(3-1)2+(1-2)2=5<25,即P在圆C内,要使|AB|最小,只需圆心C(1,2)与P的连线与该直线垂直.1234567891011121314151617181913.(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(

)A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切ABD123456789101112131415161718191234567891011121314151617181914.[2022天津卷]若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=

.

21234567891011121314151617181915.过点(1,4)且斜率为k的直线l与曲线y=+1有公共点,则实数k的取值范围是

.

解析

曲线y=+1可化为(x+2)2+(y-1)2=1(1≤y≤2),设点C(1,4),如图所示,当直线l在直线AC和BC之间运动时,直线l与曲线有公共点,其中点A为(-1,1),点B为直线l与曲线的切点,即直线l与圆心为(-2,1),半径为1的半圆相切.∵直线l的方程为y=k(x-1)+4,1234567891011121314151617181916.已知圆C:x2+y2-4x=0,直线l恒过点P(4,1).(1)若直线l与圆C相切,求l的方程;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求l的方程.解

(1)由题意可知,圆C的圆心为(2,0),半径r=2,①当直线l的斜率不存在,即l的方程为x=4时,此时直线与圆相切,符合题意;②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,∴直线l的方程为y-1=k(x-4),化为一般式为kx-y+1-4k=0.综上,当直线l与圆C相切时,直线l的方程为x=4或3x+4y-16=0.12345678910111213141516171819(2)由题意可知,直线l的斜率一定存在,设斜率为k,∴直线l的方程为y-1=k(x-4),即kx-y+1-4k=0.则直线l的方程为y=1或4x-3y-13=0.1234567891011121314151617181917.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.(1)证明

直线l:(2m+1)x+