6.4.3余弦定理正弦定理（第1课时）课件高一下学期数学人教A版

第六章平面向量及其应用

余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理人教A版

数学

必修第二册课程标准1.掌握余弦定理及其推论.2.借助向量的运算,探索余弦定理的证明过程.3.能够利用余弦定理解决有关问题.基础落实·必备知识全过关知识点

余弦定理与解三角形1.文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和

这两边与它们夹角的

的两倍.

2.符号语言:在△ABC中,a2=

,b2=

,c2=

.

3.在△ABC中,cosA=

,cosB=

,cosC=

.

4.一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.减去

余弦的积

b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosB

a2+b2-2abcosC名师点睛应用余弦定理解三角形的类型(1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角.(2)已知三边求三角.过关自诊1.在△ABC中,已知其中两边和一个内角可以求第三边吗?提示

可以求,在余弦定理公式中有四个量,知道两边和一个内角的情况下转化为解关于第三边的一元二次方程,相应解的个数可能为0,1,2,要结合实际情况进行取舍.2.在△ABC中,已知三边长分别为a,b,c,如何判断三角形的形状?提示

不妨设a<b<c,则当a2+b2<c2时,△ABC为钝角三角形;当a2+b2=c2时,△ABC为直角三角形;当a2+b2>c2时,△ABC为锐角三角形.3.[北师大版教材习题]在△ABC中,已知b=1,c=2,A=60°,则a=

.

解析

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A=12+22-2×1×2cos

60°=3,故a=.4.[苏教版教材例题]在△ABC中,已知acosB=bcosA,求证:△ABC为等腰三角形.整理,得a2=b2.因为a>0,b>0,所以a=b.因此,△ABC为等腰三角形.重难探究·能力素养全提升探究点一已知两边及一角解三角形【例1】

(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a;(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和边a.规律方法

已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.本质是方程思想的应用,四个量中“知三求一”.变式训练1(1)在△ABC中,AB=5,BC=1,tanB=,则AC=

;

(2)在△ABC中,cosA=,a=4,b=3,则c=

.

5探究点二已知三边解三角形【例2】

(1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C=

;

120°(2)在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶

+1),求各内角的度数.变式探究本例(2)中,将条件变为“三角形的三条边长分别为”,求其最大角与最小角之和.规律方法

已知三角形的三边解三角形的方法

探究点三利用余弦定理判断三角形形状【例3】

(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cosAsinB=sinC,试判断三角形的形状;解

∵A+B+C=180°,∴sin

C=sin(A+B).∵2cos

Asin

B=sin

C,∴2cos

Asin

B=sin

Acos

B+cos

Asin

B,∴sin

Acos

B-cos

Asin

B=0,∴sin(A-B)=0.∵0°<A<180°,0°<B<180°,∴-180°<A-B<180°,∴A-B=0°,即A=B.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴a2+b2-c2=ab,∴cos

C=.∵0°<C<180°,∴C=60°,∴△ABC为等边三角形.(2)在△ABC中,若acosB+acosC=b+c,试判断该三角形的形状.规律方法

三角形形状的判断方法(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.④若sin

2A=sin

2B,则A=B或A+B=.变式训练2已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.(1)求A的大小;(2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.本节要点归纳1.知识清单:(1)余弦定理.(2)余弦定理解决的两类问题.(3)余弦定理的简单应用.2.方法归纳:化归转化、数形结合.3.常见误区:易忽略三角形中的隐含条件.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718192021A级必备知识基础练1.[探究点一]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c=(

)A.1 B.2 C.4 D.6C解析

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).1234567891011121314151617181920212.[探究点二]若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则

的值为(

)A.19 B.14 C.-18 D.-19D1234567891011121314151617181920213.(多选题)[探究点一]在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是(

)A.1 B.2 C.3 D.4ACD123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021B1234567891011121314151617181920216.[探究点三]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c=2acosB,则△ABC的形状是

.

等腰三角形∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形.1234567891011121314151617181920217.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=a,则cosA=

.

1234567891011121314151617181920218.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3b,则cosB的最小值是

.

1234567891011121314151617181920219.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则此三角形的最大边长为

.

14解析

已知a-b=4,则a>b且a=b+4.又a+c=2b,则b+4+c=2b,所以b=c+4,则b>c,从而知a>b>c,所以a为最大边,故A=120°,b=a-4,c=2b-a=a-8.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A=b2+c2+bc=(a-4)2+(a-8)2+(a-4)(a-8),即a2-18a+56=0,解得a=4或a=14.又b=a-4>0,所以a=14,即此三角形的最大边长为14.123456789101112131415161718192021(1)b的值;(2)角A的大小.123456789101112131415161718192021利用c2=a2+b2-2abcos

C,整理得b2-2b-15=0,解得b=5或-3(负值舍去),故b=5.123456789101112131415161718192021B级关键能力提升练AC解析

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A,∴4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0,∴b=2或b=4.经检验,b=2与b=4均符合题意.123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形C12345678910111213141516171819202114.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是(

)A12345678910111213141516171819202115.在△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C等于(

)A.60° B.45°或135°C.120° D.30°B解析

∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2),∴(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-2a2b2=0,∴(a2+b2-c2)2-2a2b2=0,12345678910111213141516171819202116.(多选题)在钝角△ABC中,若c=8,A=,则边a的值可能为(