函数单调性与奇偶性【15类题型全归纳】（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学函数单调性与奇偶性15类题型全归纳近4年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2024年新高考I卷，第6题,5分近几年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、是高考的一个重点，需要重点关注，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想借助函数图象，会用符

号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义2024年上海卷，第4题,5分2023年新高考I卷，第4题,5分2023年新高考Ⅱ卷，第4题,5分2023年新高考I卷，第8题,5分2022年新高考II卷，第6题,5分2021年新高考I卷，第6题,5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）【题型1】函数的单调性 ①式，可以写成函数或函数．偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数．④常数函数⑤若为奇函数，则为偶函数设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【答案】C【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为；因为是奇函数，是偶函数，所以，对于A，，故是奇函数，即A错误；对于B，，故是偶函数，即B错误；对于C，，故是奇函数，即C正确；对于D，，故是偶函数，即D错误已知函数，若，则．【答案】或【分析】由奇偶性定义可判断是偶函数，且结合在上单调递增，即可求解.【详解】由题可知，，所以是偶函数．由于函数在上单调递增，而且单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，进而可得在上单调递增，又，所以或，解得或．函数的奇偶性为.【答案】奇函数【解析】要使函数，必须满足，解得，所以函数的定义域为，关于原点对称，由可得，所以函数可化为因为，所以函数是奇函数.【巩固练习1】（多选题）（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【答案】BC【解析】因为，所以为偶函数，因为，即，所以为奇函数，所以为非奇非偶函数，A错误；，所以为奇函数，B正确；，所以是奇函数，C正确；令，，为偶函数，D错误.【巩固练习2】（2024·重庆·三模）设函数fx=2−xA．fx−2+1 C．fx+2+2 【答案】A【解题思路】首先推导出f−4−x+fx=−2，即函数fx的对称中心为−2,−1，再根据函数的平移只需将函数fx向右平移2个单位，向上平移【解答过程】因为fx=2−x2+x则f−4−x+fx=−1+4−x−2−1+所以将函数fx向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到函数y=f该函数的对称中心为0,0，故函数y=fx−2【巩固练习3】结合图象判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)；(4)；(5).【解析】（1）函数的定义域为，对于函数，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，画出函数的图象，如图所示，函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；（2）函数的定义域为，对于函数，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，画出函数的图象，如图所示，函数图象关于y轴对称，故为偶函数；本号资料#全部来源于微信公众号：数学#第六感（3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得的图象，如图实线部分．由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数的图象，如图，由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，所以该函数为非奇非偶函数；（5）函数，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，画出函数的图象，如图，由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.【题型9】函数图像的识别判断函数图像常用的办法是排除法一:判断奇偶性(依选项而判断)本号资料全部来*源于微信公众号：数学第六感二:代入特殊点看正负三:极限思想我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】记，函数定义域为，则，所以函数为奇函数，排除BC，又当时，，排除D函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.【详解】函数的定义域为，因为，所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以排除A，当时，，所以排除C，当时，，因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B【巩固练习1】函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.【详解】因为定义域，且，所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A，D；当时，，排除B.【巩固练习2】函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】，函数定义域为，，函数为奇函数，排除CD，，排除B【巩固练习3】函数的图象大致形状是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】当时，可判断C，D错误，当时可判断A，B.【详解】当时，，其在单调递增，C，D错误；当时，，在单调递减，B错误，A正确.【巩固练习4】函数的图像为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误【题型10】利用单调性，奇偶性比大小利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是定义在上偶函数，所以，因为，则，所以，因为在上单调递增，所以，即【巩固练习1】（2024·宁夏银川·一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，由，所以为偶函数，图象关于轴对称，当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大，本号资料*全部来源于微信公众号：数学#第六感即，单调递增，因为，，且，，所以，所以，即，也就是.【巩固练习2】已知函数，记，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的定义域为，所以函数为偶函数，当时，设，则，故在上单调递增且恒为正数，则函数在上单调递减，又函数为偶函数，故在上单调递增，又，即，于是，即.【巩固练习3】（2024·四川·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是定义在上偶函数，所以，因为，所以，因为在上单调递增，所以【题型11】已知函数的奇偶性求参数利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力常见方法：

（1）定义法奇函数：；偶函数：（2）特殊值法可以取0，±1这类比较好计算的特殊值（3）导数法奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数

（4）函数性质法①为偶函数，②奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶，结合常见函数模型③复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.（5）定义域对称法若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值（2023年新课标全国Ⅱ卷）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【解法1】特殊值法：因为为偶函数，则，解得，验证：当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.【解法2】函数性质法：因为是奇函数，而为偶函数，故为奇函数．证明过程：，故，则，这一方法要求学生能够发现函数的奇偶性，解题的起点相对高，对一些数学基础弱的学生有一点难度。【解法3】定义法：则有即(，则已知函数为奇函数，则的值是（

）A．0 B． C．12 D．10【答案】D【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.【详解】因为函数为奇函数，所以，即，即或，显然函数的定义域为关于原点对称，且当时，有，从而有，当时，有，但，所以，即，所以.故选：D.已知函数的图象关于轴对称，则．【答案】1【分析】由函数图象关于轴对称可得，再结合对数的运算性质代入表达式求出即可.【详解】因为，且，即，有，所以．函数为奇函数，则实数.【答案】【解析】由为奇函数，根据定义有，结合是单调函数即可求.【详解】函数为奇函数知：，而，∴，即，又是单调函数，∴，即有，解得.（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则，．【答案】；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．本号资料全部来源于微信公#众号：数学第六感【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．本号#资料全*部来源于微信公众号：数学第六感故答案为：；．【巩固练习1】（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则.【答案】1【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故【巩固练习2】已知函数是奇函数，则.【答案】【解析】由，得，则，所以函数的定义域为，所以，解得【巩固练习3】已知函数是奇函数，则实数．【答案】【分析】根据题意可知是偶函数，结合偶函数的定义分析求解.【详解】由题意可知：函数的定义域为函数，因为函数是奇函数，且是奇函数，可知是偶函数，则，因为不恒成立，则，解得.【巩固练习4】若函数是偶函数，则实数的值为.【答案】【分析】根据偶函数定义对函数解析式进行化简即可得.【详解】易知的定义域为，且，因为函数是偶函数，所以，所以恒成立，故，即.【巩固练习5】（2024·高三·湖北武汉·期末）函数为奇函数，则实数k的取值为.【答案】【解析】因为为定义域上的奇函数，所以，即，整理化简有：恒成立，所以，得，又因为，所以，且当时，，其定义域为，关于原点对称，故满足题意.本号资料#全部来源于#微信公众号：数学第六感【巩固练习6】若函数是奇函数，则．【答案】【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出，求出函数的定义域，再由奇函数得，即可求出，即可得解.【详解】由，可得，即，且，即，又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，所以，故，定义域为，因为函数是奇函数，所以，所以，经检验，符合题意，所以，，所以.【题型12】解奇函数不等式先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．【答案】(1,2)【详解】原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)<f(2m－3)．因为f(x)是减函数，所以m－1>2m－3，所以m<2.又f(x)的定义域为(－1,1)，所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1，所以0<m<2且1<m<2，所以1<m<2.综上得1<m<2.故实数m的取值范围是(1,2)．设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为()A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)【答案】C【解析】利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，所以不等式xf(x)<0可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx>0，))由图可知x>2或x<－2，故选C. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】根据函数的奇偶性以及当时，，判断函数单调性，作出其大致图像，数形结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意是定义在R上的奇函数，故，当时，，此时在上单调递增，且过点，则当时，在上单调递增，且过点，作出函数的大致图像如图：则由可得或，解得或，即的解集为【巩固练习1】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为A． B．C． D．【答案】D【详解】因为奇函数在上为增函数,所以在上也是增函数,且,从而在定义域上的大致图象为：所以的解为:,或【巩固练习2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是.【答案】【思路点拨】利用奇偶性求出函数的解析式，分类讨论即可求解.【详解】当时，，所以，因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以当时，，所以，要解不等式，只需或或，解得或或，综上，不等式的解集为.【巩固练习3】已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【思路点拨】根据函数的奇偶性求出函数的表达式，分段讨论解不等式即可得到结论．【详解】解：∵是定义在上的奇函数，，当，，此时，∵是奇函数，，即，当，即时，不等式不成立；当，即时，，解得：当，即时，，解得，综合得：不等式的解集为【巩固练习4】（2024·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（

）本号资料全部来源于微信公众号：数学第六#感A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知，解得，所以，其在上单调递增，又因为，所以函数为奇函数，，所以不等式可化为，于是，即，解得或.【题型13】解偶函数不等式利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域的限制已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为【答案】【思路点拨】由函数为偶函数可将原不等化为，再根据函数在上单调递增，可得，从而可求得结果.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以可化为，因为在上单调递增，所以，所以，即，解得，所以原不等式的解集为已知是定义在上的偶函数，且在上递减，则不等式的解集是．【答案】【思路点拨】根据是定义在上的偶函数，将不等式转化为，再利用其单调性求解.【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且在上递减，所以在上递增，不等式等价于，所以，解得，所以不等式的解集是.【巩固练习1】若函数fx是定义在R上的偶函数，在−∞,0上是减函数，且f3=0，则使得fA．−∞,−3 C．−3,3 D．−【答案】C【解题思路】分析函数fx在0,+∞上的单调性，将所求不等式变形为fx<f【解答过程】因为函数fx是定义在R上的偶函数，在−则函数fx在0,+因为f3=0，由fx<0可得fx因此，满足fx<0的x的取值范围是【巩固练习2】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为．【答案】【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为增函数，在上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，将不等式转化为，结合定义域列不等式组，即可得结论．【详解】解：∵是定义在上的偶函数，∴，解得，∴函数的定义域为，∵在上单调递增，∴在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，由，可得，解得，故不等式的解集为．【巩固练习3】已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解答】函数的定义域为，且，即是偶函数，当时，，构造，，令，则在上单调递增，又也是增函数，则在上单调递增，又是定义域内的增函数，故在上单调递增，不等式等价于，即，平方得：，解得且，则不等式的解集为.【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题，使得，等价于，，使得，等价于，使得，等价于，，使得，等价于本#号资料全部来源于微信公众号：数学第六感若，使的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在上最大值即得结果.【详解】不等式，等价于，依题意，，恒成立，而函数在上单调递增，当时，，因此，所以的取值范围为.若“，”为假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案.【详解】由题意得该命题的否定为真命题，即“，”为真命题，即，令，因为，则，则存在，使得成立，令，令，则（负舍），则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，且，，则，则.【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解.【详解】由解析式易知：单调递增，当时，恒成立，则，得．【巩固练习2】（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论.【详解】由题意，在中，对称轴，∴当时，，解得：，∴“”是“”的充分而不必要条件.【巩固练习3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值.又因为函数在区间上单调递增，所以当时，.综上可得函数的最小值为.因为，使得成立，所以，解得：或.【巩固练习4】（2024·福建厦门·一模）已知，，，则下列结论错误的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】举例即可判断ABC；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A，当时，，，此时，所以，，故A正确；对于B，当时，，，此时，所以，，故B正确；对于C，当时，，，此时，所以，，故C正确；对于D，当时，，当且仅当，即时取等号，，由，得，而，所以当，即时，，所以，当且仅当时取等号，而，所以，，故D错误.【题型15】存在任意双变量问题（1），成立（2），成立（3），恒成立（4），恒成立（5）成立（6）成立（7）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：=1\*GB3①∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则；=2\*GB3②∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题的关键是将已知转化为在的