等式与不等式的性质9种常见考点全面练（精练56题）（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学等式与不等式的性质9种常见考点全面练（精练56题）考点1用不等式表示不等关系1．（2023·云南昆明·一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是.【答案】【分析】根据题目所给已知条件列出不等关系式.【详解】依题意，.故答案为：2．（21-22高一上·浙江·期末）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示【答案】【分析】运用不等式的性质可得答案.【详解】若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：，因为，所以成立.故答案为：.3．（2021·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（

）个A．20 B．22 C．24 D．26【答案】B【分析】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，根据题意列出不等式可分别求出范围，即可求出.【详解】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数，则由题意得，，，，可得，所以，，，即至少有个.故选：B.4．（2020·河北衡水·模拟预测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（

）A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱【答案】C【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为，所以，即，即，因为，所以，根据选项，，所以买大竹子根，每根元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.考点2由已知条件判断所给不等式是否正确5．（2024·北京·三模）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确；对于B中，例如，此时，所以B不正确；对于C中，由函数在上为单调递减函数，因为，所以，可得，所以C正确；对于D中，例如，此时，所以D不正确.故选：C.6．（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C.【详解】对于A：当、，满足，但是，故A错误；对于B：当、，满足，但是，故B错误；本号资料全部来源于微信公*众号：数学第六感对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确对于D：当、，满足，但是，故D错误.故选：C7．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.【详解】对于ABD，取，满足，显然，，，ABD错误；对于C，，则，C正确.故选：C8．【多选】（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据不等式的相关性质可得A,D项正确；通过举反例可说明B,C项错误.【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确；对于B，因，若取，，，，则，，所以，故B错误；对于C，因，若取，，，，则，，所以，故C错误；对于D，因为，则，又因则，由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确．故选：AD．9．【多选】（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较.【详解】设，则，在单调递增，所以，即，即，A正确；令，，则，而，所以，B不正确；设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；则在时取得最小值，即，C正确；设，则，所以在上是增函数，所以由得，即，D正确.故选：ACD10．【多选】（2024·福建厦门·三模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】对A、B：借助不等式的性质即可得；对C：借助指数函数的单调性即可得；对D：借助基本不等式计算即可得.【详解】对A：由，则，故A正确；对B：由，则，故B错误；对C：由在上单调递增，故，故C错误；对D：由，则，故，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：AD.11．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（

）本*号资料#全部来源于微信公众号：数学第六感A． B．C． D．若，则【答案】ACD【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.【详解】因为，设对A，知，易知.选项A正确.对C，因为，，，所以，，，于是，选项C正确.对D，若，则，即，则.由知.选项D正确.对B，取，则，由知，知，所以，即，，此时，选项B错误.故选：ACD.12．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.【分析】由，得，所以，A正确．因为，所以，所以0，所以，B正确．因为，所以，当且仅当时取等号，所以，C正确．因为，所以，D错误．故选：ABC．13．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（

）A． B．C．存在使得 D．若且，则【答案】ABD【分析】由不等式的性质即可判断A，可以得出且，结合基本不等式即可判断B，由不等式性质得，由此即可判断C，由基本不等式得，进一步注意到，由此即可判断D.【详解】对于A，由及，得，所以，A正确．对于B，由及，得，所以．同理可得．又，所以，所以，B正确．对于C，由及，得，所以，得，所以，得，C错误．对于D，由，得．由，得．因为，所以，所以，D正确．故选：ABD．14．【多选】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．当最小时，【答案】BCD【分析】根据反例可判断A的正误，再利用不等式的基本性质，以及基本不等式和绝对值的几何意义可判断BCD的正误.【详解】对于A中，当时，，所以A错误；对于B中，由，可得，所以B正确；对于C中，因为，所以，又因为，所以等号不成立，，所以C正确；对于D中，由的最小值，即为数轴到和的距离之和最小，当且仅当时最小，此时，所以D正确.故选：BCD.考点3利用不等式的性质判断命题的真假15．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）本号资料全部来源于微信公众号：数学第*#六感A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误.对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确；对于C：取，时，则，，，则，故C错误；对于D：当，时，，，则，故D错误；故选：B.16．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确；对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；对于C，因为，所以，而函数为减函数，所以，故C结论正确；对于D，，因为，所以，所以，所以，故D结论错误.故选：D.17．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为实数，则下列命题成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【分析】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.【详解】对于A，若，当时，不满足，即A错误；对于B，若，则，所以B错误；对于C，若，可知，不等式两边同时除以，即，可得，即C正确；对于D，若，不妨取，则，可得D错误；故选：C18．【多选】（2024·湖北武汉·模拟预测）设，则下列命题正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据给定的正实数条件，利用不等式性质，结合选项的条件推理判断ABD；令，借助辅助角公式及三角函数性质求解判断C.【详解】对于A，由，得，而，则，因此，即，于是，A正确；对于B，由，得，即，又，B正确；对于C，令，则，其中锐角满足，显然，因此当时，，C正确；对于D，由，得，，，当，即时，，即，D错误.故选：ABC19．【多选】（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AC【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳.【详解】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得，则，故A正确；对B，当时，，故B错误；对C，因为，则，又因为，所以，故C正确；对D，举例，则，而，此时两者相等，故D错误.故选：AC.20．【多选】（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】利用举反例和不等式得性质进行判断.【详解】当为负数时A可能不成立，例如但是错误的.因为根据不等式性质可得正确.因为，所以所以即所以故C错误.因为，所以，所以正确.故选：BD考点4作差法比较代数式的大小21．（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小.【详解】根据题意得,,,,对于A选项,对于B选项,对于C选项,对于D选项,故选：B.22．（2024·云南昆明·模拟预测）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用函数单调性确定大小，通过作差，判断正负即可确定大小即可.【详解】设，则令，得，则在上单调递增，在上单调递减，，则，又，得，所以，故选：A23．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.【详解】设，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减,故.则，即；由可知，故.故选：B.24．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.【详解】所以.故选：C.25．【多选】（2023·河南·模拟预测）已知实数满足，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据题意，得到，结合作差比较法，可判定A正确，D不正确；利用不等式的基本性质，可得判定B正确；由基本不等式，可判定C正确.【详解】由不等式，可得且，即，对于A中，由，所以，所以A正确；对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以等号不成立，即1，所以C正确；对于D中，由，可得，则，所以，所以D错误.故选：ABC.26．（2024·北京西城·二模）在数列中，，．给出下列三个结论：①存在正整数，当时，；②存在正整数，当时，；③存在正整数，当时，．其中所有正确结论的序号是．【答案】②③【分析】根据递推关系求出，用差比较法可判定各选项.【详解】对于①：由，，可得，又，当时，因为，所以时，故①错误；对于②：，又，结合①的结论时，所以当时，，故②正确；对于③：，，所以当时，，所以，故③正确；故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题关键在于求出，根据递推关系分析出当时，进而判定①，利用差比较法结合结论①可判定②③.27．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，．(1)试比较与的大小；(2)若恒成立，求的取值范围．【答案】(1)答案见详解(2)【分析】（1）因为，构建，利用导数判断的单调性，结合分析判断；（2）构建，原题意等价于在内恒成立，利用导数分类讨论的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.【详解】（1）因为，构建，则在内恒成立，可知在内单调递减，且，则有：若，则，即；若，则，即；若，则，即.（2）若恒成立，则，构建，原题意等价于在内恒成立，则，1.若，则当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则，不符合题意；2.若，则有：（ⅰ）若，则，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，则，符合题意；（ⅱ）若时，令，解得或，①若，即时，当时，，可知在内单调递减，此时，不合题意；②若，即时，则，可知在内单调递增，当时，此时，不合题意；③若，即时，则，由（1）可知：当时，，则，可得，不合题意；综上所述：的取值范围为.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．28．（2023·陕西·模拟预测）已知且.(1)若，设，比较和的大小;(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）作差后因式分解即可得；（2）借助基本不等式与三元基本不等式即可得.【详解】（1），由且，故，故；（2）由，故，又，故，，则有，当且仅当，即时，等号成立，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.考点5作商法比较代数式的大小29．【多选】（2021·广东肇庆·一模）下列大小关系正确的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】结合指数函数和幂函数的性质可判断选项A、B，利用作差法可判断选项C，利用作商法可判断选项D，进而可得正确答案.【详解】由指数函数和幂函数可知，当时，因为，所以，选项A不正确；因为，所以，故选项B正确；因为，所以，即所以，所以，故选项C不正确；因为，，所以，所以，故选项D正确，故选：BD【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉指数函数和幂函数，记住同一直角坐标系中它们的图象，当时，另外代数式比较大小可以用作差法与0比较大小，同号的可以利用作商法与1比较大小，变形的过程很灵活，属于常考题型.30．（2025·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解.【详解】，，而而，因为，所以，所以，故，所以.故选：B31．（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.【详解】，所以，，又因为，所以，即.故选：B.32．（2022·广西·模拟预测）已知正数满足且成等比数列，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，通过求导可得到，再通过正数成等比数列，可得到，利用作商法可得到即，即可得到答案本号资料全部来源#于微信公众号：数学第六感【详解】令，则，当时，，单调递增，所以，所以，故，因为正数成等比数列，所以即，故，所以，故，综上所述，，故选：D33．（2020·福建泉州·模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.【详解】解：选项A中，由于，所以成立；故A正确；选项B中，，，与大小不能确定，故B错误；选项C中，由于，故C错误；选项D中，令，则，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题.34．（2023·四川资阳·一模）已知，，下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数、对称函数的性质及作差（作商）法判断即可.【详解】解：因为，，对于A：指数函数单调递减，所以，故A错误；对于B：，，故B错误；对于C：显然，，且，，，，，，故C错误；因为在定义域上单调递减，所以，，，故，故D正确，故选：D．35．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知,,则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】两式平方再作差,利用基本不等式即可得大小关系,进而得选项A,B正误,两式相除,由于,将分子分母同时除以,再利用基本不等式即可求出其范围.【详解】解:由题知,所以,当且仅当时取等,因为,所以,即,故,即选项A错误,选项B正确;因为,所以,当且仅当,即时取等,所以可得,故选项C正确,选项D错误.故选:BC36．【多选】（2021·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由于已知得，即利用基本不等式可判断A；由，可判断B；令，，，可判断C，D．【详解】由于，且，所以，所以，且，，，A正确；因为，即，B正确；令，，，则，，C，D错误．故选；AB．【点睛】本题考查了比较大小，解题的关键点是由已知得出，考查了学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.考点6由不等式的性质证明不等式37．（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：．（2）设a，b，c为正实数，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明.【详解】（1）因为，a，b为正实数，所以，所以，当且仅当时，取等号．（2）由（1），得．同理，得，所以，当且仅当时，取等号．38．（2024·全国·模拟预测）已知．证明：(1)当时，；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得，再根据不等式的性质结合一元二次不等式的解法即可得证；（2）由，得，再结合基本不等式即可得证.【详解】（1）证明：由，等式两边同时除以，得，当时，，所以，所以，得，又，所以；（2）证明：由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以．39．（21-22高三·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，满足．(1)若，求证：；(2)若，，求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解.【详解】（1）证明：由，且，得，，故，所以，所以，即；（2）解：由且，得，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．40．（2023·河北衡水·三模）已知实数a、b满足a2+b2-ab＝3．（1）求a-b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：．【答案】（1）﹣2≤a﹣b≤2；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，可得，利用配方法即可容易证明.【详解】（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，因为当且仅当ab＝2时取等号，所以．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的证明，属于中档题．41．（2023·全国·模拟预测）已知，且．（1）请给出的一组值，使得成立；（2）证明不等式恒成立．【答案】（1）（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.【详解】解析:（1）（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,,因为,所以.所以,即.因为,所以,因为,所以,所以.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.42．（2023·河南平顶山·一模）（1）解不等式；（2）已知、，求证：【答案】(1)或或(2)见解析【详解】试题分析：（1）把原不等式化简为等价不等式，即可额牛街不等式的解集；（Ⅱ）由、是非负实数，作差比较，即可作出证明．试题解析：（1）原不等式可化为继续化为，其等价于．∴原不等式的解为或或．（Ⅱ）由、是非负实数，作差可得：当时，，从而，得；当时，，从而，得；所以，．考点7利用不等式求值或取值范围43．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是．【答案】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由可得，所以，故答案为：44．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.【详解】因为，所以，对于A，，,,综上可得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：D.45．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质即可得解.【详解】因为，所以，，所以.故选：D.46．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据不等式的性质，变形求解.本号资料全部来源于*微信公众号：数学第六感【详解】，两式相乘得，所以，A正确；由题得，又，两式相乘得，所以，B错误；因为，所以两式相乘得，C正确；因为，所以两式相乘得，D错误．本号资料全部来源于微信公众号：数学*第六感故选：AC47．（23-24高一·全国·课后作业）若，，，则的取值范围为本号资#料全部来源于微信公众号：数学第六感【答案】【分析】利用不等式的性质运算即可得解.【详解】解：设，则，解得：，，则，而由，可得，再由，可得，所以，即，可得.故答案为：.48．（2024·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足，的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由题意设，再根据赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解.【详解】设，，，，∴，.∴赋分是或.故选：D.考点8糖水不等式49．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了.【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了，所以.故选：D50．（23-24高一上·广东广州·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据得到答案.【详解】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即.故选：B.51．【多选】（2021·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】依题意得到，再根据不等式的性质一一判断即可；【详解】对于A，由题意可知，正确；对于B，因为，所以，正确；对于C，即，错误；对于D，，正确.故选：ABD52．（2021·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.本号资料全部来源#于微信公众号：数学第六感【答案】【分析】根据题中糖水不等式，结合对数的运算性质和换底公式进行解题即可.【详解】空1：因为，所以可得：；空2：由空1可得：，即.故答案为：；53．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；(2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.【答案】(1)若，则；证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）用作差比较法即可；（2）结合（1）的结论即可证明.【详解】（1）若，则.证明：.因为，所以，又，故，因此.（2）在锐角三角形中，由（1）得，同理，.以上式子相加得.54．（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.【答案】(1)，证明见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可；（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济.【详解】（1）该不等式为证明：因为，所以，于是.（2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，若