高考数学第一轮复习(新教材新高考)第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标运算（核心考点精讲精练）(学生版+解析)

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标运算（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示向量垂直的坐标表示利用向量垂直求参数2022年新Ⅱ卷，第4题,5分平面向量线性运算的坐标表示数量积及向量夹角的坐标表示2021年新Ⅱ卷，第10题,5分坐标计算向量的模数量积的坐标表示逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式2020年新Ⅱ卷，第3题,5分向量加法的法则向量减法的法则无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义4理解向量的线性运算性质及其几何意义5会向量间的坐标运算【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习知识讲解1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.（2）P为线段AB的中点⇔eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．4.向量的坐标运算两点间的向量坐标公式：，，终点坐标始点坐标向量的加减法，，向量的数乘运算，则：向量的模，则的模相反向量已知，则；已知单位向量向量的平行关系，，考点一、平面向量基本概念的综合考查1．（辽宁·高考真题）已知点则与同方向的单位向量为A． B． C． D．2．（福建·高考真题）对于向量和实数，下列命题中真命题是(

)A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则2．（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点二、平面向量线性运算的综合考查1．（2020·新高考全国2卷·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（

）A． B． C． D．2．（安徽·高考真题）若，,则（）A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）3．（北京·高考真题）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）A． B．C． D．4．（上海·高考真题）在平行四边形中，下列结论错误的是（

）A． B．C． D．5．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于A． B． C． D．6．（四川·高考真题）如图，正六边形中，（

）A． B． C． D．1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·统考二模）设是平行四边形的对角线的交点，则（

）A． B． C． D．考点三、平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查1．（宁夏·高考真题）平面向量，共线的充要条件是A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，2．（山东·高考真题）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D3．（海南·高考真题）平面向量，共线的充要条件是（

）A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量C．， D．存在不全为零的实数，，4．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（

）A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）5．（福建·高考真题）已知向量，，且，则．6．（全国·高考真题）已知向量，，．若，则．1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量，若，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知向量，，．若，则实数的值为（）A． B． C． D．5．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设向量不平行，向量与平行，则实数（

）A． B． C． D．6．（2023·山西临汾·统考一模）已知，为不共线的非零向量，，，，则（

）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线7．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（

）A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则C．若且与方向相同，则 D．恒成立【基础过关】一、单选题1．（2023·河北·高三学业考试）化简所得的结果是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三对口高考）如图正六边形中，（

）

A． B． C． D．3．（2023·河北·高三学业考试）如图，正六边形中，（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：①若，则；②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若，则；④若，，则；其中正确的命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．若线段，则向量B．若向量，则线段C．若向量与共线，则线段D．若向量与反向共线，则三、填空题6．（2023·河南·统考二模）已知不共线，向量，，且，则．7．（2023·海南·校联考模拟预测）已知向量，，，若点，，三点共线，则实数．8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测），是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数.9．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则.10．（2023·全国·高三对口高考）已知，则与向量平行的单位向量的坐标为．【能力提升】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，且三点共线，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A． B．或C．或 D．3．（2023·全国·高三专题练习）若都为非零向量，则“”是“与共线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（

）A．若，则与的方向相同或者相反B．若，为非零向量，且，则与共线C．若，则存在唯一的实数使得D．若，是两个单位向量，且．则6．（2023·河北·校联考三模）对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（

）A．垂直 B．反向平行 C．同向平行 D．无法确定二、填空题7．（2023春·安徽滁州·高三校考开学考试）已知向量，，且，则.8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为．9．（2023·广西玉林·统考三模）记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则通项为．10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，．若，则=．

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标运算（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示向量垂直的坐标表示利用向量垂直求参数2022年新Ⅱ卷，第4题,5分平面向量线性运算的坐标表示数量积及向量夹角的坐标表示2021年新Ⅱ卷，第10题,5分坐标计算向量的模数量积的坐标表示逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式2020年新Ⅱ卷，第3题,5分向量加法的法则向量减法的法则无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义4理解向量的线性运算性质及其几何意义5会向量间的坐标运算【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习知识讲解1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.（2）P为线段AB的中点⇔eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．4.向量的坐标运算两点间的向量坐标公式：，，终点坐标始点坐标向量的加减法，，向量的数乘运算，则：向量的模，则的模相反向量已知，则；已知单位向量向量的平行关系，，考点一、平面向量基本概念的综合考查1．（辽宁·高考真题）已知点则与同方向的单位向量为A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.考点：向量运算及相关概念.2．（福建·高考真题）对于向量和实数，下列命题中真命题是(

)A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则【答案】B【分析】根据数量积的性质判断A，C，D，根据数乘向量的运算的定义判断B.【详解】对于选项A，C，D，设，，，则，但且，A错，，但且，C错，由，但，D错，由可得或，B对，故选：B．1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则【答案】C【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.【详解】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若同向共线，，若反向共线，，若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知.综上可知对于任意向量，必有，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.2．（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，则，所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B考点二、平面向量线性运算的综合考查1．（2020·新高考全国2卷·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.2．（安徽·高考真题）若，,则（）A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）【答案】B【详解】试题分析：因为向量，，所以．故选B．考点：向量减法的坐标的运算．3．（北京·高考真题）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）A． B．C． D．【答案】A【详解】是所在平面内一点，为边中点，∴，且，∴，即，故选A.4．（上海·高考真题）在平行四边形中，下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出图形，进而根据平面向量的概念及加减法法则即可得到答案.【详解】如图，易知A正确；根据平行四边形法则，B正确；，C错误；，D正确.故选：C.5．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：由已知得，而所以，选D.考点：平面向量的线性运算，相反向量.6．（四川·高考真题）如图，正六边形中，（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】将平移到，平移到，故，故选D.本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算考点：向量的加法.1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.【详解】由长方体的结构特征，有，则.故选：B2．（2023·浙江·统考二模）设是平行四边形的对角线的交点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.【详解】是平行四边形的对角线的交点，则,所以.故选：A.考点三、平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查1．（宁夏·高考真题）平面向量，共线的充要条件是A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，【答案】D【详解】若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使得；若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意，故选D.2．（山东·高考真题）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】证明三点共线，借助向量共线定理判断即可.【详解】因为，，不存在常数使得，所以不共线，则A，B，C不共线，B错；因为，，不存在常数，使得，所以不共线，则B，C，D不共线，C错；因为，，所以不存在常数，使得，所以不共线，则A，C，D不共线，D错；因为，所以共线，又两向量都过点，故三点，，一定共线．故选：A．3．（海南·高考真题）平面向量，共线的充要条件是（

）A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量C．， D．存在不全为零的实数，，【答案】D【解析】根据，共线的定义得到向量，共线的充要条件【详解】由，共线的定义，若，均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数，使得；若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了对向量共线定义的理解，特别注意零向量与任意向量共线，属于基础题.4．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（

）A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）【答案】D【分析】由，求得，再利用向量的坐标运算求解.【详解】解：因为，，且，所以m=-4，，所以=（-4，-8），故选：D5．（福建·高考真题）已知向量，，且，则．【答案】【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】解：因为，，且，所以，解得；故答案为：6．（全国·高考真题）已知向量，，．若，则．【答案】【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得,即故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量，若，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数.【详解】，因为，所以，解得.故选：B2．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】在四边形中，若，则，且，即四边形为梯形，充分性成立；若当，为上底和下底时，满足四边形为梯形，但不一定成立，即必要性不成立；故是的充分不必要条件.故选：A3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解.【详解】因为A，B，C三点共线，则，，即，则，解得.故选：C4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知向量，，．若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为，所以,选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.5．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设向量不平行，向量与平行，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量共线求解即可.【详解】解：因为向量与平行，所以，所以，所以故选：B6．（2023·山西临汾·统考一模）已知，为不共线的非零向量，，，，则（

）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【答案】B【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量逐项判断作答.【详解】，为不共线的非零向量，，，，则，，因，则与不共线，，，三点不共线，A不正确；因，即与共线，且有公共点B，则，，三点共线，B正确；因，则与不共线，，，三点不共线，C不正确；因，则与不共线，，，三点不共线，D不正确.故选：B7．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（

）A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则C．若且与方向相同，则 D．恒成立【答案】ABC【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；对于D选项，恒成立，D对.故选：ABC.【基础过关】一、单选题1．（2023·河北·高三学业考试）化简所得的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.【详解】.故选：C2．（2023·全国·高三对口高考）如图正六边形中，（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】连接相关对角线，根据向量加法的几何意义，数形结合化简即可.【详解】连接交于，

由正六边形性质知：，，所以，而，所以.故选：D3．（2023·河北·高三学业考试）如图，正六边形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由相等向量、向量加减法运算法则直接求解即可.【详解】六边形为正六边形，，.故选：B.4．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：①若，则；②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若，则；④若，，则；其中正确的命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】结合向量的概念、性质，说明、情况下的反例判断①、②，由向量相等、共线，注意共线向量传递性的前提判断③、④.【详解】①若，只能说明模相等，它们方向不一定相同或相反，错；②若，若且，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点，若四点共线，不能构成平行四边形，错；③若，即、分别为相等向量，故，对；④若，，当为零向量时不一定成立，错.故选：D二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．若线段，则向量B．若向量，则线段C．若向量与共线，则线段D．若向量与反向共线，则【答案】AD【分析】A选项，根据得到点B在线段上，进行判断A正确；BC选项，可举出反例；D选项，根据向量线性运算推导出答案.【详解】选项A：由得点B在线段上，则，A正确：选项B；三角形，，但，B错误；对于C：，反向共线时，，故，C错误；选项D：,反向共线时，，故D正确．故选：AD．三、填空题6．（2023·河南·统考二模）已知不共线，向量，，且，则．【答案】【分析】根据向量共线定理可知成立，列出方程组，即可得出答案.【详解】因为，所以，使得成立，即.因为不共线，所以，解得.故答案为：.7．（2023·海南·校联考模拟预测）已知向量，，，若点，，三点共线，则实数．【答案】/0.5【分析】根据向量共线定理可知，根据向量坐标计算即可.【详解】，，因为点，，三点共线，所以，解得.故答案为：.8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测），是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数.【答案】【分析】先表示出，然后根据向量的共线定理进行计算.【详解】依题意得，，于是，由三点共线可知，存在，使得，即，由于，是两个不共线的向量，则，解得.故答案为：9．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则.【答案】【分析】依题意存在，使得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.【详解】因为向量与的方向相反，所以存在，使得，又，是两个不共线的非零向量，所以，解得或（舍去）.故答案为：10．（2023·全国·高三对口高考）已知，则与向量平行的单位向量的坐标为．【答案】或【分析】先求得向量的模，再利用单位向量和平行向量的定义求解.【详解】解：因为，所以，所以向量平行的单位向量的坐标为或，故答案为：或【能力提升】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，且三点共线，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.【详解】由，得,因为三点共线，所以，即，解得.所以.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得．【详解】由得，即，，，，，与同向的单位向量为，反向的单位向量为．故选：C．3．（2023·全国·高三专题练习）若都为非零向量，则“”是“与共线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由为单位向量，根据向量共线的性质、充分必要性定义判断推出关系，即可得结果.【详解】由分别表示方向上的单位向量，当，即共线，充分性成立；当与共线，若同向共线时，不成立，必要性不成立.“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：B4．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）