考研数学二分类模拟198

考研数学二分类模拟198一、选择题1.

设函数y=y(x)由参数方程所确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是______

A．

B．

C．-8ln2+3

D．8ln2+3正确答案：A[解析]当x=3时，根据等式t2+2t一3，得t=1，t=-3(舍)，因此有

所以过点x=3(y=ln2)的法线方程为

y-ln2=-8(x-3)，

令y=0，可得法线与x轴交点的横坐标为故选A。

2.

曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=______A.4eB.3eC.2eD.e正确答案：C[解析](x2)'=2x=(alnx)'=，可得x2=，由x2=alnx，可得，a=2e。故选C。

当两条曲线在某一点具有公共的切线时，也称这两条曲线相切。曲线y=f(x)与y=g(x)在点x=x0处相切的充要条件是f(x0)=g(x0)，同时f'(x0)=g'(x0)。

3.

设区间[0，4]上y=f(x)的导函数的图形如图所示，则f(x)______

A.在[0，2]单调上升且为凸的，在[2，4]单调下降且为凹的B.在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的C.在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的D.在[0，2]单调上升且为凹的，在[2，4]单调下降且为凸的正确答案：B[解析]当x∈(0，1)或(3，4)时，f'(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]单调下降。

当x∈(1，3)时f'(x)＞0，那么f(x)在[1，3]单调上升。

又f'(x)在[0，2]单调上升，那么f(x)在[0，2]是凹的；f'(x)在[2，4]单调下降，那么f(x)在[2，4]是凸的。故选B。

4.

设f(x)在(0，+∞)二阶可导，且满足f(0)=0，f"(x)＜0(x＞0)，又设b＞a＞0，则a＜x＜b时恒有______A.af(x)＞xf(a)B.bf(x)＞xf(b)C.xf(x)＞bf(b)D.xf(x)＞af(a)正确答案：B[解析]将选项A、B分别改写成

于是，若能证明或xf(x)的单调性即可。

令

g(x)=xf'(x)-f(x)，

则g(0)=0，g'(x)=xf"(x)＜0(x＞0)，因此

g(x)＜0(x＞0)，

所以有

故在(0，+∞)内单调减小。

因此当a＜x＜b时，故选B。

5.

设则______

A．f(x)在[1，+∞)单调增加

B．f(x)在[1，+∞)单调减少

C．f(x)在[1，+∞)为常数

D．f(x)在[1，+∞)为常数0正确答案：C[解析]按选项要求，先求f'(x)。

又f(x)在[1，+∞)连续，则f(x)=常数=f(1)=。故选C。

6.

设函数f(x)连续，且f'(0)＞0，则存在δ＞0，使得______A.f(x)在(0，δ)内单调增加B.f(x)在(-δ，0)内单调减少C.对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)D.对任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)正确答案：C[解析]由导数定义，知根据极限的保号性，存在δ＞0，使对任意x∈，有

于是当x∈(-δ，0)时，有f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，有f(x)＞f(0)。故选C。

(1)要注意的是，题目中仅仅给出了函数在一点的导数，不能得出函数在该点附近的单调性。

(2)极限的局部保号性：设。若A＞0(或A＜0)，则存在δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，f(x)＞0(或f(x)＜0)。

7.

设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图所示，则导函数y=f'(x)的图形为______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]从题干图形可见，在y轴的左侧，曲线y=f(x)是严格单调增加的，因此当x＜0时，一定有f'(x)＞0，对应y=f'(x)图形必在x轴的上方，由此可排除A、C两项；

又y=f(x)的图形在y轴右侧靠近y轴部分是单调增，所以在这一段内一定有f'(x)＞0，对应y=f'(x)的图形必在x轴的上方，进一步可排除B项。故选D。

凹凸性本质上就是导函数的单调性，可以通过二阶导数的符号来判断，也可以直接通过导数的单调性来判断。请考生自行检验D选项中导函数的单调性与y=f(x)凹凸性的对应关系是否正确。

8.

设常数k＞0，函数在(0，+∞)内零点个数为______A.3B.2C.1D.0正确答案：B[解析]因令f'(x)=0，得唯一驻点x=e，f(x)在区间(0，e)与(e，+∞)内都具有单调性。又f(e)=k＞0，而

因此根据零点存在定理可知，f(x)在(0，e)与(e，+∞)内分别有唯一零点。故选B。

9.

设f(x)=|x(1-x)|，则______A.x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。B.x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。C.x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。D.x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。正确答案：C[解析]一般情况下，讨论分段函数的极值点和拐点，主要考虑分段点处。因此，本题只需讨论x=0两边f'(x)，f"(x)的符号。可以选择区间(-1，1)来讨论。

可见f'(x)在x=0两边异号，因此(0，0)是极值点；f"(x)在x=0两边异号，所以(0，0)也是曲线的拐点。故选C。

10.

曲线y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为______A.0B.1C.2D.3正确答案：C[解析]y'=2(x-1)(x-3)2+2(x-1)2(x-3)=4(x-1)(x-2)(x-3)，

y"=4[(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)]

=4(3x2-12x+11)，

y'''=24(x-2)，

令y"=0，即3x2-12x+11=0，因为判别式Δ=b2-4ac=122-4·3·11=12＞0，所以y"=0有两个不相等的实根，且y"(2)=3·22-12·2+11=-1≠0，所以两个实根不为2，因此在使y"=0这两点处，三阶导数y'''≠0[一般地，若f"(x0)=0，且f"(x0)≠0，则点(x0，f(x0))-定是曲线y=f(x)的拐点]，因此曲线有两个拐点，故选C。

或根据y"=4(3x2-12x+11)是一条抛物线，且与x轴有两个不相同的交点，所以在两个交点的左右y"符号不相同，满足拐点的定义，故选C。

11.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有______

A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点正确答案：C[解析]由导函数的图形可知，有3个一阶导数为零的点，而x=0是导数不存在的点。三个一阶导数为零的点两侧导数符号不同，因此为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，因此x=0为极大值点，即f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，故选C。

判断极值的第一充分条件实质上就是单调性定理的推论，不需要特别记忆，只要借助单调性进行分析即可得到某点是不是极值点、是极大值点还是极小值点。

二、填空题1.

曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为______。正确答案：y=x-1[解析]由题干可知，所求切线的斜率为1。

由得x=1，则切点为(1，0)，故所求的切线方程为y-0=1·(x-1)，即y=x-1。

2.

曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点处的切线的直角坐标方程是______。正确答案：[解析]由直角坐标和极坐标的关系对应于点且切线斜率为

所以切线方程为

3.

曲线在(0，0)处的切线方程为______。正确答案：y=2x[解析]

所以因此切线方程为y=2x。

4.

曲线上对应于t=1点处的法线方程为______。正确答案：[解析]当t=1时，则

由此可得法线的斜率为-1，因此可得法线方程为

即

5.

曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是______。正确答案：y=4x-3[解析]函数y(x)的定义域为(0，+∞)，

令y"=0，解得x=1，而y'''(1)≠0，故点(1，1)为曲线唯一的拐点。

曲线在该点处切线的斜率y'(1)=4，故切线方程为y=4x-3。

判断拐点的第二充分条件：设函数y=f(x)在区间，上连续，(x0z。-δ，x0+δ)I，f(x)在区间(x0-δ，x0+δ)内三阶可导。若f"(x0)=0，且f'''(x0)≠0，则点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点。

6.

设f(x)在x=0处连续，且则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为______。正确答案：[解析]当x→0时，由极限的运算法则可得

从而又因为f(x)在x=0处连续，所以

根据导数的定义可得

所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为

7.

设曲线y=f(x)与y=x2-x在点(1，0)处有公共的切线，则=______。正确答案：-2[解析]根据导数的极限表示和曲线在某点的导数的几何意义。

8.

已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加。则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加速率为______。正确答案：3cm/s[解析]设l=x(t)，w=y(t)，对角线增加的速率为s(t)。

根据题意，在t=t0时，x(t0)=12，y(t0)=5，且x'(t0)=2，y'(t0)=3。

又因

所以

故对角线增长速率为3cm/s。

9.

设函数y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)为凸函数的x取值范围为______。正确答案：(-∞，1)[考点]本题主要考查参数方程曲线的凹凸性。[解析]

令则t＜0。

又因x=t3+3t+1是单调增加的，在t＜0时，x∈(-∞，1)，故x∈(-∞，1)时，曲线上凸。

10.

设y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定的，则y=y(x)的极值点是______。正确答案：x=1[解析]方程两边对x求导，可得

y'(3y2-2y+x)=x-y，

(*)

令y'=0，有x=y，代入2y3-2y2+2xy-x2=1中，可得

(x-1)(2x2+x+1)=0，

那么x=1是唯一的驻点。

下面判断x=1是否是极值点。

对(*)式求导得

y"(3y2-2y+x)+y'(3y2-2y+x)'x=1-y'。

把x=y=1，y'(1)=0代入上式，得。故y(x)只有极值点x=1，且它是极小值点。

11.

设则f(x)的极值为______，f(x)的拐点坐标为______。正确答案：[解析]对f(x)求导，f'(x)=e-x4·2x=0，得x=0。

当x＜0时，f'(x)＜0；当x＞0时，f'(x)＞0。所以极小值点为x=0，极小值为f(0)=0。

又因f"(x)=2e-x4(1-4x4)=0，可得

当时，f"(x)＜0；当时，f"(x)＞0。故拐点坐标为

三、解答题1.

设f(x)为[-a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令

(Ⅰ)证明F'(x)单调增加；

(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值；

(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a2-1时，求函数f(x)。正确答案：解：(Ⅰ)由已知

所以f"(x)=2f(x)＞0，因此F'(x)为单调增加的函数。

(Ⅱ)因为且f(x)为偶函数，所以F'(0)=0，又因为f"(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小值点，也为最小值点，且最小值为

(Ⅲ)由两边对a求导得

2af(a)=f'(a)-2a，

于是

f'(x)-2xf(x)=2x，

解得

f(x)=(∫2xe-∫2xdxdx+C)e-∫-2xdx=Cex2-1，

在中，令a=0，得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=2ex2-1。

2.

已知f(x)=ax3+x2+2在x=0和x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间、极值点和拐点。正确答案：解：f'(x)=3ax2+2x，由题意f'(0)=0，f'(-1)=3a-2=0，由此可得于是f'(x)=2x2+2x，f"(x)=4x+2，令f"(x)=0，则可得列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性，如下表所示：

由此可知，函数f(x)的单调增区间是(-∞，-1)和(0，+∞)，单调减区间是(-1，0)，极大值为极小值为f(0)=2，拐点是

3.

设函数y=y(x)由参数方程确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。正确答案：解：已知

令得t=±1。当t=1时，当t=-1时，x=-1，y=1。

令得t=0，此时

列表如下：

由此可知，函数y(x)的极大值为y(-1)=1，极小值为曲线y=y(x)凹区间为凸区间为曲线y=y(x)的拐点为

4.

设函数求f'(x)，并求f(x)的最小值。正确答案：解：当0＜x＜1，有

x≥1时，则

由导数的定义可知f'(1)=2。故

易知0＜x＜时，f'(x)＜0；时，f'(x)＞0。故f(x)在[0，+∞)上的最小值为

5.

求函数的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。正确答案：解：由已知得，

令y'=0，得驻点x1=0，x2=-1。

列表如下：x(-∞，-1)-1(-1，0)0(0，+∞)y'+0-0+y↗↘↗

由上表可知，为极小值，为极大值。

由于

所以此函数图形无水平渐近线；同理，函数图形也没有垂直渐近线。因此令

综上可知，函数图形的渐近线为y=a1x+b1=eπ(x-2)及y=a2x+b2=x-2，共两条。