2019-2023历年高考真题分类专题10 解三角形（解析版）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题10解三角形解三角形作为高考必考题，高考题型一般作为1小1大或者是2小1大模式。考点01正弦余弦定理应用考点02三角形中面积周长应用考点03结构不良结构考点01正弦余弦定理应用1．(2023年北京卷·第7题)在中，，则 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以．故选：B．2．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第7题)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= ()A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，根据余弦定理：可得，即由故．故选：A．【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．2．(2021年高考全国乙卷理科·第9题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 () ()A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A．【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．3．(2021年高考全国甲卷理科·第8题)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() ()A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．二填空题1．(2021年高考全国乙卷理科·第15题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．【答案】【解析】由题意，，所以，所以，解得(负值舍去)．故答案为：．2．(2021年高考浙江卷·第14题)在中，，M是中点，，则___________，___________．【答案】(1)．(2)．解析:由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得(负值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得．故答案为；．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第16题)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．故答案为：．【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题．4．(2019·浙江·第14题)在中，，，，点在线段上．若，则，．【答案】，【解析】由题可得，，由正弦定理得，解得，所以．5．(2019·全国Ⅱ·理·第15题)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为．【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得(舍去)，所以，【点评】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．6．(2023年全国甲卷理科·第16题)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．【答案】【解析】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．三解答题1．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由正弦定理可得，，即，解得：；(2)由余弦定理可得，，即，解得：或(舍去)．(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，故．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【答案】(1)(2)6【解析】(1)，，即，又，，，，即，所以，．(2)由(1)知，，由，由正弦定理，，可得，，．2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第17题)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)方法1：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以．方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以．(2)方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以．3．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．(1)证明：；(2)若，求．【答案】【解析】(1)由题设，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得证．(2)由题意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，．4．(2020年浙江省高考数学试卷·第18题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(I)求角B；(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】(I)；(II)【解析】(I)由结合正弦定理可得：△ABC为锐角三角形，故．(II)结合(1)的结论有：．由可得：，，则，．即的取值范围是5．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因为，即，而，所以；(2)由(1)知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．6．(2020天津高考·第16题)在中，角所对的边分别为．已知．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)求的值；(Ⅲ)求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得，又因为，所以；(Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得；(Ⅲ)由知角为锐角，由，可得，进而，所以．7．(2020江苏高考·第16题)在中，角的对边分别为，已知．(1)求的值；(2)在边上取一点，使得，求的值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由余弦定理得，所以．由正弦定理得．(2)由于，，所以．由于，所以，所以所以．由于，所以．所以．8．(2019·全国Ⅰ·理·第17题)的内角的对边分别为．设．(1)求；(2)若，求．【答案】【解析】(1)由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因为，所以．(2)由(1)知，由题设及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．9．(2019·江苏·第15题)在中，角的对边分别为．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】见解析【解析】(1)因为由余弦定理，得，即.所以.(2)因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.10．(2019·北京·理·第15题)在△ABC中，，，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求sin(B–C)的值．【答案】(Ⅰ)由题可知，，，由余弦定理得：，解得：．(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故．考点02三角形中面积周长问题1．(2023年全国乙卷理科·第18题)在中，已知，，．(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由余弦定理可得：，则，，．(2)由三角形面积公式可得，则．2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．．(1)若，求的面积；(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】解析:(1)因为，则，则，故，，，所以，锐角，则，因此，；(2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故．3．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第17题)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由正弦定理可得：，，，(2)由余弦定理得：，即．(当且仅当时取等号)，，解得：(当且仅当时取等号)，周长，周长的最大值为．【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．4．(2022高考北京卷·第16题)在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】解析:因为，则，由已知可得，可得，因此，．解：由三角形的面积公式可得，解得．由余弦定理可得，，所以，的周长为．5．(2022年浙江省高考数学试题·第18题)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】解析:(1)由于，，则．因为，由正弦定理知，则．(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．6．(2022新高考全国II卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；(2)由正弦定理得：，则，则，．7．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第17题)记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以；【小问2详解】解：因为，由(1)得由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为．考点03机构不良试题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】解法一：由可得：，不妨设，则：，即．选择条件①的【解析】据此可得：，，此时．选择条件②的【解析】据此可得：，则：，此时：，则：．选择条件③的【解析】可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾．2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即．选择条件①的【解析】据此可得：，，此时．选择条件②的【解析】据此可得：，则：，此时：，则：．选择条件③的【解析】可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾．3．(2021高考北京·第16题)在中，，．(1)求角B的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：周长为；条件③：的面积为；【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．【解析】(1)，则由正弦定理可得，，，，，，解得