高中数学 1.6.1 垂直关系的判定基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.6.1垂直关系的判定基础巩固北师大版必修2一、选择题1．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的个数是()A．4 B．3C．2 D．1[答案]B[解析]①②④显然正确，③两条直线可能相交、平行或异面．2．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]如图，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正确．由题设知BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.∴B正确．可知平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．3．若l，m，n表示直线，α，β表示平面，下列命题正确的是()A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥m，lα，mβ，则α⊥βC．若l⊥m，l⊥n，mα，nα，则l⊥αD．若l⊥β，lα，则α⊥β[答案]D[解析]选项A中，由于m不是平面α的任一直线，不符合直线与平面垂直的定义，所以不正确；选项B用文字语言叙述为：如果分别在两个平面内的两条直线垂直，那么这两个平面垂直，很明显不正确；选项C中，由于直线m，n不一定是相交直线，所以不正确；选项D是平面与平面垂直的判定定理，所以正确．4．已知直线m，n与平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝m，m⊥n，nβC．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β[答案]D[解析]选择适合条件的几何图形观察可得，A中α∥β或α与β相交，B中α，β相交，但不一定垂直，C中α∥β或α与β相交．5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点PA．线段B1C上 B．线段BC1C．BB1中点与CC1中点的连线上 D．B1C1中点与BC[答案]A[解析]易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B16．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角[答案]D[解析]由已知PC⊥BC，PC⊥AC，又AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC.又FG∥PC，∴FG⊥平面ABC.又FG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC，故B正确．∵FG∥PC，GE∥BC，∴平面EFG∥平面PBC.故A正确．由异面直线所成角的定义知C正确．故选D.二、填空题7．下列三个命题，其中正确命题的序号为________．(1)平面α∥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ；(2)平面α∥平面β，β∥平面γ，则α∥γ；(3)平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ.[答案](1)(2)[解析]∵β⊥γ，∴在γ内作直线a垂直于β与γ的交线，∵α∥β，a⊥β，∴a⊥α，又aγ，∴γ⊥α，(1)正确；由传递性，(2)正确；而α⊥β，γ⊥β，α与γ相交或平行．∴(3)不正确．8．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．[答案](1)AB，AC，BC(2)BC[解析](1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，PA平面PAC.所以BC⊥AP.三、解答题9．(·新课标Ⅰ文，19)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO(1)证明：B1C⊥AB(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1[解析]思路分析：(1)根据菱形的性质及线面垂直可证第一问；(2)通过作辅助线先求出点O到面ABC的距离，尽而易求三棱锥的高．证明：(1)连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1由于AB平面ABO，故B1C⊥AB(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC，又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC，因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD＝eq\f(\r(3),4).由于AC⊥AB1，所以OA＝eq\f(1,2)B1C＝eq\f(1,2).由OH·AD＝OD·OA，且AD＝eq\r(OD2＋OA2)＝eq\f(\r(7),4)，得OH＝eq\f(\r(21),14).又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为eq\f(\r(21),7)，故三棱柱ABC－A1B1C1的高为eq\f(\r(21),7).一、选择题1．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部[答案]A[解析]∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上．2．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PC B．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC[答案]C[解析]∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，∴MA＝MB＝MC.又∵PM⊥平面ABC，∴MA，MB，MC分别是PA，PB，PC在平面ABC上的射影．∴PA＝PB＝PC，故选C.二、填空题3．已知平面α，β和直线m，给出下列条件①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所有条件的序号)[答案]③⑤②⑤[解析]由线面平行、线面垂直的判定定理可得．4．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.[答案]a[解析]过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴H为BC中点，故AH＝eq\f(\r(2),2)a，连接DH，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥HD，又∠BDC＝90°，∴HD＝eq\f(\r(2),2)a，∴AD＝eq\r(AH2＋HD2)＝eq\r(\f(\r(2),2)a2＋\f(\r(2),2)a2)＝a.三、解答题5．在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．(1)求证：PB∥平面AEC；(2)求证：平面EAC⊥平面PAB.[解析](1)连接BD交AC于F，连接EF，在△DPB中，EF为中位线，∴EF∥PB.又PB⃘平面EAC，EF平面EAC，∴PB∥平面AEC.(2)∵PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PA⊥AC.又AB⊥AC，PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB.又AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PAB.6．如图，S为直角三角形ABC所在平面外一点，∠ABC＝90°，且SA＝SB＝SC.(1)求证：点S到斜边AC中点D的连线SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC，∴DE⊥AB.又SA＝SB，E为AB的中点，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.∴AB⊥SD.又SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AB∩AC＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)若BA＝BC，则BD⊥AC.又SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.又∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.7．在如图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD＝1.(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求二面角C－AB－D的大小．[分析](1)转化为证明CD⊥平面ABC；(2)∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．[解析](1)证明：∵CD