高中数学 1.3.3 已知三角函数值求角基础巩固 新人教B版必修4

【成才之路】-学年高中数学1.3.3已知三角函数值求角基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．以下各式中错误的是()A．arcsin1＝eq\f(π,2) B．arccos(－1)＝πC．arctan0＝0 D．arccos1＝2π[答案]D[解析]arcsinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，arccosx∈[0，π]，arctanx∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故arccos1＝0.2．使arcsin(1－x)有意义的x的取值范围是()A．[1－π，1] B．[0,2]C．(－∞，1] D．[－1,1][答案]B[解析]由－1≤1－x≤1，得0≤x≤2，故选B.3．已知cosα＝eq\f(1,2)，α∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，则()A．α＝eq\f(π,3) B．α＝－eq\f(π,3)C．α＝±eq\f(π,3) D．α＝±eq\f(π,6)[答案]C[解析]验证：coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，cos(－eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)，故选C.4．若tanx＝0，则角x等于()A．kπ(k∈Z) B．eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)C．eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z) D．－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)[答案]A[解析]选项B、C、D使得tanx无意义，故选A.5．arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))的值是()A．eq\f(11π,6) B．eq\f(7π,6)C．eq\f(5π,6) D．－eq\f(π,6)[答案]D[解析]∵arcsinx(－1≤x≤1)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(π,6).6．已知x∈(－π，0)，且cosx＝－eq\f(3,4)，则角x等于()A．arccoseq\f(3,4) B．－arccoseq\f(3,4)C．π－arccoseq\f(3,4) D．－π＋arccoseq\f(3,4)[答案]D[解析]arccoseq\f(3,4)∈(0，eq\f(π,2))，排除A；π－arccoseq\f(3,4)∈(eq\f(π,2)，π)，排除C；cos(－arccoseq\f(3,4))＝cos(arccoseq\f(3,4))＝eq\f(3,4)，排除B，故选D.二、填空题7．(1)arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝________；(2)arctan(－1)＝________.[答案](1)eq\f(5π,6)(2)－eq\f(π,4)[解析](1)∵arccosx∈[0，π]，∴arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝eq\f(5π,6).(2)∵arctanx∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴arctan(－1)＝－eq\f(π,4).8．tanx＝－0.4201，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则x＝________.[答案]π－arctan0.4201[解析]∵tanα＝0.4201，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，α＝arctan0.4201，又∵tanx＝－0.4201<0，∴x为第二或四象限角，又eq\f(π,2)<x<eq\f(3π,2)，∴x为第二象限角，∴x＝π－arctan0.4201.三、解答题9．用反三角函数表示下列各式中的x.(1)sinx＝－eq\f(1,4)，－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2)；(2)sinx＝eq\f(2,5)，eq\f(π,2)<x<π；(3)cosx＝eq\f(1,3)，－eq\f(π,2)<x<0；(4)tanx＝－eq\f(1,5)，－eq\f(π,2)<x<0.[解析](1)x＝－arcsineq\f(1,4).(2)∵eq\f(π,2)<x<π，∴0<π－x<eq\f(π,2)，∵sinx＝eq\f(2,5)，∴sin(π－x)＝eq\f(2,5)，∴π－x＝arcsineq\f(2,5)，∴x＝π－arcsineq\f(2,5).(3)∵－eq\f(π,2)<x<0，∴0<－x<eq\f(π,2)，又cos(－x)＝cosx＝eq\f(1,3)，∴－x＝arccoseq\f(1,3)，∴x＝－arccoseq\f(1,3).(4)x＝－arctaneq\f(1,5).一、选择题1．已知cosx＝－1，则x等于()A．π B．kπ，k∈ZC．kπ－eq\f(π,2)，k∈Z D．(2k－1)π，k∈Z[答案]D[解析]∵cosx＝－1，∴角x的终边在x轴的负半轴上，∴x＝(2k－1)π，k∈Z.2．若tanx＝0.2，则角x＝()A．arctan0.2 B．2kπ＋arctan0.2C．kπ＋arctan0.2 D．kπ－arctan0.2[答案]C[解析]满足tanα1＝0.2的锐角α1＝arctan0.2，∵tanα>0，∴角α终边在第一、三象限，∴α＝kπ＋arctan0.2.3.eq\f(arcsin\f(\r(3),2)－arccos－\f(1,2),arctan－\r(3))的值等于()A．eq\f(1,2) B．0C．1 D．－eq\f(1,2)[答案]C[解析]∵arcsineq\f(\r(3),2)＝eq\f(π,3)，arccos(－eq\f(1,2))＝eq\f(2π,3)，arctan(－eq\r(3))＝－eq\f(π,3)，∴eq\f(arcsin\f(\r(3),2)－arccos－\f(1,2),arctan－\r(3))＝eq\f(\f(π,3)－\f(2π,3),－\f(π,3))＝1.4．若tan(2x＋eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)，则在区间[0,2π]上解的个数为()A．5 B．4C．3 D．2[答案]B[解析]∵tan(2x＋eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)，∴2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)，∴x＝－eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，∵x∈[0,2π]，∴x＝eq\f(5π,12)或eq\f(11π,12)或eq\f(17π,12)或eq\f(23π,12)，故选B.二、填空题5．arcsineq\f(\r(2),2)＋arctan1＝________.[答案]eq\f(π,2)[解析]∵arcsineq\f(\r(2),2)＝eq\f(π,4)，arctan1＝eq\f(π,4)，∴arcsineq\f(\r(2),2)＋arctan1＝eq\f(π,2).6．对于反三角函数式arccoseq\f(5π,4)，arcsin(log34)，arcsin(eq\r(2)－1)2，arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan\f(π,3)))，有意义的式子的个数为________个．[答案]1[解析]∵arcsinx、arccosx中x∈[－1,1]，又eq\f(5π,4)>1，log34>1，(eq\r(2)－1)2∈(0,1)，taneq\f(π,3)>1，故只有arcsin(eq\r(2)－1)2有意义．三、解答题7．已知cosα＝－eq\f(\r(3),2)，试求符合下列条件的角α.(1)α是三角形的内角；(2)0≤α<2π；(3)α是第三象限角．[解析](1)∵cosα＝－eq\f(\r(3),2)，α是三角形的内角，∴α＝eq\f(5π,6).(2)∵cosα＝－eq\f(\r(3),2)，0≤α<2π，∴α＝eq\f(5π,6)或eq\f(7π,6).(3)∵cosα＝－eq\f(\r(3),2)，α是第三象限角，∴α＝2kπ＋eq\f(7π,6)，k∈Z.8．求使2sin2x－3cosx＝0成立的角x的集合．[解析]2(1－cos2x)－3cosx＝0，∴2cos2x＋3cosx－2＝0，∴(cosx＋2)(2cosx－1)＝0，∵－1≤cosx≤1，∴cosx＝eq\f(1,2)，∴x＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)．∴x的集合为{x|x＝2kπ±eq\f(π,3)，k∈Z}．9．已知cosα＝a(－1≤a≤1)，求角α.[解析](1)a＝－1时，角α的终边落在x轴非正半轴上，此时α＝(2k＋1)π(k∈Z)．(2)a＝1时，角α终边落在x轴非负半轴上，∴α＝2kπ(k∈Z)．(3)a＝0时，角α终边落在y轴上，