高中数学 1.3 全称量词与存在量词基础达标 北师大版选修2-1

【成才之路】-学年高中数学1.3全称量词与存在量词基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．下列命题是真命题的是()A．所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立C．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．存在实数x使x2<0成立[答案]A[解析]因为x2－3x＋6＝(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(15,4)≥eq\f(15,4)，所以对于任意的x∈R，x2－3x＋6>0恒成立，因此A中的命题为真命题．2．命题“存在x0∈∁RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q”的否定是()A．存在x0∉∁RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q B．存在x0∈∁RQ，xeq\o\al(3,0)∉QC．任意x∉∁RQ，x3∈Q D．任意x∈∁RQ，x3∉Q[答案]D[解析]本题考查量词命题的否定改写．任意x0∈∁RQ，xeq\o\al(3,0)∉Q，注意量词一定要改写．3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是()A．某些平行四边形不是矩形 B．任何平行四边形是矩形C．每一个平行四边形都不是矩形 D．以上都不对[答案]C[解析]特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论．二、填空题4．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．其中是全称命题且为真命题的序号是________．[答案]④[解析]①是全称命题，但为假命题；②不是命题；③是特称命题5．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有的奇数不是素数；③|x－1|<2；④任意x>5，都有x>3.其中是全称命题的是________．[答案]①④[解析]②是特称命题；③不是命题．三、解答题6．写出下列命题的否定形式，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[解析](1)这一命题的否定为：所有的质数不是奇数．很明显，质数3就是奇数，所以命题的否定是假命题．(2)这一命题的否定为：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.因为原命题是真命题，所以命题的否定为假命题．[点评]全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．一、选择题1．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是()A．所有奇数的立方不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数[答案]C[解析]全称命题的否定是特称命题．2．下列命题中的假命题是()A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ[答案]B[解析]cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然选项C，D为真；sinα·sinβ＝0时，选项A为真；选项B为假．故选B.3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1[答案]C[解析]本题考查了全称、存在命题及命题的否定．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．这类题目应遵循“存在变任意(任意变存在)，再否定结论”的原则．4．下列四个命题中，其中为真命题的是()A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3[答案]C[解析]由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“任意x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“存在x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±eq\r(3)，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x∈Q，x2＝3”是假命题．故选C.5．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．存在x∈R，f(x)≤f(x0) B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)C．任意x∈R，f(x)≤f(x0) D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)[答案]C[解析]由x0＝－eq\f(b,2a)(a>0)及抛物线的相关性质可得C选项是错误的．二、填空题6．下列特称命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．[答案]①③④[解析]①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，所以不存在实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.7．命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m<x2＋x＋1”是________．(填“真”或“假”)[答案]真[解析]由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，所以只需m2－m≤0，即0≤m≤1.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m<x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．三、解答题8．某足球队队员的全体构成集合A，写出下列命题的否定：(1)A中的队员至少有一个是北京人；(2)A中的队员都是北京人；(3)A中的队员都不是北京人；(4)A中的队员不都是北京人．[解析](1)A中的队员都不是(一个也没有)北京人；(2)A中的队员不都是北京人；(3)A中的队员至少有一个是北京人；(4)A中的队员都是北京人．9．为使下列p(x)为真命题，求x的取值范围：(1)p(x)：x＋1>x；(2)p(x)：x2－5x＋6>0；(3)p(x)：sinx>cosx.[解析](1)∵对任意实数x，都有(x＋1)－x＝1>0，∴x＋1>x，∴x∈R.(2)由x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)>0得x<2或x>3，∴使p(x)成立的x的取值范围是x<2或x>3.(3)sinx－cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))>0，∴2kπ<x－eq\f(π,4)<2kπ＋π(k∈Z)，∴2kπ＋eq\f(π,4)<x<2kπ＋eq\f(5π,4)，∴使p(x)：sinx>cosx成立的x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))，k∈Z.10．若命题“对任意x∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”为真命题，求a的取值范围．[分析]用分类讨论