高中数学 1.1.1 简单旋转体基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.1.1简单旋转体基础巩固北师大版必修2一、选择题1．关于下列几何体，说法正确的是()A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台[答案]D[解析]图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．2．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A．10 B．20C．40 D．15[答案]B[解析]圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽分别为5、4，则面积为4×5＝20.3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是()A．圆锥 B．圆柱C．球体 D．以上均有可能[答案]B[解析]圆锥、球体被平面截后不可能是四边形，而圆柱被截后可能是四边形．4．充满气的车轮内胎可由图中哪个图形绕对称轴旋转生成()[答案]C[解析]汽车内胎是圆形筒状几何体．5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()[答案]B[解析]由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.6．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，则球的半径为()A．13 B．12C．5 D．eq\r(149)[答案]A[解析]设球的半径为R，则R＝eq\r(52＋122)＝13.二、填空题7．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为________．[答案]2[解析]设下底面半径为r，则eq\f(r－1,1)＝tan45°，∴r＝2.8．有下列说法：①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．其中正确的有________．[答案]①[解析]球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．三、解答题9．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的小圆锥的母线长是3cm，求圆台OO′的母线长．[解析]设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.过轴SO作截面如图所示．则△SO′A′∽△SOA，∴eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA).又SA′＝3，SA＝3＋l，O′A′＝r，OA＝4r，∴eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9.即圆台的母线长为9cm.一、选择题1．下列命题中，错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形[答案]B[解析]当圆锥的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大的．2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是()A．4 B．3C．2 D．1[答案]B[解析]如图，设球的半径为R，两截面圆的半径分别为r1，r2，则πreq\o\al(2,1)＝5π，πreq\o\al(2,2)＝8π，∴r1＝eq\r(5)，r2＝2eq\r(2).又O1O2＝1，取OO2＝x，则有R2＝5＋(x＋1)2，R2＝8＋x2，∴5＋(x＋1)2＝8＋x2，∴x＝1，∴R＝3.二、填空题3．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是________．[答案]2eq\r(2)[解析]如图所示，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高是eq\r(16－r2)，∵eq\f(1,2)·2r·eq\r(16－r2)＝8，∴r＝2eq\r(2).∴圆锥的高为eq\r(16－2\r(2)2)＝2eq\r(2).4．已知圆锥母线与旋转轴所成的角为30°，母线的长为eq\r(2)，则其底面面积为________．[答案]eq\f(π,2)[解析]如图所示，过圆锥的旋转轴作其轴截面ABC，设圆锥的底面半径为r.∵△ABC为等腰三角形，∴△ABO为直角三角形．又∵∠BAO＝30°，∴BO＝r＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2).∴底面圆O的面积为S＝πr2＝eq\f(π,2).三、解答题5．如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．[解析](1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图(2)所示．(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．6．轴截面为正三角形的圆锥叫作等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为eq\r(3)，求该圆锥的底面半径、高和母线长．[解析]如图△SAB为等边圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则在轴截面△SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝l，且∠SBO＝60°.在直角△SOB中，h＝eq\r(3)r，l＝2r，所以S△SAB＝eq\f(1,2)×AB×SO＝rh＝eq\r(3)r2，根据题意得eq\r(3)r2＝eq\r(3)，解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝eq\r(3)r＝eq\r(3).即该圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，母线长为2.7．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解析](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)．因为圆台上底面面积为4πcm2，所以上底面半径为2cm.又因为圆台下底面面积为25πcm2，所以下底面半径为5cm，所以高为AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r