2024-2025学年度九年级数学竞赛辅导系列讲座七-四边形

2025学年度九年级数学竞赛辅导系列讲座七——四边形1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC中点，对角线BD上的动点P到E、C两点距离之和的最小值为（）A、eq\f(\r(,3),4) B、eq\f(\r(,3),3) C、eq\f(\r(,3),2) D、eq\r(,3)2、如图，在凸四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，AF、DE交于点G，BF、CE交于点H，四边形EGFH的面积为10，则△ADG与△BCH的面积和为（）A、eq\f(20,3) B、10 C、15 D、203、矩形ABCD的边长AB=4，BC=8，将矩形折叠使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A、3eq\r(,2) B、2eq\r(,5) C、eq\f(15,2) D、eq\f(16,3)4、如图，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB中点，若CM=6.5，BC+DC+DA=17，则梯形ABCD的面积为（）A、20 B、30 C、40 D、505、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC于点E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（）A、30° B、40° C、50° D、60°6、如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（）A、S1=S2 B、S1>S2 C、S1<S2 D、无法确定7、如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于h，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A、4h2 B、5h2 C、4eq\r(,2)h2 D、5eq\r(,2)h28、如图，已知∠A=∠B，AA1、PP1、BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB=（）A、12 B、13 C、14 D、159在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cosB=eq\f(4,5)，EC=2，P是AB上的一个动点，则线段PE长度的最小值是_______．10、在四边形ABCD（如图）中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，E是AD延长线上一点，若DE=AB=3，CE=4eq\r(,2)，则AD的长是_______．11、在梯形ABCD中，AB∥CD，其底角∠DAB=36°，∠CBA=54°，M、N分别为边AB、CD的中点，若这个梯形的下底AB比其上底CD长2008，则线段MN=_______．12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的变数分别为x、y、z，则=_______．13、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=AC，DA=DB，∠ADB=90°，则∠ACD的度数等于_______．14、矩形ABCD内一点P到A、B、C、D的长分别为3，4，5，则PD的长为_____．15、如图，△ABC中，∠BAC=120°，以AB、AC为边分别向形外做正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则∠MPN=_____°．16、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于F，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于P、Q，且∠FPQ=∠FQP，BD=10，则AC=______．17、如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与点B或点C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B’、C’、D’，求BB’+CC’+DD’的最大值和最小值．18、如图，正方形ABCD被与两条边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF和GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是举行AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．19、（1）如图(a)，已知四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BD+DC=AC；（2）如图(b)，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PC+PD≥BD．（a）（b）20、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AC平分∠DAB，E、F分别是对角线AC、BD的中点，且EF=a，求梯形面积．21、分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．22、如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点，（1）求证：△PQS是正三角形；（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面积；（3）若△PQS的面积与△AOD面积的比是7：8，求梯形上下两底的比CD：AB．23、正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交边BC于点E，（1）求证：AF=DF+BE；（2）设DF=x（0≤x≤1），△ADF和△ABE的面积的和S是否存在最大值？若存在，求此时x的值及S；若不存在，请说明理由．24、在凹四边形ABCD中，它的三个内角∠A、∠B、∠C均为45°，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，证明：四边形EFGH是正方形．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC=5，∠DBC=30°，（1）求对角线BD的长度；（2）求梯形ABCD的面积．28．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．动点P、Q同时从A点出发，点P沿线段AB→BC→CD的方向运动，速度为2cm／s；点Q沿线段AD的方向运动，速度为1cm／s．当P、Q其中一点先到达终点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t(s)，△APQ的面积为S(cm)．(1)当点P在线段AB上运动时，是否存在某个t的值使∠CQP=60°?通过计算说明；(2)当点P在CD上时，是否存在某个t的值使PQ=AQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)试探究：点P在整个运动过程中，当t取何值时，S的值最大?并求出最大值；27．29．下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF＝BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH.下列结论中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③；④.其中正确的命题有（）A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④30．我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（3）如图2，若点D在的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．31．如图，已知M是正方形ABCD的边DC所在的直线上的一个动点，求的最大值．32．如图，P是正方形ABCD边AB上任意一点，Q是外角平分线上一点，且DP=PQ，求证：DP⊥PQ．33．如图，已知在中，为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，（1）若BD平分，求证：=BD；（2）若D为AC上一个动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．34．以凸四边形ABCD的四条边为边在形外作四个正方形，依次记四个正方形的中心分别为、、、，求证：=且⊥．35．如图已知四边形ABCD中，AC=BD，，请你探索AB+CD与AC的大小关系，并证明你的结论．36．如图已知，在中，如果是不等于的锐角，点D、E分别在边AB、AC上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．37．如图正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分交边BC于点E，（1）求证：AF=DF+DE；（2）设DF=（），和的面积和为S，S是否存在最大值？若存在，ADBC·M·NADBC·M·N38．如图，大楼ABCD（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面，地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点M和点N处，M、N均在AD的中垂线上，且M、N到大楼的距离分别为60米和米，又已知AB=40，BC=120．由于大楼遮挡着，所以乙不能直接看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动）．则他行走的最短路线为多少？39．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图；（2）求的值