考研数学二模拟413

考研数学二模拟413一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设在x=0处连续，则f(x)在x=0处______．

A．不可导

B．f'(0)=ln23+1

C．

D．正确答案：D[解析]

因为f(x)在x=0处连续，所以a=1+ln3，于是

又因为

所以f(x)在x=0处可导，且，选D．

2.

当x→0时，无穷小的阶数最高的是______．

A．

B．tanx-x

C．(1+tanx)ln(1+2x)-1

D．正确答案：A[解析]由得，即为4阶无穷小；

由，即tanx-x为3阶无穷小；

由(1+tanx)ln(1+2x)-1=eln(1+2x)ln(1+tanx)-1～ln(1+2x)ln(1+tanx)～2x2得(1+tanx)ln(1+2x)-1为2阶无穷小；

由得为3阶无穷小．选A.

3.

对函数______．A.仅有极大值B.仅有极小值C.既有极大值又有极小值D.没有极值正确答案：C[解析]令f'(x)=2x(4-x2)ln(1+x2)=0，得x1=-2，x2=0，x3=2．

当x＜-2时，f'(x)＞0；当x∈(-2，0)时，f'(x)＜0；当x∈(0，2)时，f'(x)＞0；当x＞2时，f'(x)＜0，则x1=-2，x3=2为f(x)的极大值点，x2=0为f(x)的极小值点，选C.

4.

微分方程y"-4y'=x2+cos2x的特解形式为______．A.(ax2+bx+c)+(Acos2x+Bsin2x)B.(ax2+bx+c)+x(Acos2x+Bsin2x)C.(ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x)D.(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)正确答案：A[解析]特征方程为λ2-4λ=0，特征值为λ1=0，λ2=4，

方程y"-4y'=x2的特解为y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx；

方程y"-4y'=cos2x的特解为Acos2x+Bsin2x．选C．

5.

设平面图形A由x2+y2≤2x及y≥x所确定，则A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积公式为______．

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]取[x，x+dx][o，1]，则，所求的体积为

若取

所求的体积为

选B．

6.

设f(x)连续，且满足，则关于f(x)的极值问题有______．

A．存在极小值

B．存在极大值

C．存在极小值

D．存在极小值正确答案：A[解析]等式两边求导，得f'(x)+2f(x)=2x，其通解为．

因为，所以C=1，从而．

令f'(x)=-2e-2x+1=0，得唯一驻点为．

因为f"(x)=4e-2x＞0，故是极小值点，极小值为．

7.

已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为______．A.1B.2C.3D.4正确答案：A[解析]设αi=(αi1，αi2，αi3，αi4)T(i=1，2，3)，由已知条件有即βi(i=1，2，3，4)为方程组的非零解．

由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量组β1，β2，β3的秩为1，选A.

8.

设A，B及A*都是n(n≥3)阶非零矩阵，且AB=O，则r(B)=______．A.0B.1C.2D.3正确答案：B[解析]由B为非零矩阵得r(A)＜n，从而r(A*)=0或r(A*)=1，

因为A*为非零矩阵，所以r(A*)=1，于是r(A)=n-1，

又由AB=O得r(A)+r(B)≤n，从而r(B)≤1，再由B为非零矩阵得r(B)≥1，

故r(B)=1，选B．

二、填空题1.

极限正确答案：[解析]令

由得

由迫敛定理

2.

设f(x)二阶可导且满足，则f(x)=______．正确答案：[解析]对两边求导得x2f(x)=3x2+f'(x)，整理得f'(x)-x2f(x)=-3x2，解得

当x=0时，f(x)=0，于是C=-3，故

3.

正确答案：[解析]

4.

y=y(x)，由确定，则正确答案：2(e-1-e-2)[解析]当t=0时，x=0，y=-1，，由tey+y+1=0，得，解得

于是

5.

若f(x)=2nx(1-x)n，记正确答案：[解析]令f'(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0，得，由f(0)=f(1)=0，得，于是

6.

设，且ABAT=E+2BAT，则B=______．正确答案：[解析]由ABAT=E+2BAT，得ABAT=(AT)-1AT+2BAT，因为AT可逆，所以AB=(AT)+2B或B=(A-2E)-1(AT)-1=[AT(A-2E)-1，解得

三、解答题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设f(x)二阶可导，且f(0)=0，令1.

确定a的取值，使得g(x)为连续函数；正确答案：[解]，当a=f'(0)时，g(x)在x=0处连续．

2.

求g'(x)并讨论函数g'(x)的连续性．正确答案：[解]当x≠0时，

当x=0时，

于是

因为

所以g'(x)在x=0处连续．

3.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导()．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

正确答案：[解]令g(x)=-cosx，g'(x)=sinx≠0(a＜x＜b)，

由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得；

令h(x)=sinx，h'(x)=cosx≠0(a＜x＜b)，

由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得

从而

于是

故

4.

设f(x)连续且f(0)=0，f'(0)=2，求极限正确答案：[解]由

于是

5.

计算积分，其中D是由直线y=2，y=0，x=-2及曲线所围成的区域．正确答案：[解]令D1={(x，y)|-2≤x≤0，0≤y≤2}，

6.

过点作抛物线的切线，该切线与抛物线及x轴围成的平面区域为D，求该区域分别绕x轴和y轴旋转而成的体积．正确答案：[解]设切点为，

由，解得a=3顶格

则切线方程为．

7.

求z=x2-2y2+2x+4在区域x2+4y2≤4上的最小值和最大值．正确答案：[解]当x2+4y2＜4时，

由得，且z(-1，0)=3；

当x2+4y2=4时，

令

则

当时，；当cost=1时，zmax=12，

故z=x2-2y2+2x+4在x2+4y2≤4上的最小值为，最大值为12．

8.

设曲线y=y(x)过(0，0)点，M是曲线上任意一点，MP是法线段，P点在x轴上，已知MP的中点在抛物线2y2=x上，求此曲线的方程，正确答案：[解]设M(x，y)，则法线方程为

令Y=0得X=yy'+x，于是P点坐标为(yy'+x，0)．MP的中点坐标为，它位于给定的抛物线上．于是有方程y2=yy'+2x，即，所以y2e-2x=2xe-2x+e-2x+C由y(0)=0得C=-1，所求曲线方程为y2=1+2x-e2x.

设A是三阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得

9.

求常数a，b的值及μ．正确答案：[解]A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-1，

令

显然Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=-α3，

即α1，α2，α3为分别属于λ1=1，λ2=2，λ3=-1的特征向量，

因为A是实对称矩阵，所以解得a=0，b=-2．

A*的特征值为

由α3=-α得α是矩阵A的属于特征值λ3=-1的特征向量，从而α是A*的属于特征值2的特征向量，即μ=2．

10.

求|A*+3E|．正确答案：[解]A*+3E的特征值为1，2，5，则|A*+3E|=10.

11.

设A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵，使得，又令B=A2+2E，求矩阵B．正确答案：[解]由得A的特征值为λ1=2，λ2=-1，λ3=1，且λ1=2对应的特征向量