考研数学二分类模拟题181

考研数学二分类模拟题181选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1.

设三阶行列式，其中aij=1或-1，i=1，2，3；j=1，2，3．则|A|的最大值是______A.3B.4C.5D.6正确答案：B[解析]由3阶行列式的定义：

共6项．每项均是三个不同行、不同列的三个元素乘积，且有三项取正号，三项取负号，由题设aij=1或-1，故|A|≤6

但|A|≠6．若|A|=6，则正的三项中三个元素全取1或取1个1，两个-1，总的-1的个数为偶数个，负的三项中三个元素取1个或3个1，三项中总的-1的个数为奇数，又正三项，负三项各自遍历了9个元素，和三个正项中-1的个数矛盾，故|A|≤5．

同样有|A|≠5．若|A|=5，|A|的六项中总有一项的值为-1，此时|A|≤4．

而

故max{|A3×3|，aij=1或-1}=4，应选B．

2.

中x3的系数为______A.2B.-2C.3D.-3正确答案：B[解析]按第1行展开：

其中第1，3，4项都没有x3的因子，所以只分析第2项．

又因为第2项的行列式中只有主对角线上元素的乘积是x2项，所以行列式展开式含x3项的系数是-2．

由行列式展开定理，只有a12A12这一项可得到x3项，又

所以行列式中x3项的系数就是-2．故应选B．

3.

设c≠0，则等于______A.c-2mB.mC.cmD.c3m正确答案：B[解析]由

故选B．

4.

一个值不为零的n阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值______A.保持不变B.保持不为零C.保持相同的正、负号D.可以变为任何值正确答案：B[解析]一个值不为零的n阶行列式经三类初等变换，都保持行列式不为零．

5.

设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式|α1，α2，α3，β1|=m，|α1，α2，β2，α3|=n，则4阶行列式|α3，α2，α1，β1+β2等于______A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n正确答案：C[解析]因

|α3，α2，α1，β1+β2|=|α3，α2，α1，β1|+|α3，α2，α1，β2|

=-|α1，α2，α3，β1|-|α1，α2，α3，β2|

=-|α1，α2，α3，β1|+|α1，α2，β2，α3|

=n-m，

故选C．

6.

线性方程组

则______A.若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0B.若方程组有解，则必有系数行列式|A|≠0C.系数行列式|A|=0，则方程组必无解D.系数行列式|A|≠0是方程组有唯一解的充分非必要条件正确答案：A[解析]方程组无解，则有|A|=0(反证，若|A|≠0，用克拉默法则，方程组必有解)；B项方程组有解，|A|可能为零，也可能不为零；C项|A|=0，方程组也可能有解；D项|A|≠0，则方程组有唯一解，反过来，若方程组有唯一解，则|A|一定不为零．

7.

线性方程组

则______A.当a，b，c为任意实数时，方程组均有解B.当a=0时，方程组无解C.当b=0时，方程组无解D.当c=0时，方程组无解正确答案：A[解析]当a=0或b=0或c=0时，方程组均有解，当abc≠0时，系数行列式

由克拉默法则知，方程组有解，故a，b，c为任意实数时，方程组均有解．

8.

设A，B是”阶矩阵，则下列结论正确的是______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]因或|B|=0，C正确；

A项不正确，例：

B项不正确，例：

D项不正确，例：

9.

设n维行向量，矩阵A=E-αTα，B=E+2αTα，则AB=______A.0B.-EC.ED.E+αTα正确答案：C[解析]因为AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E+αTα-2αTααTα=E+αTα-2αT(ααT)α，

其中

故

10.

设A，B是n阶方阵，满足AB=0，则必有______A.A=O或B=OB.A+B=OC.|A|=0或|B|=0D.|A|+|B|=0正确答案：C[解析]由，故|A|=0或|B|=0．

11.

设A是n阶矩阵，X是任意的n维列向量，B是任意的n阶方阵，则下列说法错误的是______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]对任意的X，有XTAX=0，可推出AT=-A，不能推出A=O．例取，对任意的X=[x1，x2]T，均有

但

12.

A，B是n阶可逆方阵，则下列公式正确的是______A.(A2)-1=(A-1)2B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(A+B)(A-B)=A2-B2D.(kA)-1=kA-1(k≠0)正确答案：A[解析]A项中，(A2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；B项不成立，例：B=-A，A+B不可逆；C项中，若AB≠BA，则BA-AB≠O；D项中，不一定等于kA-1．

13.

设A是n阶方阵，且A3=O，则______A.A不可逆，且E-A不可逆B.A可逆，但E+A不可逆C.A2-A+E及A2+A+E均可逆D.A不可逆，且必有A2=O正确答案：C[解析]因A3=O,有

E3+A3=(E+A)(A2-A+E)=E，

E3-A3=(E-A)(A2+A+E)=E，

故A2-A+E及A2+A+E均可逆，C项正确由以上两式知，E-A，E+A也均可逆，故A，B项不成立．D项不成立，例有

但

14.

A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|=______A.|A|B.|A-1|C.|An-1|D.|An|正确答案：C[解析]由AA*=|A|E，两边取行列式，得|A||A*|=|A|n．

若|A|≠0，|A*|=|A|n-1=|An-1|；

若|A|=0，则|A*|=0，故选C．

15.

设A是n阶可逆方阵(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则(A*)*=______A.|A|n-1AB.|A|n+1AC.|A|n-2AD.|A|n+2A正确答案：C[解析]由AA*=|A|E，得

A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*)-1，

其中

故

16.

A是n阶矩阵，|A|=3．则|(A*)*|=______A.3(n-1)2B.3n2-1C.3n2-nD.3n-1正确答案：A[解析]因|A|=3，A可逆，则

A*(A*)*=|A*|E，

所以(A*)*=||A|n-2A|=|A|(n-2)n|A|=|A|n2-2n+1=3(n-1)2．

17.

设An×n是正交矩阵，则______A.A*(A*)T=|A|EB.(A*)TA*=|A*|EC.A*(A*)T=ED.(A*)TA*=-E正确答案：C[解析]因为A是正交矩阵，则有

18.

设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是______A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D.(A+E)2=A2+2AE+E2正确答案：B[解析]由矩阵乘法的分配律可知：

(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，

因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条件是BA=AB，也即A，B的乘积可交换．

由于A与A-1，A与A*以及A与E都是可交换的，故A，C，D项中的等式都是成立的，故选B．

19.

设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论：

①A是可逆矩阵；

②A是对称矩阵；

③A是不可逆矩阵；

④A是正交矩阵．

其中正确的个数为______A.1B.2C.3D.4正确答案：B[解析]由aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A*=AT，那么|A*|=|AT|，也即|A|2=|A|，即|A|(|A|-1)=0．

又由于A为非零矩阵，不妨设a11≠0，则

故|A|=1．因此，A可逆．

并且由AAT=AA*=|A|E=E，可知A是正交矩阵，故①，④正确，③错误．

从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选B．

20.

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m＞n，则必有______A.|AB|=0B.|BA|=0C.|AB|=|BA|D.||BA|BA|=|BA||BA|正确答案：A[解析]由于m＞n，则有r(AB)≤r(A)≤n＜m，可知矩阵AB不满秩，因此A项正确，由于BA是n阶矩阵，是否满秩无法确定，故不一定有|BA|=0，故B错误．

由于A，B不为方阵，因此没有等式|AB|=|A||B|=|BA|．事实上，由上面的讨论过程可知，当BA满秩时，有|AB|=0≠|BA|，故C不正确，

由||BA|BA|=|BA|nBA=|BA|n+1，可知等式||BA|BA=|BA||BA|也不一定成立，故D错误．

综上，正确的选项是A．

21.

已知，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=O，则______A.t=6时，P的秩必为1B.t=6时，P的秩必为2C.t≠6时，P的秩必为1D.t≠6时，P的秩必为2正确答案：C[解析]“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：

①

②组成B的每一列都是Am×sX=0的解向量．

对于本题，

当t=6时，，则A和B项都错；

当t≠6时，．故选C．

22.

设，若r(A*)=1，则a=______A.1B.3C.1或3D.无法确定正确答案：C[解析]由r(A*)=1，得r(A)=3，则|A|=0，即

得a=1或3，且此时均满足r(A)=3，故选C．

23.

设A是秩为n-1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是______A.α1+α2B.kα1C.k(α1+α2)D.k(α1-α2)正确答案：D[解析]因为通解中必有任意常数，显然A项不正确，由n-r(A)=1知Ax=0的基础解系由一个非零向量构成，下面讨论α1，α1+α2与α1-α2中哪一个一定是非零向量．

已知条件只是说α1，α2是两个不同的解，那么α1可以是零解，因而kα1可能不是通解，如果α1=-α2≠0，则α1，α2是两个不同的解，但α1+α2=0，即两个不同的解不能保证α1+α2≠0．因此排除B，C．由于α1≠α2，必有α1-α2≠0．可见D项正确．

24.

已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3，α4线性无关，则与(Ⅰ)等价的向量组是______A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1B.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1C.α1+α2，α2-α3，α3+α4，α4-α1D.α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1正确答案：D[解析]因A项(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α4+α1)=0；

B项(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0；

C项(α1+α2)-(α2-α3)-(α3+α4)+(α4-α1)=0，故均线性相关，而

其中

故α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关，两向量组等价．

25.

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是______A.α1+α2，α2+α3，α3-α1B.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C.α1+2α2，2α2+3α3，3α3+a1D.α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3正确答案：C[解析]因A项α1+α2-(α2+α3)+α3-α1=0；B项α1+α2+α2+α3-(α1+2α2+α3)=0；D项-19(α1+α2+α3)+2(2α1-3α2+22α3)+5(3α1+5α2-5α3)=0，故A，B，D项的向量组均线性相关，由排除法知C项向量组线性无关．对C项，若存在数k1，k2，k3使得

k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0，

整理得：(k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0.

因α1，α2，α3线性无关，得

又，式①只有零解，从而知原向量组线性无关．

26.

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组2α1+α3+α4，α2-α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3的秩是______A.1B.2C.3D.4正确答案：C[解析]

方法一

因

r(α1，α2，α3，α4)=4，

故

方法二易知β1，β2，β3线性无关，β4=β2+β3，β5=β1+β2，故

r(β1，β2，β3，β4，β5)=3．

27.

设xOy平面上n个不同的点为Mi(xi，yi)，i=1，2，…，n(n≥3)，记

则M1，M2，…，Mn共线的充要条件是r(A)=______A.1B.2C.3D.4正确答案：B[解析]因，且Mi(xi，yi)，i=1，2，…，n(n≥3)是n个不同的点，A中至少有一个2阶子式不为零，r(A)≥2．又n个点共线．A中任一3阶子式为零，故r(A)＜3．故r(A)=2．

28.

设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则______A.r＞r1B.r＜r1C.r=r1D.r和r1的关系依C而定正确答案：C[解析]因C是可逆矩阵，是若干个初等矩阵的积，A右边乘C，相当于对A作若干次初等列变换，不改变矩阵的秩，所以r(A)=r(B)．

29.

设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是______A.A的列向量线性无关B.A的列向量线性相关C.A的行向量线性无关D.A的行向量线性相关正确答案：A[解析]A的列向量线性无关AX=0有唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件．

30.

已知β1，β2是AX=b的两个不同的解，α1，α2是相应的齐次方程组AX=0的基础解系，k1，k2是任意常数，则AX=b的通解是______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]A，C项中没有非齐次方程组的特解，D项中两个齐次方程组的解α1与β1-β2是否线性无关未知，而B项中因α1，α2是基础解系，故α1，α1-α2仍是基础解系，仍是特解．

31.

设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组为

AX=b，①

对应的齐次线性方程组为

AX=0，②

则______

A．①有无穷多解②仅有零解

B．①有无穷多解②有无穷多解

C．②仅有零解①有唯一解

D．②有非零解①有无穷多解正确答案：B[解析]C，D项中①式均有可能无解．A，B项中①式有无穷多解，记为k1ξ1+…+kn-rξn-r+η，则②式有解k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r，故A项不正确，选B．

32.

设矩阵Am×n的秩r(A)=r([A|b)=m＜n，则下列说法错误的是______A.AX=0必有无穷多解B.AX=b必无解C.AX=b必有无穷多解D.存在可逆矩阵P，使AP=[EmO]正确答案：B[解析]因r(A)=r([A|B])=m＜n．AX=b必有无穷多解．

33.

已知α1=[-1，1，α，4]T，α2=[-2，1，5，a]T，a3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的三个不同特征值对应的特征向量，则a的取值范围为______A.a≠5B.a≠-4C.a≠-3D.a≠-3且a≠-4正确答案：A[解析]因α1，α2，α3是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由

知a≠5．故应选A．

34.

已知3阶矩阵A有特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，则2A*的特征值是______A.1，2，3B.4，6，12C.2，4，6D.8，16，24正确答案：B[解析]由于2A*的特征值是，其中|A|=λ1λ2λ3，λi(i=1，2，3)是A的特征值，分别为1，2，3，故2A*的特征值为4，6，12

35.

已知ξ1，ξ2是方程(λE-A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是______A.ξ1B.ξ2C.ξ1-ξ2D.ξ1+ξ2正确答案：C[解析]因ξ1≠ξ2，故ξ1-ξ2≠0，且仍有关系

A(ξ1-ξ2)=λξ1-λξ2=λ(ξ1-ξ2)，故ξ1-ξ2是A的特征向量．

而A项ξ1，B项ξ2，D项ξ1+ξ2均有可能是零向量而不能成为A的特征向量．

36.

设

则下列向量中是A的特征向量的是______A.ξ1=[1，2，1]TB.ξ2=[1，-2，1]TC.ξ3=[2，1，2]TD.ξ4=[2，1，2]T正确答案：B[解析]因故ξ2是A的对应于λ=-2的特征向量．

其余的ξ1，ξ3，ξ4均不与Aξ1，Aξ3，Aξ4对应成比例，故都