考研数学二模拟402

考研数学二模拟402一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

若(其中a，b为大于0的常数)，则必有______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]

2.

曲线的渐近线有______A.1条．B.2条．C.3条．D.4条．正确答案：B[解析]因故y=π/4是曲线的水平渐近线．

因故x=0是曲线的垂直渐近线．

又故无斜渐近线．

综上，曲线共有两条渐近线．

3.

设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处有f'x(x0，y0)=a，f'y(x0，y0)=b，则______

A．极限一定存在，但f(x，y)在点(x0，y0)处不连续．

B．f(x，y)在点(x0，y0)处必连续．

C．dz|(x0，y0)=adx+bdy．

D．存在且相等．正确答案：D[解析]由f'x(x0，y0)存在知一元函数f(x，y0)在x=x0处连续，故类似地，由f'y(x0，y0)存在知一元函数f(x0，y)在y=y0处连续，故

或举反例用排除法．取计算可得f'x(0，0)=f'y(0，0)=0，同时可证明存在，f(x，y)在点(0，0)连续，f(x，y)在点(0，0)处不可微分，这样可排除A、C．

取计算可得fx'(0，0)=fy'(0，0)=0，同时可证明f(x，y)在点(0，0)处不连续，这样可排除B．由排除法可知，应选D．

4.

若f(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m＞0，且f"(x)＞0，g"(x)＜0，则的大小关系为______A.I1≥I2≥I3．B.I3≥I2≥I1．C.I2≥I3≥I1．D.I2≥I1≥I3．正确答案：C[解析]可应用定积分的比较定理，或从定积分的几何意义出发比较I1，I2，I3的大小．

因为f"(x)＞0，g"(x)＜0，所以f(x)是凹函数，g(x)是凸函数．

又因为f(1)=g(1)=0，f(2)=g(2)=m＞0，所以y=f(x)，y=g(x)，y=mx-m在[1，2]上的大致图象如图，故当x∈[1，2]时，f(x)≤mx-m≤g(x)，则有

即I1≤I3≤I2．

5.

设f(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充要条件为______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]注意到1-cosh≥0且设u=1-cosh，则

故A只保证了f'+(0)存在，而不是f'(0)存在的充分条件．

由于1-eh～-h(h→0)，故

故左极限边存在保证右边存在，反之亦然，因此B是f'(0)存在的充要条件．

又h-sinh～h3/6，得

则存在不能保证存在，故C不对．

又

左边极限存在不能保证右边拆项后的极限存在，故D不正确，如：

6.

变换积分次序为______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]由累次积分限确定积分区域D为：

D：0＜x＜lny，1＜y＜e．

如图，按先y后x的积分顺序，

D：0＜x＜1，ex＜y＜e．

于是

7.

设则平面上三条直线a1x+a2y+a3=0，b1x+b2y+b3=0，c1x+c2y+c3=0交于一点的充分必要条件是______A.α1，α2，α3线性相关．B.α1，α2，α3线性无关．C.r(α1，α2，α3)=r(α1，α2)．D.α1，α2线性无关，α1，α2，α3线性相关．正确答案：D[解析]三条直线交于一点的充要条件是方程组

有唯一解，即r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)=2．

8.

设n阶方阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn，(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量组(Ⅲ)线性无关，则______A.向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)线性相关．B.向量组(Ⅰ)可能线性相关．C.向量组(Ⅱ)可能线性相关．D.向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)均线性无关．正确答案：D[解析]因为向量组(Ⅲ)线性无关，所以|AB|=|A||B|≠0，因此|A|、|B|都不为0，即A、B的列向量组都线性无关．

二、填空题1.

正确答案：[解析]

2.

若函数u=sin(y+3z)，其中z是由方程z2y-xz3=1确定的x，y的函数，则正确答案：cos3[解析]因所求为函数u在点(1，0)处对x的导数，故应视y=0，故原函数关系变为u=sin3z，将y=0代入方程z2y-xz3=1中得z=-x-1/3，于是有

3.

函数y=y(x)由方程所确定，则正确答案：[解析]设由隐函数求导法则得

故

4.

微分方程y"-9y=e3x的通解为______．正确答案：[解析]由特征方程r2=9，得r1=3，r2=-3，

故y"-9y=0的通解为

y1=C1e-3x+C2e3x(C1，C2为任意常数)．

由于非齐次方程右端的非齐次项为e3x，其指数上的3为特征方程的单根，故特解设为y*=Axe3x代入原方程，可得

因此原方程通解为

5.

设则曲线在拐点处的切线方程为______．正确答案：[解析]由得x=-3．

当x＜-3时，y"＜0；当x＞-3时，y"＞0，故x=-3为函数拐点．又

故拐点处的切线方程为

6.

设A=ααT，其中α为三维列向量，且αTα=2，则行列式|E-An|=______．正确答案：1-2n[解析]由Aα=(ααT)α=2α可知A的一个特征值为2，又r(A)=r(ααT)=1，所以0是A的二重特征值．因此A的特征值为2，0，0，于是E-An的特征值为1-2n，1，1，故|E-An|=1-2n．

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

设确定常数a，b．正确答案：

所以-1-a=0，从而有a=-1．

代入原极限，得

则

2.

设函数f(x)连续，证明并计算积分正确答案：因为

从而有

利用上述公式

3.

设求其中φ(u，v)有二阶偏导数．正确答案：

4.

设区域D由曲线y=-x3，直线x=1与y=1围成，计算二重积分

正确答案：如下图，用y=x3(x≥0)分割区域，于是区域D可分为D1，D2，D3，D4四个部分，D1与D2关于y轴对称，D3与D4关于x轴对称，注意

其中被积函数x[ycos(x2+y2)+1]关于x是奇函数，故它在D1+D2上的积分为零，又因

其中第一个二重积分的被积函数xycos(x2+y2)关于y是奇函数，故第一个二重积分也是零，其中第二个二重积分的被积函数x关于y是偶函数，故第二个二重积分可以化简，得

综合得

5.

设正值函数y=f(x)(x≥0)连续可微，且f(0)=1，已知曲线y=f(x)与x轴，y轴以及过点(x，0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积与曲线y=f(x)在[0，x]上的一段弧线长的值相同，求f(x)．正确答案：由题设所围成的图形面积为而题设弧长为

根据题意有

两边对x求导得又因为f(0)=1，

所以

解得

上式取倒数得

①②两式相加得

6.

设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b都是非负常数，c是(0，1)内任意一点，证明：正确答案：[证明]由于问题中涉及f(x)与其导数、二阶导数的关系，可考虑用泰勒公式证明之．f(x)在c处的泰勒展开式为

其中ξ在c与x之间．

取x=0，1得

两式相减得

由此

设函数f(x)在(-l，l)上连续，在点x=0处可导，且f'(0)≠0．7.

求证：任意给定的0＜x＜l，存在0＜θ＜1，使得

正确答案：思路一：记则F(x)在(-l，l)内可导，且F(0)=0，F'(x)=f(x)-f(-x)．由拉格朗日中值定理得，对使

F(x)=F(x)-F(0)=F'(θx)·x=x[f(θx)-f(-θx)]．

思路二：利用积分中值定理证明．

其中ξ在0与x之间，故ξ=θx，0＜θ＜1．

8.

求极限正确答案：利用已知条件f'(0)存在且不等于0，给出θ的表达式，将上式改写为

又

所以

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．9.

证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；正确答案：设α1，α2，α3是方程组AX=β的3个线性无关的解，其中

则有A(α1-α2)=0，A(α1-α3)=0，则α1-α2，α1-α3是对应齐次线性方程组AX=0的解，且线性无关，否则，易推出α1，α2，α3线性相关，矛盾．

所以n-r(A)≥2，即4-r(A)≥2r(A)≤2．

又矩阵A中有一个二阶子式所以r(A)≥2，因此r(A)=2．

10.

求a，b的值及方程组的通解．正确答案：因为

由r(A)=2，得

当a=2，b=-3时，对原方程组的增广矩阵作初等行变换，即

先求对应齐次方程组的基础解系：

取x3=1，x4=0，得ξ1=(-2，1，1，0)T；

取x3=0，x4=1，得ξ2=(4，-5，0，1)T．

再求特解：

取x3=0，x4=0，得特解(2，-3，0，0)T．

则所求通解为

设矩阵已知线性方程组AX=β有解但不唯一．

试求：11.

a的值；正确答案：由题设知AX=β有无穷多组解，则

|A|=-(a-1)2(a+2)=0．

得a=1或=-2．但当a=1时，此时AX=β无解．而当a=-2时，有于是a=-2．

12.

正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．正确答案：注意到|A-λE|为行和与列和都相